數(shù)論重大突破：120年后，希爾伯特的第12個(gè)數(shù)學(xué)難題借助計(jì)算機(jī)獲得解決
日期 ： 2021年06月16日
正文共 ：4542字
德國(guó)數(shù)學(xué)家大衛(wèi) · 希爾伯特提出的 23 個(gè)問題對(duì)二十世紀(jì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展起了非常積極的推動(dòng)作用。這 23 個(gè)問題涉及了基礎(chǔ)數(shù)學(xué)、數(shù)論、代數(shù)和幾何以及數(shù)學(xué)分析等多方面，其中的大多數(shù)已經(jīng)得到圓滿或部分解決。其中未解決的第 12 個(gè)問題「一般代數(shù)數(shù)域的阿貝爾擴(kuò)張」終于在百年之后得到了解決，還是以一種意想不到的方式解決。
德國(guó)數(shù)學(xué)家大衛(wèi) · 希爾伯特（David Hilbert）是二十世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，被后人稱為「數(shù)學(xué)世界的亞歷山大」。他對(duì)數(shù)學(xué)領(lǐng)域做出了廣泛和重大的貢獻(xiàn)，研究領(lǐng)域涉及代數(shù)不變式、代數(shù)數(shù)域、幾何基礎(chǔ)、變分法、積分方程、無窮維空間以及物理學(xué)和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等。1899 年出版的《幾何基礎(chǔ)》成為近代公理化方法的代表作，且由此推動(dòng)形成了「數(shù)學(xué)公理化學(xué)派」。
David Hilbert。
1900 年 8 月 8 日，在法國(guó)巴黎舉辦的第二屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，大衛(wèi) · 希爾伯特提出了新世紀(jì)數(shù)學(xué)家應(yīng)當(dāng)努力解決的 23 個(gè)問題。這 23 個(gè)問題統(tǒng)稱「希爾伯特問題」，共分屬四大塊：1 至 6 屬于基礎(chǔ)數(shù)學(xué)問題，7 至 12 屬于數(shù)論問題，13 至 18 屬于代數(shù)和幾何問題，19 至 23 屬于數(shù)學(xué)分析問題。這些問題成為了后世數(shù)學(xué)家們努力攻克的難關(guān)，并對(duì)現(xiàn)代數(shù)學(xué)的研究和發(fā)展產(chǎn)生了積極和深刻的影響。
一個(gè)多世紀(jì)過去了，這些問題中的大多數(shù)得到了圓滿解決或部分解決，但有些依然未能解決，其中包括第十二個(gè)問題「一般代數(shù)數(shù)域的阿貝爾擴(kuò)張（Abelian extension）」。就其定義而言，阿貝爾擴(kuò)張是一類重要的域擴(kuò)張，設(shè) K 是域 F 的伽羅瓦擴(kuò)域，若其伽羅瓦群 G(K/F) 為一阿貝爾群，則稱此擴(kuò)張為阿貝爾擴(kuò)張，此時(shí)，K 稱為 F 上阿貝爾擴(kuò)域。
1912 年，德國(guó)數(shù)學(xué)家埃里希 · 赫克使用希爾伯特模形式研究了實(shí)二次域的情形，虛二次域的情形用復(fù)乘理論已基本解決。一般情況下的阿貝爾擴(kuò)張則尚未解決。
圖源：wikipedia。
其實(shí)，在希爾伯特提出他的 23 個(gè)問題清單前不久，數(shù)學(xué)家們就發(fā)現(xiàn)了一些與有理數(shù)相關(guān)的特定數(shù)字的構(gòu)建塊，其中這些有理數(shù)可以使用整數(shù)比例來表示。巧合的是，這一發(fā)現(xiàn)是解決第 12 個(gè)問題的基礎(chǔ)，要求尋找與有理數(shù)以外的數(shù)字系統(tǒng)相關(guān)的構(gòu)建塊。
經(jīng)過數(shù)學(xué)家們數(shù)十年不斷的研究探索，今年 3 月初發(fā)表在 arXiv 上的論文《Brumer–Stark Units and Hilbert’s 12th Problem 》終于描述出了希爾伯特 100 多年前尋找的用于廣泛數(shù)字系統(tǒng)的構(gòu)建塊，但是得出的答案依賴一些非常現(xiàn)代的觀點(diǎn)。
論文地址：https://arxiv.org/pdf/2103.02516.pdf
論文作者分別是杜克大學(xué)數(shù)學(xué)系教授 Samit Dasgupta（左）和印度科學(xué)研究院數(shù)學(xué)系教授 Mahesh Kakde（右）。
對(duì)于這項(xiàng)研究，美國(guó)數(shù)學(xué)家、加州大學(xué)圣地亞哥分校和哈佛大學(xué)名譽(yù)教授 Benedict Gross 表示：「這是我們期待已久的事情，他們確實(shí)取得了一項(xiàng)重大突破。雖然與希爾伯特的想法完全不同，但這就是數(shù)學(xué)的魅力。你永遠(yuǎn)無法預(yù)測(cè)以何種方式解決問題。」
在解讀這兩位數(shù)學(xué)家的研究成果和方法前，我們首先來了解下希爾伯特第 12 個(gè)問題的數(shù)論基礎(chǔ)以及百年來數(shù)學(xué)家們?cè)诖藛栴}上做出的種種努力和嘗試。
數(shù)論基礎(chǔ)：表達(dá)式的根
希爾伯特第 12 個(gè)問題是建立在數(shù)論基礎(chǔ)上，是研究數(shù)字的基本算術(shù)性質(zhì)，包括多項(xiàng)式表達(dá)式的解，比如 x^3 + 2x ? 3。特別地，數(shù)學(xué)家經(jīng)常研究這些表達(dá)式的根，使多項(xiàng)式等于零的 x 的值。
數(shù)論家經(jīng)常根據(jù)多項(xiàng)式的系數(shù)類型來分類多項(xiàng)式。以有理數(shù)為系數(shù)的系數(shù)相對(duì)簡(jiǎn)單，是研究的共同目標(biāo)。
「我們從有理數(shù)開始，」杜克大學(xué)的數(shù)學(xué)家 Samit Dasgupta 說，他是這項(xiàng)最新研究的作者之一，還有一位合作者是來自印度科學(xué)研究院數(shù)學(xué)系教授 Mahesh Kakde。并表示道：「這是數(shù)論的基本系統(tǒng)。」
有時(shí)有理系數(shù)多項(xiàng)式的根本身就是有理數(shù)，但情況并非總是如此。這意味著數(shù)學(xué)家想要找到所有有理數(shù)多項(xiàng)式的根，需要在一個(gè)展開的數(shù)系統(tǒng)中尋找：復(fù)數(shù)，包括所有有理數(shù)和實(shí)數(shù)，加上虛數(shù) i。
當(dāng)在復(fù)平面上繪制多項(xiàng)式的根時(shí)，實(shí)數(shù)沿著 x 軸，純虛數(shù)沿著 y 軸，某些對(duì)稱性就會(huì)出現(xiàn)。這些對(duì)稱性可以用來重新排列這些點(diǎn)，排列它們的位置。如果你能以任何順序應(yīng)用對(duì)稱性得到相同的結(jié)果，那么多項(xiàng)式是阿貝爾式的。但是如果你應(yīng)用對(duì)稱性的順序改變了結(jié)果，那么這個(gè)多項(xiàng)式是非阿貝爾式的。數(shù)論家對(duì)阿貝爾多項(xiàng)式最感興趣，同樣是因?yàn)樗鼈兊暮?jiǎn)單性，但它們很難區(qū)分。例如，x^2? 2 是阿貝爾式的， x^3 ? 2 則不是。
來自俄勒岡大學(xué)的 Ellen Eischen 說：「要想得到非阿貝爾式，你不必走得很遠(yuǎn)。」
除了這些對(duì)稱性之外，阿貝爾多項(xiàng)式還有一個(gè)顯著的特點(diǎn)，那就是試圖用簡(jiǎn)單而準(zhǔn)確的術(shù)語來描述多項(xiàng)式的根。例如，很容易準(zhǔn)確地描述多項(xiàng)式 x^2?3 的根：多項(xiàng)式的根是正負(fù)根 3。但是對(duì)于指數(shù)較大的復(fù)雜多項(xiàng)式來說，要寫出它的根是很困難的。
當(dāng)然，也有變通的辦法，「你可以用數(shù)字來近似『多項(xiàng)式的根』，」Eischen 說。但如果你想用一種明確的方式寫下來，只能用有限的方式來寫。
然而，具有有理系數(shù)的阿貝爾多項(xiàng)式是特殊的：總是可以從固定的構(gòu)建塊集合中精確地計(jì)算它們的根。這個(gè)發(fā)現(xiàn)被證明是如此的強(qiáng)大，它啟發(fā)了希爾伯特提出了他的第 12 個(gè)問題，而這一切都?xì)w功于一組被稱為單位根的數(shù)字。
單位根
單位根是一個(gè)看似簡(jiǎn)單卻非常重要的概念。數(shù)值上，它們是多項(xiàng)式的解，其中，變量的冪被設(shè)為 1。比如， x^5 = 1 或者 x^8 = 1。這些解是復(fù)數(shù)，它們由指數(shù)中的數(shù)字表示。例如，5 次單位根就是 x^5 = 1 的五個(gè)解。
但是單位根也可以用幾何來描述，而不用方程。如果把它們畫在復(fù)平面上，這些點(diǎn)都在一個(gè)半徑為 1 的圓上。如果你把圓看作一個(gè)時(shí)鐘，那么在 3 點(diǎn)鐘指向，你總會(huì)有一個(gè)單位根，其中 x=1，因?yàn)?1 對(duì)任何冪仍然是 1。剩下的單位根在圓的周圍等間距分布。
19 世紀(jì)，在希爾伯特提出數(shù)學(xué)問題清單之前，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，單位根可以作為他們想要研究的特定數(shù)字集合的「構(gòu)建塊」：具有有理系數(shù)的阿貝爾多項(xiàng)式的根。如果你把單位根簡(jiǎn)單地組合（用有理數(shù)加、減、乘）起來，你就能描述出所有這些期望的根。例如，5 的平方根是阿貝爾多項(xiàng)式 x^2-5 的根，并且可以表示為不同五次單位根的和。這與素?cái)?shù)構(gòu)建整數(shù)塊的方式類似。
因此，單位根需要精確的構(gòu)造塊，你需要用有理系數(shù)完美地描述阿貝爾多項(xiàng)式的根。另一方面，任何單位根的組合都會(huì)產(chǎn)生一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)是某個(gè)有理系數(shù)阿貝爾多項(xiàng)式的根。這兩者有著千絲萬縷的聯(lián)系。
希爾伯特在提出他的第 12 個(gè)問題時(shí)，想要讓數(shù)學(xué)家們找到阿貝爾多項(xiàng)式根的構(gòu)造塊，它的系數(shù)來自有理數(shù)以外的數(shù)系統(tǒng)。換言之，對(duì)于其他數(shù)系統(tǒng)單位根有什么相似之處？
幾十年未解決的難題
這是一個(gè)雄心勃勃的問題，這也是它出現(xiàn)在希爾伯特清單上的原因。他猜想這個(gè)問題是可以回答的，因?yàn)樗谔岢鲞@個(gè)問題時(shí)，就對(duì)另一種數(shù)字系統(tǒng)（稱為虛二次域）組成構(gòu)建塊的描述方式有一個(gè)構(gòu)想——大體上，該系統(tǒng)僅包含有理數(shù)和負(fù)數(shù)的平方根。幾十年后，他的猜測(cè)被證明是正確的。
倫敦帝國(guó)理工學(xué)院的 Alice Pozzi 說：「該問題有兩種情況：『有理』情況和虛二次域情況。」希爾伯特希望以與這兩種已知情況相似的方式描述其他數(shù)字系統(tǒng)的基本組成。這意味著要使用復(fù)分析（一種研究復(fù)函數(shù)的數(shù)學(xué)理論）。
但是在 20 世紀(jì) 70 年代，希爾伯特的第 12 個(gè)問題已經(jīng)提出幾十年之后，數(shù)學(xué)家 Harold Stark 猜想可以借助 L 函數(shù)破解這個(gè)問題。
L 函數(shù)是一類重要的復(fù)變數(shù)函數(shù)，通常以無窮級(jí)數(shù)表示，它是黎曼ζ函數(shù)的推廣，黎曼ζ函數(shù)如下：
幾個(gè)世紀(jì)以來，數(shù)學(xué)家都知道 L 函數(shù)是神秘并且極有意義的，它們給出了π等重要常數(shù)的無窮級(jí)數(shù)表示法。
在這種直覺的基礎(chǔ)上，Stark 能夠使用 L 函數(shù)來模擬其他數(shù)字系統(tǒng)的單位根。然而，盡管數(shù)學(xué)家認(rèn)為 Stark 的猜想是正確的，并且已經(jīng)使用計(jì)算機(jī)分析法對(duì)其進(jìn)行了廣泛的測(cè)試，但他們并沒有獲得任何成功的證明。
Darmon 說：「據(jù)我們所知，要證明 Stark 的猜想真的很困難，五十年來幾乎沒有任何進(jìn)展。」因此，Stark 的猜想只是提供了一個(gè)簡(jiǎn)單的思路，他猜想可以使用 L 函數(shù)從其他數(shù)字系統(tǒng)找出含系數(shù)阿貝爾多項(xiàng)式的根的構(gòu)建塊，但是沒人知道如何證明這一點(diǎn)。
更糟糕的是，Stark 的方案只提供了實(shí)際描述組成構(gòu)件塊所需要的一半信息。就像要在地圖上尋找一個(gè)位置，只提供了經(jīng)度，還需要緯度才能找到特定的地點(diǎn)。
20 世紀(jì) 80 年代，Benedict Gross 發(fā)表了 Stark 方案的修改版本來繼續(xù)這項(xiàng)數(shù)學(xué)研究。希爾伯特和 Stark 都曾考慮使用復(fù)數(shù)，而 Gross 使用了 p 進(jìn)數(shù)（p-adic numbers）。
這兩種方法都是標(biāo)準(zhǔn)數(shù)字的替代方案，標(biāo)準(zhǔn)數(shù)字使用不同的方法來確定兩個(gè)數(shù)字是否接近。
Benedict Gross。
利用 p 進(jìn)數(shù)可以重寫數(shù)學(xué)中的許多概念，其中包括 L 函數(shù)。實(shí)際上在現(xiàn)代數(shù)論中，p - 進(jìn) L 函數(shù)與復(fù) L 函數(shù)的關(guān)系非常密切。
即便如此，起初 Gross 將復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)換為 p 進(jìn)數(shù)似乎卻沒有讓 Stark 猜想的證明問題更進(jìn)一步。在隨后的幾十年中，隨著數(shù)字理論領(lǐng)域 p 進(jìn)數(shù)數(shù)論的發(fā)展，Gross 的 p 進(jìn)數(shù)猜想變得容易了一些。
Darmon 說：「借助 p 進(jìn)數(shù)分析能夠得到許多有趣的結(jié)果。」事實(shí)證明，相比于復(fù)數(shù)，使用 p 進(jìn)數(shù)更容易解決數(shù)學(xué)中一些重要的問題，希爾伯特的第 12 個(gè)問題恰恰如此。
另辟蹊徑：計(jì)算機(jī)程序找到數(shù)字系統(tǒng)的構(gòu)建塊
今年 3 月，杜克大學(xué)教授 Samit Dasgupta 和印度科學(xué)研究院教授 Mahesh Kakde 發(fā)表的這篇論文首次使用 p - 進(jìn)數(shù) L 函數(shù)回答了希爾伯特關(guān)于獨(dú)立大型數(shù)字系統(tǒng)的問題。這些數(shù)字系統(tǒng)被稱為「全實(shí)域（totally real field）」，是有理數(shù)的延伸，并包含給定多項(xiàng)式的一個(gè)根。
p - 進(jìn)數(shù) L 函數(shù)。兩位教授通過 Deligne–Ribet 和 Cassou-Nogues 構(gòu)造了一個(gè) p 進(jìn)數(shù)亞純函數(shù)，并滿足插值性。
2004 年，Dasgupta 在其博士論文中首次提出了所需要的最終公式——對(duì) Gross 的猜想進(jìn)行了改進(jìn)。此后的十年里，利用 p 進(jìn)數(shù)數(shù)字理論的發(fā)展，他又先后發(fā)表兩篇論文并最終證明了 Gross 的猜想。但這還不足以解決希爾伯特的第 12 個(gè)問題，因?yàn)榕c Stark 猜想一樣，Gross 的猜想只提供了精確描述構(gòu)建塊所需的兩個(gè)數(shù)字之一。
在過去的三年里，Dasgupta 和 Kakde 合作想要證明能夠提供構(gòu)建塊所需的兩個(gè)數(shù)字的 Gross 猜想，盡管看起來可能無法實(shí)現(xiàn)。
Kakde 曾說道：「我們兩人都非常樂觀。有時(shí)會(huì)遇到難以解決的障礙，但幸運(yùn)的是，我們一直在取得進(jìn)展。」
直到 2020 年，他們終于有了突破，證明了與全實(shí)域相關(guān)的精確構(gòu)建塊的確存在。換言之，他們知道自己想要實(shí)現(xiàn)的東西就在某個(gè)地方，并指引他們朝著正確的方向前進(jìn)。他們得到了用以證明完整描述構(gòu)建塊的精確公式存在的關(guān)鍵方程式。
格羅斯猜想的部分證明步驟。
為了驗(yàn)證正確性，Dasgupta 的兩名學(xué)生編寫了一個(gè)計(jì)算機(jī)程序，由此生成了用于給定數(shù)字系統(tǒng)的構(gòu)建塊，并展示了工作原理。除了理論證明之外，這個(gè)計(jì)算機(jī)程序還幫助證明了 Dasgupta 和 Kakde 提出的公式的正確性，這是解決此類抽象問題的一個(gè)重要因素。
此外，這個(gè)計(jì)算機(jī)程序在 GitHub 上有一個(gè)項(xiàng)目，名為「Computation-of-Elliptic-Units」，主要計(jì)算「生成實(shí)二次域希爾伯特類域所需的橢圓形單位和多項(xiàng)式」。下表 1 為一部分計(jì)算結(jié)果：
項(xiàng)目地址：https://github.com/liuyj8526/Computation-of-Elliptic-Units
希爾伯特的第 12 個(gè)問題要求精確描述阿貝爾多項(xiàng)式的根的構(gòu)造塊，類似于單位根，Dasgupta 和 Kakde 的研究給出了一系列數(shù)字系統(tǒng)的構(gòu)造塊，盡管是以 p - 進(jìn) L 函數(shù)的形式，具有明顯的現(xiàn)代性。
但還有最后一個(gè)問題：既然希爾伯特明確地寫道，構(gòu)建塊應(yīng)該由復(fù)數(shù)組成，那么這個(gè)解偏離希爾伯特最初的指令，這顯示了數(shù)學(xué)的通用性。使用 p 進(jìn)數(shù)分析為希爾伯特的問題提供了答案，但使用復(fù)分析的原始問題仍需未來的數(shù)學(xué)家探索。可能有很多方法來描述構(gòu)建塊，未來也許能夠使用復(fù)數(shù)來描述它們，從而滿足希爾伯特的最初要求。
正如 Gross 所說：「這是一場(chǎng)接力賽，當(dāng)你精疲力盡時(shí)把接力棒傳給下一個(gè)人。」
參考鏈接：https://www.quantamagazine.org/mathematicians-find-polynomial-building-blocks-hilbert-sought-20210525/
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