最小生成樹，秒懂！
前言
在數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法的圖論中，(生成)最小生成樹算法是一種常用并且和生活貼切比較近的一種算法。但是可能很多人對概念不是很清楚，什么是最小生成樹?
一個有 n 個結(jié)點的連通圖的生成樹是原圖的極小連通子圖，且包含原圖中的所有 n 個結(jié)點，并且有保持圖連通的最少的邊。最小生成樹可以用kruskal（克魯斯卡爾）算法或prim（普里姆）算法求出。
通俗易懂的講就是最小生成樹包含原圖的所有節(jié)點而只用最少的邊和最小的權(quán)值距離。因為n個節(jié)點最少需要n-1個邊聯(lián)通，而距離就需要采取某種策略選擇恰當(dāng)?shù)倪叀?/p>
學(xué)習(xí)最小生成樹實現(xiàn)算法之前我們要先高清最小生成樹的結(jié)構(gòu)和意義所在。咱么首先根據(jù)一些圖更好的祝你理解。
一個故事
在城市道路規(guī)劃中，是一門很需要科學(xué)的研究(只是假設(shè)學(xué)習(xí)不必當(dāng)真)。在公路時代城市聯(lián)通的主要矛盾是時間慢，而造價相比運輸時間是次要矛盾。所以在公路時代我們盡量使得城市能夠直接聯(lián)通，縮短城市聯(lián)系時間，而稍微考慮建路成本！隨著科技發(fā)展、高級鐵路、信息傳輸相比公路運輸快非常非常多，從而事件的主要矛盾從運輸時間轉(zhuǎn)變?yōu)樵靸r成本，故有時會關(guān)注聯(lián)通所有點的路程(最短)，這就用到最小生成樹算法。
城市道路鋪設(shè)可能經(jīng)歷以下幾個階段。
初始，各個城市沒有高速公路(鐵路)。
政府打算各個城市鋪設(shè)公路(鐵路)，每個城市都想成為交通樞紐，快速到達其他城市，但每個城市都有這種想法，如果實現(xiàn)下去造價太昂貴。并且造成巨大浪費。
最終國家選擇一些主要城市進行聯(lián)通，有個別城市只能稍微繞道而行，而繞道太遠的、人流量多的國家考慮新建公路(鐵路)，適當(dāng)提高效率。
不過上面鐵路規(guī)劃上由于龐大的人口可能不能夠滿足與"有鐵路"這個需求，人們對速度、距離、直達等條件一直在追求中……
但是你可以想象這個場景：有些東西造假非常非常昂貴，使用效率非常高，我這里假設(shè)成黃金鑲鉆電纜?鋪設(shè)，所以各個城市只要求不給自己落下，能通上就行(沒人敢跳了吧)。
要從有環(huán)圖中選取代價和最小的路線一方面代價最小(總距離最小最省黃金)另一方面聯(lián)通所有城市。
然而根據(jù)上圖我們可以得到以下最小生成樹,但是最么生成這個最小生成樹，就是下面要講的了。
而類似的還有局部區(qū)域島嶼聯(lián)通修橋，海底通道這些高成本的都多多少少會運用。
Kruskal算法
上面介紹了最小生成樹是什么，現(xiàn)在需要掌握和理解最小生成樹如何形成。給你一個圖，用一個規(guī)則生成一個最小生成樹。而在實現(xiàn)最小生成樹方面有prim和kruskal算法，這兩種算法的策略有所區(qū)別，但是時間復(fù)雜度一致。
Kruskal算法，和前面講到的并查集關(guān)系很大，它的主要思想為：
先構(gòu)造一個只含 n 個頂點、而邊集為空的子圖，把子圖中各個頂點看成各棵樹上的根結(jié)點，之后，從網(wǎng)的邊集 E 中選取一條權(quán)值最小的邊，若該條邊的兩個頂點分屬不同的樹，則將其加入子圖，即把兩棵樹合成一棵樹，反之，若該條邊的兩個頂點已落在同一棵樹上，則不可取，而應(yīng)該取下一條權(quán)值最小的邊再試之。依次類推，直到森林中只有一棵樹，也即子圖中含有 n-1 條邊為止。
簡而言之，Kruskal算法進行調(diào)度的單位是邊,它的信仰為:所有邊能小則小，算法的實現(xiàn)方面要用到并查集判斷兩點是否在同一集合。
而算法的具體步驟為：
將圖中所有邊對象(邊長、兩端點)依次加入集合(優(yōu)先隊列)
q1中。初始所有點相互獨立。取出集合(優(yōu)先隊列)
q1最小邊，判斷邊的兩點是否聯(lián)通。如果聯(lián)通說明兩個點已經(jīng)有其它邊將兩點聯(lián)通了，跳過，如果不連通，則使用
union（并查集合并）將兩個頂點合并，這條邊被使用(可以儲存或者計算數(shù)值)。重復(fù)2，3操作直到集合（優(yōu)先隊列）
q1為空。此時被選擇的邊構(gòu)成最小生成樹。
Prim算法
除了Kruskal算法以外，普里姆算法（Prim算法）也是常用的最小生成樹算法。雖然在效率上差不多。但是貪心的方式和Kruskal完全不同。
prim算法的核心信仰是：從已知擴散尋找最小。它的實現(xiàn)方式和Dijkstra算法相似但稍微有所區(qū)別，Dijkstra是求單源最短路徑，而每計算一個點需要對這個點重新更新距離，而prim不用更新距離。直接找已知點的鄰邊最小加入即可！prim和kruskal算法都是從邊入手處理。
對于具體算法具體步驟，大致為：
尋找圖中任意點，以它為起點，它的所有邊V加入集合(優(yōu)先隊列)
q1,設(shè)置一個boolean數(shù)組bool[]標記該位置(邊有兩個點，每次加入沒有被標記那個點的所有邊)。從集合q1找到距離最小的那個邊
v1并?判斷邊是否存在未被標記的一點`p`?，如果p不存在說明已經(jīng)確定過那么跳過當(dāng)前邊處理，如果未被標(訪問)記那么標記該點p,并且與p相連的未知點(未被標記)構(gòu)成的邊加入集合q1，?邊v1(可以進行計算距離之類，該邊構(gòu)成最小生成樹)?.重復(fù)1，2直到q1為空，構(gòu)成最小生成樹 ！
大體步驟圖解為：
因為prim從開始到結(jié)束一直是一個整體在擴散，所以不需要考慮兩棵樹合并的問題，在這一點實現(xiàn)上稍微方便了一點。
當(dāng)然，要注意的是最小生成樹并不唯一，甚至同一種算法生成的最小生成樹都可能有所不同，但是相同的是無論生成怎樣的最小生成樹：
能夠保證所有節(jié)點連通(能夠滿足要求和條件)
能夠保證所有路徑之和最小(結(jié)果和目的相同)
最小生成樹不唯一，可能多樣的
代碼實現(xiàn)
上面分析了邏輯實現(xiàn)。下面我們用代碼簡單實現(xiàn)上述的算法。
prim
package?圖論;
import?java.util.ArrayList;
import?java.util.Arrays;
import?java.util.Comparator;
import?java.util.List;
import?java.util.PriorityQueue;
import?java.util.Queue;
public?class?prim?{
????public?static?void?main(String[]?args)?{
????????int?minlength=0;//最小生成樹的最短路徑長度
????????int?max=66666;
????????String?cityname[]=?{"北京","武漢","南京","上海","杭州","廣州","深圳"};
????????int?city[][]=?{
????????????????{?max,?8,?7,?max,?max,?max,?max?},?//北京和武漢南京聯(lián)通
????????????????{?8,?max,6,?max,9,?8,max?},?//武漢——北京、南京、杭州、廣州
????????????????{?7,?6,?max,?3,4,?max,max?},?//南京——北京、武漢、上海、杭州
????????????????{?max,?max,3,?max,2,?max,max?},?//上海——南京、杭州
????????????????{?max,?9,4,?2,max,?max,10?},?//杭州——武漢、南京、上海、深圳
????????????????{?max,?8,max,?max,max,?max,2?},?//廣州——武漢、深圳
????????????????{?max,?max,max,?max,10,2,max?}//深圳——杭州、廣州
????????};//?地圖
????????boolean?istrue[]=new?boolean[7];
????????//南京
????????Queueq1=new?PriorityQueue(new?Comparator()?{
????????????public?int?compare(side?o1,?side?o2)?{
????????????????//?TODO?Auto-generated?method?stub
????????????????return?o1.lenth-o2.lenth;
????????????}
????????});
????????for(int?i=0;i<7;i++)
????????{
????????????if(city[2][i]!=max)
????????????{
????????????????istrue[2]=true;
????????????????q1.add(new?side(city[2][i],?2,?i));
????????????}
????????}???????
????????while(!q1.isEmpty())
????????{
????????????side?newside=q1.poll();//拋出
????????????if(istrue[newside.point1]&&istrue[newside.point2])
????????????{
????????????????continue;
????????????}
????????????else?{
????????????????if(!istrue[newside.point1])
????????????????{
????????????????????istrue[newside.point1]=true;
????????????????????minlength+=city[newside.point1][newside.point2];
????????????????????System.out.println(cityname[newside.point1]+"?"+cityname[newside.point2]+"?聯(lián)通");
????????????????????for(int?i=0;i<7;i++)
????????????????????{
????????????????????????if(!istrue[i])
????????????????????????{
????????????????????????????q1.add(new?side(city[newside.point1][i],newside.point1,i));
????????????????????????}
????????????????????}
????????????????}
????????????????else?{
????????????????????istrue[newside.point2]=true;
????????????????????minlength+=city[newside.point1][newside.point2];
????????????????????System.out.println(cityname[newside.point2]+"?"+cityname[newside.point1]+"?聯(lián)通");
????????????????????for(int?i=0;i<7;i++)
????????????????????{
????????????????????????if(!istrue[i])
????????????????????????{
????????????????????????????q1.add(new?side(city[newside.point2][i],newside.point2,i));
????????????????????????}
????????????????????}
????????????????}
????????????}
????????}
????????System.out.println(minlength);??????
????}
????static?class?side//邊
????{
????????int?lenth;
????????int?point1;
????????int?point2;
????????public?side(int?lenth,int?p1,int?p2)?{
????????????this.lenth=lenth;
????????????this.point1=p1;
????????????this.point2=p2;
????????}
????}
}
輸出結(jié)果：
上海 南京 聯(lián)通
杭州 上海 聯(lián)通
武漢 南京 聯(lián)通
北京 南京 聯(lián)通
廣州 武漢 聯(lián)通
深圳 廣州 聯(lián)通
28
Kruskal:
package?圖論;
import?java.util.Comparator;
import?java.util.PriorityQueue;
import?java.util.Queue;
import?圖論.prim.side;
/*
?*?作者：bigsai(公眾號)
?*/
public?class?kruskal?{
????static?int?tree[]=new?int[10];//bing查集
????public?static?void?init()?{
????????for(int?i=0;i<10;i++)//初始
????????{
????????????tree[i]=-1;
????????}
????}
????public?static?int?search(int?a)//返回頭節(jié)點的數(shù)值
????{
????????if(tree[a]>0)//說明是子節(jié)點
????????{
????????????return?tree[a]=search(tree[a]);//路徑壓縮
????????}
????????else
????????????return?a;
????}
????public?static?void?union(int?a,int?b)//表示?a，b所在的樹合并小樹合并大樹(不重要)
????{
????????int?a1=search(a);//a根
????????int?b1=search(b);//b根
????????if(a1==b1)?{//System.out.println(a+"和"+b+"已經(jīng)在一棵樹上");
????????}
????????else?{
????????if(tree[a1]//這個是負數(shù)，為了簡單減少計算，不在調(diào)用value函數(shù)
????????{
????????????tree[a1]+=tree[b1];//個數(shù)相加??注意是負數(shù)相加
????????????tree[b1]=a1;???????//b樹成為a的子樹，直接指向a；
????????}
????????else
????????{
????????????tree[b1]+=tree[a1];//個數(shù)相加??注意是負數(shù)相加
????????????tree[a1]=b1;???????//b樹成為a的子樹，直接指向a；
????????}
????????}
????}
????public?static?void?main(String[]?args)?{
????????//?TODO?Auto-generated?method?stub
????????init();
????????int?minlength=0;//最小生成樹的最短路徑長度
????????int?max=66666;
????????String?cityname[]=?{"北京","武漢","南京","上海","杭州","廣州","深圳"};
????????boolean?jud[][]=new?boolean[7][7];//加入邊需要防止重復(fù)?比如?ba和ab等價的
????????int?city[][]=?{
????????????????{?max,?8,?7,?max,?max,?max,?max?},?
????????????????{?8,?max,6,?max,9,?8,max?},?
????????????????{?7,?6,?max,?3,4,?max,max?},?
????????????????{?max,?max,3,?max,2,?max,max?},?
????????????????{?max,?9,4,?2,max,?max,10?},?
????????????????{?max,?8,max,?max,max,?max,2?},?
????????????????{?max,?max,max,?max,10,2,max?}
????????};//?地圖
????????boolean?istrue[]=new?boolean[7];
????????//南京
????????Queueq1=new?PriorityQueue(new?Comparator()?{//優(yōu)先隊列存邊+
????????????public?int?compare(side?o1,?side?o2)?{
????????????????//?TODO?Auto-generated?method?stub
????????????????return?o1.lenth-o2.lenth;
????????????}
????????});
????????for(int?i=0;i<7;i++)
????????{
????????????for(int?j=0;j<7;j++)
????????????{
????????????????if(!jud[i][j]&&city[i][j]!=max)//是否加入隊列
????????????????{
????????????????????jud[i][j]=true;jud[j][i]=true;
????????????????????q1.add(new?side(city[i][j],?i,?j));
????????????????}
????????????}
????????}
????????while(!q1.isEmpty())//執(zhí)行算法
????????{
????????????side?newside=q1.poll();
????????????int?p1=newside.point1;
????????????int?p2=newside.point2;
????????????if(search(p1)!=search(p2))
????????????{
????????????????union(p1,?p2);
????????????????System.out.println(cityname[p1]+"?"+cityname[p2]+"?聯(lián)通");
????????????????minlength+=newside.lenth;
????????????}
????????}
????????System.out.println(minlength);
????}
????static?class?side//邊
????{
????????int?lenth;
????????int?point1;
????????int?point2;
????????public?side(int?lenth,int?p1,int?p2)?{
????????????this.lenth=lenth;
????????????this.point1=p1;
????????????this.point2=p2;
????????}
????}
}
輸出結(jié)果
上海 杭州 聯(lián)通
廣州 深圳 聯(lián)通
南京 上海 聯(lián)通
武漢 南京 聯(lián)通
北京 南京 聯(lián)通
武漢 廣州 聯(lián)通
28
總結(jié)
最小生成樹算法理解起來也相對簡單，實現(xiàn)起來也不是很難。Kruskal和Prim主要是貪心算法的兩種角度。一個從整體開始找最小邊，遇到關(guān)聯(lián)不斷合并，另一個從局部開始擴散找身邊的最小不斷擴散直到生成最小生成樹。在學(xué)習(xí)最小生成樹之前最好學(xué)習(xí)一下dijkstra算法和并查集，這樣在實現(xiàn)起來能夠快一點，清晰一點。
力扣1584就是一個最小生成樹的入門題，不過哪個有點區(qū)別的就是默認所有點是聯(lián)通的，所以需要你剪枝優(yōu)化。這里就不帶大家一起看啦，有問題下面也可交流！
最后，如果你那天真的獲得一大筆資金去修建這么一條昂貴的黃金路線，可以適當(dāng)采取此方法，另外剩下的大批，茍富貴，勿相忘。
歡迎關(guān)注??，一個有溫度的原創(chuàng)公眾號！
點個在看你最好看