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來(lái)源：AI科技評(píng)論
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今年早些時(shí)候，一個(gè)由數(shù)學(xué)家和地球科學(xué)家組成的團(tuán)隊(duì)發(fā)現(xiàn)了一種全新的近似奇點(diǎn)的方法——他們利用了深度學(xué)習(xí)方法，能夠直接觀察奇點(diǎn)。

250多年來(lái)，數(shù)學(xué)家們一直試圖“爆破”一些物理學(xué)中最重要的方程式，比如描述流體流動(dòng)的歐拉方程。如果他們成功，他們會(huì)發(fā)現(xiàn)，在某種情況下方程會(huì)被爆破——比如可能會(huì)出現(xiàn)一個(gè)無(wú)限快地旋轉(zhuǎn)的漩渦，或者出現(xiàn)一個(gè)突然停止又突然流動(dòng)的電流，或者是出現(xiàn)一個(gè)以無(wú)限快的速度掠過(guò)的電子。超過(guò)這個(gè)爆發(fā)點(diǎn)——也就是“奇點(diǎn)”——方程將不再有解。這些方程甚至將無(wú)法描述這個(gè)世界的理想情況，數(shù)學(xué)家們有理由懷疑這些流體行為的模型到底是否可靠。

奇點(diǎn)正如其所要描述的流體一樣滑溜而不可捉摸。為了找到答案，數(shù)學(xué)家們通常會(huì)把控制流體流動(dòng)的方程式輸入計(jì)算機(jī)，然后進(jìn)行數(shù)字模擬。他們從一組初始條件開始，然后觀察，直到某個(gè)量的值——比如速度，或者渦度——開始瘋狂地增長(zhǎng)，似乎在朝著爆炸的方向發(fā)展。

但是計(jì)算機(jī)無(wú)法確定地發(fā)現(xiàn)奇點(diǎn)，原因很簡(jiǎn)單，因?yàn)橛?jì)算機(jī)無(wú)法處理無(wú)限值。如果奇點(diǎn)存在，計(jì)算機(jī)模型可能會(huì)接近方程被爆破的那個(gè)點(diǎn)，但永遠(yuǎn)無(wú)法直接得到奇點(diǎn)。事實(shí)上，當(dāng)用更強(qiáng)大的計(jì)算方法探測(cè)時(shí)，明顯的奇點(diǎn)卻已經(jīng)消失了。

但這種對(duì)奇點(diǎn)的近似仍然很重要。有了近似，數(shù)學(xué)家們就可以使用一種叫做計(jì)算機(jī)輔助證明的技術(shù)來(lái)證明附近確實(shí)存在一個(gè)奇點(diǎn)。此前已經(jīng)有過(guò)簡(jiǎn)化的一維版本的研究。

今年早些時(shí)候，一個(gè)由數(shù)學(xué)家和地球科學(xué)家組成的團(tuán)隊(duì)發(fā)現(xiàn)了一種全新的近似奇點(diǎn)的方法——他們利用了深度學(xué)習(xí)方法，能夠直接觀察奇點(diǎn)。這個(gè)團(tuán)隊(duì)還用這種方法來(lái)尋找傳統(tǒng)方法無(wú)法找到的奇點(diǎn)，希望能證明這些方程并不像看起來(lái)那樣絕對(duì)可靠。

論文地址：

https://arxiv.org/pdf/2201.06780v2.pdf

在該研究中，Yongji Wang 等人開發(fā)了一個(gè)新的數(shù)值框架，利用基于物理信息的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（physics-informed neural network，PINN）尋找Boussinesq方程的光滑自相似解。該解對(duì)應(yīng)于存在圓柱邊界的三維歐拉方程的漸近自相似曲線。特別地，該解是對(duì)三維歐拉方程 Luo-Hou 爆破場(chǎng)景的精確描述。該解是流體力學(xué)方程的第一個(gè)真正的多維光滑向后自相似曲線。該數(shù)值框架具有魯棒性，且易于適用于其它方程。

該文研究了在數(shù)學(xué)流體力學(xué)領(lǐng)域中具有重要意義的二維Boussinesq方程和三維帶邊界的歐拉方程的有限時(shí)間爆破問(wèn)題。Yongji Wang 等人使用了一種新穎的數(shù)值方法，利用物理信息神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)構(gòu)造了Boussinesq方程的光滑向后自相似解。這個(gè)解本身可能成為未來(lái)計(jì)算機(jī)輔助證明二維Boussinesq和三維帶邊界的歐拉方程爆破的基礎(chǔ)。

這項(xiàng)研究引發(fā)了一場(chǎng)爆破流體方程的競(jìng)賽：一邊是深度學(xué)習(xí)團(tuán)隊(duì)，另一邊是多年來(lái)一直使用著更成熟的技術(shù)的數(shù)學(xué)家們。不管誰(shuí)可能會(huì)贏得這場(chǎng)比賽——如果有人真的能夠到達(dá)終點(diǎn)線的話——結(jié)果都表明，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)可以幫助人們?yōu)樵S多不同的問(wèn)題尋找新的解決方案。

消失的爆破解

萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler）在1757年提出了歐拉方程，該方程描述了理想的、不可壓縮的流體的運(yùn)動(dòng)——這種流體沒(méi)有粘性，也沒(méi)有內(nèi)摩擦，而且不能壓縮到更小的體積。（自然界中發(fā)現(xiàn)的許多流體一樣是具有粘性的，它們的模型是納維爾-斯托克斯方程；爆破納維爾-斯托克斯方程將獲得克雷數(shù)學(xué)研究所 100萬(wàn)美元的千禧年獎(jiǎng)。）給定流體中每個(gè)粒子在某一起始點(diǎn)的速度，歐拉方程應(yīng)該能夠預(yù)測(cè)流體在任何時(shí)候的流動(dòng)狀況。

但是數(shù)學(xué)家們想知道，在某些情況下——即使一開始看起來(lái)沒(méi)什么問(wèn)題——這些方程最終是否會(huì)遇到麻煩。（我們有理由懷疑這可能是事實(shí)：他們模擬的理想流體與真正的只有最輕微粘性的流體沒(méi)有任何相似之處。歐拉方程中奇點(diǎn)的形成可以解釋這種散度。）

2013年，兩位數(shù)學(xué)家提出了這樣一個(gè)設(shè)想。由于一個(gè)完整的三維流體流動(dòng)的動(dòng)力學(xué)可以變得難以置信的復(fù)雜，加州理工學(xué)院的數(shù)學(xué)家Thomas Hou和香港恒生大學(xué)的Guo Luo認(rèn)為流動(dòng)服從某種對(duì)稱性。

在他們的模擬中，流體在一個(gè)圓柱形杯內(nèi)旋轉(zhuǎn)。杯子上半部分的液體順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，而下半部分的液體逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。相反的水流形成了其他復(fù)雜的上下循環(huán)的水流。很快，在邊界上兩股相反的水流相遇處，流體的渦度爆發(fā)了。

圖源Merrill Sherman/Quanta Magazine

雖然這個(gè)證明提供了奇點(diǎn)存在的有力證據(jù)，但沒(méi)有證據(jù)的話，不可能確定它就是奇點(diǎn)。在Hou和Luo的證明之前，許多模擬都提出了潛在的奇點(diǎn)，可是后來(lái)在一臺(tái)更強(qiáng)大的計(jì)算機(jī)上進(jìn)行測(cè)試時(shí)，大多數(shù)奇點(diǎn)都消失了。明尼蘇達(dá)大學(xué)的數(shù)學(xué)家Vladimir Sverak說(shuō)：“你認(rèn)為存在一個(gè)奇點(diǎn)，然后你把它放到分辨率更好的更大的電腦上，不知怎么的，原本你以為存在的奇點(diǎn)卻不見(jiàn)了?！?/span>

這是因?yàn)檫@些解決方案可能很容易受到看似微不足道的小錯(cuò)誤的影響，這些錯(cuò)誤會(huì)隨著模擬中的每一個(gè)時(shí)間步而累積。普林斯頓大學(xué)的數(shù)學(xué)家Charlie Fefferman說(shuō)：“在計(jì)算機(jī)上模擬歐拉方程是一種微妙的藝術(shù)，因?yàn)闅W拉方程對(duì)解的小數(shù)點(diǎn)后38位小之又小的誤差非常敏感。”

盡管如此，Hou和Luo對(duì)奇點(diǎn)的近似解迄今為止經(jīng)受住了所有的考驗(yàn)，并且鼓勵(lì)了許多人進(jìn)行相關(guān)的研究。Sverak說(shuō)：“這是奇點(diǎn)形成的最佳方案，很多人，包括我自己，都相信這一次得到的是一個(gè)真正的奇點(diǎn)?！?/span>

為了充分證明歐拉方程已被爆破，數(shù)學(xué)家需要證明，給定近似奇點(diǎn)的情況下附近存在一個(gè)真實(shí)的奇點(diǎn)。他們可以用精確的數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)重新描述這個(gè)說(shuō)法，如于近似的一個(gè)足夠近的區(qū)域內(nèi)存在一個(gè)實(shí)解，如果某些性質(zhì)可以被驗(yàn)證的話，就能證明這個(gè)說(shuō)法是正確的。而驗(yàn)證這些特性又需要計(jì)算機(jī)：這一次需要執(zhí)行一系列的計(jì)算(包括近似解)，并小心地控制過(guò)程中可能累積的誤差。

Hou 與其研究生Jiajie Chen幾年來(lái)一直在研究計(jì)算機(jī)輔助證明。他們從2013年開始對(duì)近似解進(jìn)行了改進(jìn)，并且現(xiàn)在在使用這個(gè)近似作為他們新證明的基礎(chǔ)。他們還表明，這種一般策略也適用于比歐拉方程更容易解的問(wèn)題。

現(xiàn)在，另一群人也加入了狩獵行動(dòng)。他們用一種完全不同的方法找到了近似，這個(gè)方法與Hou和Luo的結(jié)果非常相似。他們現(xiàn)在在編寫他們自己的計(jì)算機(jī)輔助證明。但是為了獲得近似值，他們首先需要轉(zhuǎn)向一種新的深度學(xué)習(xí)形式。

PINN：始于冰川研究

關(guān)于歐拉方程爆破的新研究始于這樣一個(gè)令人意想不到的領(lǐng)域——地球物理學(xué)家對(duì)南極洲冰蓋的動(dòng)力學(xué)研究。他們的研究要求使用一種深度學(xué)習(xí)方法，這種方法后來(lái)在更多的理論背景中都被證明是有用的。

數(shù)學(xué)家Tristan Buckmaster目前是普林斯頓高等研究院的訪問(wèn)學(xué)者，他發(fā)現(xiàn)這種新方法純屬一次偶然。去年，他所在系的本科生Charlie Cowen Breen請(qǐng)他簽署一個(gè)項(xiàng)目，該學(xué)生在普林斯頓地球物理學(xué)家Ching-Yao Lai的指導(dǎo)下一直在對(duì)南極冰蓋做動(dòng)力學(xué)研究。他們?cè)噲D通過(guò)衛(wèi)星圖像和其他觀測(cè)來(lái)推測(cè)冰的粘度，并預(yù)測(cè)其未來(lái)的流動(dòng)。通過(guò)運(yùn)用一種以前從未見(jiàn)過(guò)的深度學(xué)習(xí)方法——“基于物理信息的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)”（PINN），他們實(shí)現(xiàn)了這一點(diǎn)。

傳統(tǒng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)需要對(duì)大量數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練才能進(jìn)行預(yù)測(cè)，PINN則與此不同，它還必須滿足一組潛在的物理約束條件，包括運(yùn)動(dòng)定律、能量守恒、熱力學(xué)等等，以及科學(xué)家為了解決特定問(wèn)題而需要引入的其他任何物理約束。

圖源NASA地球觀測(cè)站

將物理因素引入神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有這樣幾個(gè)目的。一方面，這樣的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠在幾乎沒(méi)有可用數(shù)據(jù)的情況下回答問(wèn)題。另一方面，PINN能夠推斷出原始方程中的未知參數(shù)。Lai的實(shí)驗(yàn)室博士后研究員、新論文的合著者之一Yongji Wang 指出，在許多物理問(wèn)題中，“我們大概知道方程應(yīng)該是什么樣子，但我們不知道‘某些’項(xiàng)的系數(shù)應(yīng)該是什么”。Lai和Cowen Breen試圖要確定的參數(shù)就會(huì)出現(xiàn)這種情況。

布朗大學(xué)的應(yīng)用數(shù)學(xué)家George Karniadakis曾于2017年開發(fā)了第一個(gè)PINNs，他提出并命名了“隱藏流體力學(xué)” （hidden fluid mechanics）。

學(xué)生Cowen-Breen的請(qǐng)求引起了Buckmaster的思考。Hou、Luo 和 Chen等人對(duì)圓柱界面歐拉方程組經(jīng)典求解方法經(jīng)歷了漫長(zhǎng)的艱難推進(jìn)。但由于對(duì)時(shí)間的依賴性，他們只能非常接近而無(wú)法到達(dá)奇點(diǎn)：當(dāng)他們?cè)絹?lái)越接近可能看起來(lái)像無(wú)窮大的東西時(shí)，計(jì)算機(jī)的計(jì)算將變得越來(lái)越不可靠，以至于他們無(wú)法真正看到爆破本身的點(diǎn)。

但歐拉方程可以用另一組方程來(lái)表示，通過(guò)一種巧妙的技術(shù)，可以把時(shí)間的影響排除在外。Hou 和 Luo（2013）的研究結(jié)果令人矚目，不僅因?yàn)樗麄兇_定了一個(gè)非常精確的近似解，而且他們發(fā)現(xiàn)的解決方案似乎還有一種特殊的“自相似”（self-similar）結(jié)構(gòu)。這意味著，無(wú)論時(shí)間向前推移多久，模型的解決方案都遵循一定的模式：其后來(lái)的形狀看起來(lái)與原始形狀非常相似，只是更大一些。

這個(gè)特征意味著數(shù)學(xué)家可以專注于奇點(diǎn)出現(xiàn)之前的某個(gè)時(shí)間。如果他們以一個(gè)正確的速度放大那張快照——這就好像他們?cè)谝粋€(gè)顯微鏡下不斷進(jìn)行調(diào)整放大去觀察它一樣——他們就可以模擬之后會(huì)發(fā)生什么，直到到達(dá)奇點(diǎn)本身。同時(shí)，如果他們以這種方式重新進(jìn)行縮放，那么在這個(gè)新系統(tǒng)中實(shí)際上就不會(huì)出現(xiàn)嚴(yán)重錯(cuò)誤，可以避免處理無(wú)限值的問(wèn)題。Fefferman 說(shuō)，“它只是接近一個(gè)良好的極限”，這個(gè)極限代表依賴時(shí)間的方程版本中爆破的發(fā)生。

Sverak 表示：“對(duì)這些（被重新縮放的）函數(shù)進(jìn)行建模更容易，因此，如果你能用一個(gè)自相似函數(shù)來(lái)描述一個(gè)奇點(diǎn)，這會(huì)是一個(gè)很大的優(yōu)勢(shì)。”

圖注：從左到右分別是：數(shù)學(xué)家Tristan Buckmaster和Javier Gómez Serrano，地球物理學(xué)家Cheng Yao Lai和Yongji Wang。他們合作使用基于物理的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)研究歐拉方程的爆破。

問(wèn)題是，要使其發(fā)揮作用，數(shù)學(xué)家不僅僅是要求解出通常參數(shù)（如速度和渦度）的方程（使用自相似坐標(biāo)來(lái)書寫這些方程），方程本身還有一個(gè)未知的參數(shù)：控制放大率的變量。這個(gè)值必須恰到好處，以確保方程的解與初始問(wèn)題中的爆破解相一致。

數(shù)學(xué)家必須同時(shí)向前和向后地求解這些方程——這是一項(xiàng)用傳統(tǒng)方法很難實(shí)現(xiàn)的任務(wù)，如果不是不可能的話。找到這些解決方案，正是設(shè)計(jì)PINNs的目的。

爆破解的尋求之路

回顧當(dāng)初，Buckmaster說(shuō)，開發(fā)PINN“似乎是顯而易見(jiàn)要做的”。

Buckmaster、Lai、Wang 以及Javier Gómez-Serrano（他是布朗大學(xué)和巴塞羅那大學(xué)的數(shù)學(xué)家）四人合作，建立了一套物理約束來(lái)幫助指導(dǎo)PINN，這套物理約束包括與對(duì)稱性和其他性質(zhì)有關(guān)的條件，以及他們想要求解的方程。他們使用了一組使用自相似坐標(biāo)來(lái)重寫的二維方程，這些方程在接近圓柱邊界的點(diǎn)上等價(jià)于三維歐拉方程。

然后，他們訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)來(lái)尋找滿足這些約束條件的解——以及自相似參數(shù)。“這種方法非常靈活，只要施加正確的約束，你總能找到一個(gè)解?！盠ai說(shuō)道。事實(shí)上，團(tuán)隊(duì)還通過(guò)在其他問(wèn)題上測(cè)試該方法展示了這種靈活性。

該團(tuán)隊(duì)提供的答案看起來(lái)很像Hou 和 Luo （2013）提出的解決方案。但是數(shù)學(xué)家們希望他們給出的近似能更詳細(xì)地描述正在發(fā)生的事情，因?yàn)檫@是第一次直接計(jì)算出這個(gè)問(wèn)題的自相似解。Sverak 表示：“新的研究結(jié)果更精確地說(shuō)明了奇點(diǎn)是如何形成的”，即某些值會(huì)如何達(dá)到爆破點(diǎn)，以及方程將如何崩潰。

Buckmaster指出：“在沒(méi)有神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的情況下，你很難證明你是真的在捕捉奇點(diǎn)的本質(zhì)。很明顯，這項(xiàng)研究所用的方法是比傳統(tǒng)方法要容易得多?！?/span>

Gómez-Serrano對(duì)此表示同意，他說(shuō)：“這在未來(lái)將成為人們手邊的一種標(biāo)準(zhǔn)工具”。

PINNs再一次揭示了Karniadakis所說(shuō)的“隱藏流體力學(xué)”，只是這一次，他們用PINNs在更具理論性的問(wèn)題上取得了進(jìn)展。Karniadakis說(shuō)：“我還沒(méi)見(jiàn)過(guò)有人用PINNs來(lái)做這件事?！?/span>

這并不是數(shù)學(xué)家感到興奮的唯一原因。PINNs可能也可以用來(lái)找到另一種奇點(diǎn)，這種奇點(diǎn)用傳統(tǒng)的數(shù)值方法是幾乎發(fā)現(xiàn)不了的。這些“不穩(wěn)定”奇點(diǎn)可能是某些流體動(dòng)力學(xué)模型中唯一存在的奇點(diǎn)，包括沒(méi)有圓柱邊界的歐拉方程（這一的方程求解起來(lái)已經(jīng)復(fù)雜很多）和納維-斯托克斯方程（Navier-Stokes equations）?！安环€(wěn)定的奇點(diǎn)確實(shí)存在。所以為什么不找到它們呢？”普林斯頓的數(shù)學(xué)家Peter Constantin曾這樣說(shuō)道。

但即使對(duì)于用經(jīng)典方法可以處理的穩(wěn)定奇點(diǎn)，PINN為有圓柱邊界的歐拉方程提供的解決方案“是定量且精確的，并且還可以變得更為嚴(yán)密?，F(xiàn)在有了一個(gè)通往證明的路線圖。這將需要做很多工作，需要很多的技能。我想這還需要一些創(chuàng)意。但我不認(rèn)為這需要什么天賦。我認(rèn)為這是可行的。”Fefferman這樣表示。

Buckmaster的團(tuán)隊(duì)現(xiàn)在正在與Hou和Chen展開一項(xiàng)競(jìng)賽，看誰(shuí)能搶先到達(dá)終點(diǎn)線。Hou和Chen在這條賽道上是領(lǐng)先一步的：據(jù)Hou說(shuō)，他們?cè)谶^(guò)去幾年里在改進(jìn)近似解和完成證明方面取得了實(shí)質(zhì)性進(jìn)展，他懷疑Buckmaster和他的同事必須改進(jìn)近似解，才能得到他們自己的證明。而他認(rèn)為，現(xiàn)有近似解的誤差余地已經(jīng)很小了。

盡管如此，許多專家希望，250年來(lái)人們對(duì)歐拉方程爆破解的探索將接近尾聲。Sverak 說(shuō)：“從概念上講，我認(rèn)為……所有重要的部分都已到位，只是細(xì)節(jié)還很難確定?！?/span>

參考鏈接：

https://www.quantamagazine.org/deep-learning-poised-to-blow-up-famed-fluid-equations-20220412/

https://arxiv.org/pdf/2201.06780v2.pdf

編輯：黃繼彥

校對(duì)：林亦霖

深度學(xué)習(xí)蓄勢(shì)待發(fā)，即將“爆破”歐拉方程