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數(shù)學(xué)算法俱樂(lè)部

日期： 2021年04月11日

正文共：7351字

來(lái)源：好玩的數(shù)學(xué)

圖片來(lái)源：pixabay.com

作者 | [法]米卡埃爾·洛奈(Mickaёl Launay)

譯者 | 孫佳雯

節(jié)選自《萬(wàn)物皆數(shù)》，北京聯(lián)合出版公司，標(biāo)題為小編所加。

對(duì)于古希臘的數(shù)學(xué)家們來(lái)說(shuō)，“證明”將是他們需要攻堅(jiān)的主戰(zhàn)場(chǎng)之一。如果沒(méi)有相應(yīng)的驗(yàn)證過(guò)程，那么一個(gè)“定理”則不能被承認(rèn)，也就是說(shuō)，需要有一個(gè)特定的邏輯推理明確地確立其真實(shí)性。應(yīng)該說(shuō)，如果沒(méi)有證明過(guò)程的“保駕護(hù)航”，數(shù)學(xué)結(jié)論中可能會(huì)混雜一些不妙的“驚喜”。然而，有一些方法，雖然被人們熟知且大范圍使用，卻并不總是那么管用。

舉個(gè)例子！在《萊因德紙草書(shū)》[1]的記錄中，有一個(gè)關(guān)于“化圓為方”[2]的問(wèn)題，然而這個(gè)記錄是錯(cuò)誤的。雖然錯(cuò)得不算太離譜，但還是錯(cuò)了。不管我們?nèi)绾闻Γ瑘A形和方形的面積之間依然存在大約0.5% 的差別！所以，對(duì)于土地測(cè)量員或者其他的土地規(guī)劃師來(lái)說(shuō)，這沒(méi)什么問(wèn)題，如此的精度綽綽有余，但是對(duì)于理論數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，這是不可接受的。

譯注[1]：也稱阿姆士（Ahmose）紙草書(shū)，或者大英博物館10057和10058號(hào)紙草書(shū)，是古埃及第二中間期時(shí)代（約公元前1640年至公元前1550年）由名為阿姆士的僧侶在紙草書(shū)上抄寫的一部數(shù)學(xué)著作，是具有代表性的古埃及數(shù)學(xué)原始文獻(xiàn)之一。

譯注[2]：化圓為方是古希臘數(shù)學(xué)里尺規(guī)作圖領(lǐng)域當(dāng)中的命題，和三等分角、倍立方問(wèn)題并列為盡規(guī)作圖三大難題。其問(wèn)題為：求一正方形，其面積等于一給定圓的面積。

就連畢達(dá)哥拉斯也陷入了各種錯(cuò)誤假設(shè)的陷阱之中，他最著名的錯(cuò)誤是關(guān)于“可測(cè)長(zhǎng)度”的問(wèn)題。畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為，在幾何學(xué)的意義上，任意兩個(gè)長(zhǎng)度總是可以被測(cè)量的，也就是說(shuō)，能夠找到一個(gè)足夠小的單位，同時(shí)測(cè)量這兩個(gè)長(zhǎng)度。試想一下，有兩條線段，一條長(zhǎng)9 厘米，另一條長(zhǎng)13.7 厘米。古希臘人并不知道小數(shù)點(diǎn)，他們只用整數(shù)來(lái)測(cè)量長(zhǎng)度。因此，對(duì)于他們來(lái)說(shuō)，第二條線段無(wú)法用厘米來(lái)測(cè)定。但是沒(méi)關(guān)系，在這種情況下，只要用更小的單位，即厘米的十分之一? 毫米?來(lái)測(cè)定，很容易得出這兩條線段分別為90 毫米和137 毫米。畢達(dá)哥拉斯相信，任意兩條線，不管長(zhǎng)度是多少，總是能夠找到一個(gè)合適的度量單位進(jìn)行同時(shí)測(cè)量。

然而，這種“信念”卻被一個(gè)叫希帕索斯的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派門徒推翻。希帕索斯發(fā)現(xiàn)，在一個(gè)正方形中，邊長(zhǎng)和對(duì)角線長(zhǎng)是不可同時(shí)測(cè)量的！不管選擇什么測(cè)量單位，正方形的邊長(zhǎng)和對(duì)角線長(zhǎng)總是不可能同時(shí)由整數(shù)測(cè)定。希帕索斯還提供了一個(gè)邏輯論證，使得這個(gè)結(jié)論變得板上釘釘，不可動(dòng)搖。畢達(dá)哥拉斯和他的門徒們大為驚慌，將希帕索斯驅(qū)逐出畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。甚至有傳言說(shuō)，希帕索斯因?yàn)檫@一發(fā)現(xiàn)被他的同窗們丟進(jìn)了海里！

對(duì)于數(shù)學(xué)家來(lái)說(shuō)，這樣的逸事是很可怕的。我們真的能夠肯定地?cái)嘌允裁词虑閱?？我們是不是生活在這樣一種永恒的恐懼之中，害怕所有的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)有朝一日都會(huì)支離破碎？那么邊長(zhǎng)為3∶4∶5的三角形呢？我們能確定它真的是直角三角形嗎？在未來(lái)的某一天，我們是不是也可能會(huì)發(fā)現(xiàn)，在我們今天看來(lái)是完美直角的那個(gè)角，其實(shí)也只是一個(gè)近似直角的角而已？

直到今天，數(shù)學(xué)家們還時(shí)不時(shí)地成為錯(cuò)誤直覺(jué)的受害者，這并不稀罕。這也就是為什么，當(dāng)今的數(shù)學(xué)家們依然追隨古希臘前輩們追求嚴(yán)謹(jǐn)?shù)木?，并且采取非常?jǐn)慎的態(tài)度來(lái)區(qū)分那些被稱為“定理”的、已經(jīng)被論證過(guò)的陳述和那些他們認(rèn)為是正確的，但是暫時(shí)還沒(méi)有辦法得到證明的陳述?他們稱之為“猜想”。

在我們這個(gè)年代，黎曼猜想是非常著名的數(shù)學(xué)猜想之一。很多數(shù)學(xué)家都對(duì)這個(gè)尚未被證明的猜想的真實(shí)性很有信心，因此他們做了很多以黎曼猜想為基礎(chǔ)的研究。如果有朝一日，黎曼猜想變成了定理，那么他們的研究就能“板上釘釘”。但如果有朝一日黎曼猜想被推翻，所有以黎曼猜想為基礎(chǔ)的研究工作都會(huì)隨之傾頹，無(wú)數(shù)人畢生的努力將付之東流。我們作為21 世紀(jì)的科學(xué)工作者，毫無(wú)疑問(wèn)會(huì)比我們的古希臘前輩們更加理性，但是我們也可以理解，在這種情況下，如果有一位數(shù)學(xué)家站出來(lái)宣稱黎曼猜想是不成立的，那真的會(huì)有不少數(shù)學(xué)家同行產(chǎn)生想投水自盡的欲望。

正是為了避免這種不知何時(shí)可能就“被否定”的永恒的焦慮感，數(shù)學(xué)需要證明。沒(méi)錯(cuò)，我們永遠(yuǎn)不會(huì)發(fā)現(xiàn)原來(lái)3∶4∶5 不是直角三角形，它就是直角三角形，確定一定以及肯定。這種確定性來(lái)自于“畢達(dá)哥拉斯定理已經(jīng)被證明了”這一事實(shí)。任意兩邊邊長(zhǎng)的平方和等于第三條邊的平方的三角形是直角三角形。對(duì)于美索不達(dá)米亞人來(lái)說(shuō)，上面的陳述毫無(wú)疑問(wèn)只是一個(gè)猜想。可是對(duì)于古希臘人來(lái)說(shuō)，它就成了定理。喲吼！

那么，所謂的“證明”到底是什么樣子的呢？畢達(dá)哥拉斯定理不單單是最著名的定理，同樣也是人類歷史上擁有最多證明方式的定理?差不多有幾十種。其中有一些證明方式是由其他文明的人獨(dú)立發(fā)現(xiàn)的，他們肯定沒(méi)有聽(tīng)說(shuō)過(guò)歐幾里得，也沒(méi)有聽(tīng)說(shuō)過(guò)畢達(dá)哥拉斯。比如，在《九章算術(shù)》的后人批注當(dāng)中，人們就發(fā)現(xiàn)了勾股定理的證明過(guò)程。還有一些證明過(guò)程是由一些數(shù)學(xué)家完成的，他們知道這個(gè)定理已經(jīng)被證明，或是出于想要挑戰(zhàn)的心理，或者是希望能夠給這個(gè)定理留下一些個(gè)人的印記，總之他們興致勃勃地創(chuàng)建了新的證明方式。在這些數(shù)學(xué)家中，我們能找到幾個(gè)相當(dāng)耳熟能詳?shù)拿?，比如意大利發(fā)明家達(dá)·芬奇，或者第20任美國(guó)總統(tǒng)詹姆斯·艾布拉姆·加菲爾德。

在畢達(dá)哥拉斯定理的證明過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)，有一個(gè)原則被經(jīng)常使用：如果兩個(gè)幾何圖形是由同樣若干個(gè)幾何形狀以不同的方式拼貼而成的，那么這兩個(gè)圖形的面積是相等的。以下就是公元3世紀(jì)的中國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽想象出來(lái)的切割方式。

由中間的直角三角形兩個(gè)直角邊出發(fā)，形成的兩個(gè)正方形，分別由2塊和5塊碎片構(gòu)成。所有這7塊碎片合起來(lái)，形成了另外一個(gè)由該直角三角形斜邊出發(fā)構(gòu)成的正方形。因此，以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形面積等于另外兩個(gè)較小的正方形面積之和。而正方形的面積等于它邊長(zhǎng)的平方，于是，勾股定理證明完畢。

我們這里不會(huì)就更多的細(xì)節(jié)具體展開(kāi)，但很顯然，為了使證明過(guò)程變得完整，有必要證明所有的這些碎片都完全地、嚴(yán)格地相同，并且證明這樣的切割適用于所有的直角三角形。

總之！讓我們重拾我們的推理鏈，為什么3 ∶ 4 ∶ 5 是直角三角形？因?yàn)樗玫搅水呥_(dá)哥拉斯定理的認(rèn)定。為什么畢達(dá)哥拉斯定理是正確的？因?yàn)閯⒒諏?duì)正方形的巧妙切割，展示了直角三角形兩條直角邊長(zhǎng)構(gòu)成的正方形面積和恰好等于該直角三角形斜邊構(gòu)成的正方形面積。整個(gè)過(guò)程看上去很像孩子們愛(ài)玩兒的“為什么”游戲。問(wèn)題是，這個(gè)小小的游戲有個(gè)令人討厭的缺陷，就是它永遠(yuǎn)都不會(huì)結(jié)束。無(wú)論問(wèn)題的答案是什么，我們總是有可能再對(duì)這個(gè)答案提出質(zhì)疑。為什么？是啊，為什么呢？

讓我們?cè)倩氐絼⒒盏钠磮D：我們已經(jīng)確定，如果兩個(gè)幾何圖形由相同的若干碎片構(gòu)成，那么這兩個(gè)圖形具有相同的面積?？墒?，我們證明過(guò)這個(gè)原則始終是正確的嗎？難道我們就找不到這樣的一些碎片，使其面積和因組裝方式的不同而不同嗎？這種主張看上去似乎很荒謬，不是嗎？它是如此的荒謬，以至于想要證明它的嘗試看上去都非常奇怪……然而，我們剛剛才確認(rèn)過(guò)，在數(shù)學(xué)中，很重要的一點(diǎn)就是“ 證明一切”。所以就在我們承認(rèn)這一規(guī)則之后不到一會(huì)兒，就愿意放棄這一規(guī)則了嗎？

這可不是什么玩笑，形勢(shì)很是嚴(yán)峻。尤其是，即使我們成功地解釋了為什么劉徽的拼圖原則是正確的，還是應(yīng)該繼續(xù)證明使用這種方法是出于什么理由！

古希臘的數(shù)學(xué)家們也意識(shí)到了這個(gè)問(wèn)題。為了證明某個(gè)數(shù)學(xué)事實(shí)，需要從另外一個(gè)地方入手。但是，任何數(shù)學(xué)過(guò)程的第一句話都沒(méi)有得到證明，就是因?yàn)樗鼈兪恰暗谝痪湓挕薄Ｒ虼?，所有的?shù)學(xué)建構(gòu)，都必須從承認(rèn)某一些先驗(yàn)的顯然事實(shí)開(kāi)始。因?yàn)樗械慕?gòu)都將以這些“顯然事實(shí)”為基礎(chǔ)而展開(kāi)，因此我們必須萬(wàn)分慎重地選擇這些“顯然事實(shí)”。

數(shù)學(xué)家們稱這些“顯然事實(shí)”為“公理”。公理和定理、猜想一樣，都是數(shù)學(xué)陳述，但區(qū)別在于，公理沒(méi)有證明過(guò)程，我們也不需要尋求證明過(guò)程。它們被所有人承認(rèn)是正確的。

公元前3世紀(jì)，歐幾里得撰寫了一部共13卷的《幾何原本》，主要用來(lái)討論幾何學(xué)與算術(shù)的問(wèn)題。

對(duì)于歐幾里得，今天的我們了解得不多，他并不像泰勒斯或者畢達(dá)哥拉斯那樣留下了很多的相關(guān)資料和江湖傳說(shuō)。他很有可能住在古埃及的亞歷山大港一帶。還有一些人提出一種假說(shuō)，就像之前針對(duì)畢達(dá)哥拉斯的假說(shuō)那樣，他們認(rèn)為歐幾里得不是“一個(gè)人”，而是一群學(xué)者的合稱。總之一切都不能確定。

盡管我們對(duì)歐幾里得知之甚少，然而他卻留給了我們《幾何原本》這樣偉大且不朽的著作。這部巨著被毫無(wú)爭(zhēng)議地認(rèn)為是數(shù)學(xué)史上偉大的著作之一，因?yàn)樗钕炔捎昧斯砘姆椒ā！稁缀卧尽芬粫?shū)的撰寫方式具有令人吃驚的現(xiàn)代性特征，它的行文結(jié)構(gòu)非常接近我們這個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)家們依然在使用的結(jié)構(gòu)方式。在15 世紀(jì)末期，《幾何原本》是谷登堡[3]使用新印刷術(shù)印刷成書(shū)的第一批書(shū)籍之一。在今天，歐幾里得的《幾何原本》是人類歷史上再版次數(shù)第二多的著作，僅次于《圣經(jīng)》。

譯注[3]：約翰內(nèi)斯·谷登堡(Johannes Gutenberg)，德國(guó)人，是發(fā)明活字印刷術(shù)的第一位歐洲人，他的發(fā)明引發(fā)了一次媒介革命，并被廣泛認(rèn)為是現(xiàn)代史上非常重要的事件之一。

在討論平面幾何的《幾何原本》第一卷中，歐幾里得提出了以下5 個(gè)公理：

1. 任意兩點(diǎn)能夠定義一條線段。

2. 一條線段能夠向兩端無(wú)限延伸。

3. 給定一條線段，能夠畫出一個(gè)以該線段的一個(gè)端點(diǎn)為圓心，線段長(zhǎng)度為半徑的圓。

4. 所有的角度都可疊加。

5. 若一條直線與兩條直線相交，在某一側(cè)的內(nèi)角和小于兩個(gè)直角和，那么這兩條直線在各自不斷地延伸后，會(huì)在內(nèi)角和小于兩直角的一側(cè)相交。

在這5個(gè)公理之后，是長(zhǎng)長(zhǎng)的一串經(jīng)過(guò)證明的、無(wú)可爭(zhēng)議的定理。對(duì)于所有這些定理的證明，歐幾里得使用的不過(guò)是上述的5個(gè)公理或者從這5個(gè)公理出發(fā)證明得出的結(jié)論。《幾何原本》第一卷的最后一個(gè)定理是我們的老熟人了?正是畢達(dá)哥拉斯定理。

在歐幾里得之后，大量的數(shù)學(xué)家也對(duì)“公理的選擇”這一問(wèn)題產(chǎn)生了興趣。他們中有很多人尤其對(duì)歐幾里得的第5條公理感到困惑和不安。沒(méi)錯(cuò)，最后這一條公理的確比前4條看上去復(fù)雜得多。有的時(shí)候，人們會(huì)用一個(gè)更簡(jiǎn)單的陳述代替這一條公理，但是最終的結(jié)論還是一樣的：對(duì)于給定的一點(diǎn)和不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的一條直線，我們能且只能畫出一條經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的該直線的平行線。對(duì)于“第5條公理”的選擇問(wèn)題，數(shù)學(xué)家們一直爭(zhēng)論到了19世紀(jì)，最終，隨著新的幾何模型的創(chuàng)建，爭(zhēng)論終于停止了，因?yàn)槿藗儼l(fā)現(xiàn)，在非歐幾何學(xué)中，“第5 條公理”是不成立的！

關(guān)于公理的表述還帶來(lái)另外一個(gè)問(wèn)題，即“定義”的問(wèn) 題。我們所使用的這些詞：點(diǎn)、線段、角或者圓，它們又是什么意思呢？如同“證明”所遭遇到的問(wèn)題一樣，“定義”的問(wèn)題也是無(wú)窮無(wú)盡的。因?yàn)椤暗谝粋€(gè)”定義必然是由此前沒(méi)有定義過(guò)的詞所表述的。

在《幾何原本》中，定義是先行于公理的。第一卷開(kāi)篇第一句話就是對(duì)“點(diǎn)”的定義。

點(diǎn)是沒(méi)有部分的東西。

真是很奇怪的表述，但是習(xí)慣就好！歐幾里得通過(guò)這個(gè)定義想說(shuō)的是， “點(diǎn)”是可能存在的幾何圖形中最小的一個(gè)。我們不可能玩兒“點(diǎn)”的拼圖游戲，點(diǎn)是不可切割的，它沒(méi)有“組成部分”。1632 年，在《幾何原本》早期的法語(yǔ)版本之一中，數(shù)學(xué)家丹尼· 亨利翁在他的注釋中對(duì)“點(diǎn)”的定義做了一定程度的補(bǔ)充，指出點(diǎn)是“沒(méi)有長(zhǎng)度、沒(méi)有寬度、沒(méi)有高度”的幾何形狀。

這些“否定式”的定義讓人心生懷疑，因?yàn)樗徽f(shuō)了“什么不是點(diǎn)”，而沒(méi)有真正地說(shuō)清楚“點(diǎn)到底是什么”！然而，更“聰明”的家伙們知道如何更好地下定義。在20 世紀(jì)早期的一些法國(guó)教材里，我們有時(shí)能找到這樣的定義：將一支削得極細(xì)的鉛筆筆尖壓到一張紙上，得到的痕跡就是“點(diǎn)”。“削得極細(xì)！”這次，我們終于有了一個(gè)實(shí)體的點(diǎn)。然而，這樣的一個(gè)定義卻能把歐幾里得、畢達(dá)哥拉斯和泰勒斯等古代數(shù)學(xué)家氣得活過(guò)來(lái)，因?yàn)樗麄冑M(fèi)盡千辛萬(wàn)苦，竭盡畢生之力，只是為了創(chuàng)造出完全抽象的、理想化的幾何圖像。沒(méi)有任何一支鉛筆?無(wú)論筆尖被削得有多么細(xì)?能夠真的在紙上留且僅留下一個(gè)沒(méi)有長(zhǎng)度、沒(méi)有寬度、沒(méi)有高度的痕跡。

總之，沒(méi)有人真正知道“點(diǎn)”到底是什么，但是幾乎所有人都確信，“點(diǎn)”這個(gè)想法足夠簡(jiǎn)單和清晰，而且不會(huì)產(chǎn)生模棱兩可的情況。所以，當(dāng)使用“點(diǎn)”這個(gè)詞的時(shí)候，我們終于能夠確定所有人都在討論同一個(gè)事情。

正是出于對(duì)這些“初始定義”和“公理”的絕對(duì)篤信，人們?cè)诖嘶A(chǔ)上發(fā)展出了整個(gè)幾何學(xué)。而且，更準(zhǔn)確地說(shuō)，我們整個(gè)現(xiàn)代數(shù)學(xué)學(xué)科正是建立在同樣的模型基礎(chǔ)之上的。

定義―公理―定理―證明：這條由歐幾里得開(kāi)辟的道路將成為他所有的后繼者必須要追尋的路徑。然而，隨著理論的建構(gòu)和擴(kuò)大，數(shù)學(xué)家們新的眼中釘又出現(xiàn)了，那就是悖論。

所謂悖論，就是一種似假非真、似是而非、自相矛盾的命題。它是一種顯然不能被解決的矛盾。一個(gè)看上去絕對(duì)正確的論述，結(jié)果卻能夠推導(dǎo)出一個(gè)完全荒謬的結(jié)論。想象一下，你列出了一個(gè)公理的清單，這些公理在你看來(lái)都是不容置疑的，然而你卻從這些公理出發(fā)推導(dǎo)出了一系列明顯是錯(cuò)誤的定理！簡(jiǎn)直是噩夢(mèng)啊！

歷史上著名的悖論之一，是由米利都的歐布里德提出的，內(nèi)容與古希臘詩(shī)人埃庇米尼得斯說(shuō)過(guò)的話有關(guān)。的確，埃庇米尼得斯曾在某一日宣布說(shuō)：“所有的克里特人都是騙子?！蹦敲磫?wèn)題來(lái)了，埃庇米尼得斯自己就是一個(gè)克里特人！因此，如果他說(shuō)的是真的，那么他就是個(gè)騙子，所以他說(shuō)的就是謊話；如果他說(shuō)的是假的，那么他就是在說(shuō)謊，這句話就成了真話！后來(lái)，這個(gè)悖論被演變成了各種各樣的形式，其中最簡(jiǎn)單的一種，是一個(gè)人說(shuō)：“我說(shuō)的這句話是謊話?！?/section>

說(shuō)謊者悖論挑戰(zhàn)了一個(gè)我們預(yù)設(shè)的想法，那就是對(duì)于任意一句陳述來(lái)說(shuō)，它或者是真，或者是假，絕對(duì)沒(méi)有第三種可能。在數(shù)學(xué)上，這被稱為“排中律”。乍一看，把排中律的原則當(dāng)成一個(gè)公理似乎是個(gè)很誘人的提議。然而，說(shuō)謊者悖論卻警告了我們：情況比排中律所說(shuō)的更復(fù)雜。如果一個(gè)陳述確認(rèn)了自己的虛假性，那么在邏輯上，它就是既非真也非假的。

但是，這種程度的“困擾”并不會(huì)影響當(dāng)今大多數(shù)數(shù)學(xué)家認(rèn)為排中律是真實(shí)的。畢竟，說(shuō)謊者悖論并不是一個(gè)真正的數(shù)學(xué)陳述，人們覺(jué)得它更像是一種語(yǔ)言學(xué)上的不一致，而不是一種邏輯的矛盾。然而，歐布里德身后2000 多年，邏輯學(xué)家們發(fā)現(xiàn)，同樣類型的矛盾居然也出現(xiàn)在了最嚴(yán)格的理論當(dāng)中，造成了數(shù)學(xué)領(lǐng)域的劇烈動(dòng)蕩。

公元前5 世紀(jì)的古希臘哲學(xué)家，埃利亞的芝諾，也是一位善于創(chuàng)造悖論藝術(shù)的大師。他自己一個(gè)人就創(chuàng)造出了將近10種悖論，其中最負(fù)盛名的，就是“阿喀琉斯追烏龜”。

想象一下，阿喀琉斯（一位著名的運(yùn)動(dòng)健將、“希臘第一勇士”）和一只烏龜，賽跑。為了平衡一下雙方實(shí)力，烏龜被允許領(lǐng)先一段距離起跑，比如說(shuō)領(lǐng)先100米好了。盡管烏龜具有這樣的優(yōu)勢(shì)，然而在我們看來(lái)，奔跑速度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于烏龜?shù)陌⒖α鹚苟紝⒑芸熠s超烏龜，贏得比賽。然而，芝諾卻向我們證明了相反的結(jié)果。芝諾說(shuō)，比賽的路程可以被分為若干個(gè)階段，為了追趕上烏龜，阿喀琉斯必須至少先跑過(guò)烏龜領(lǐng)先的100米。而當(dāng)阿喀琉斯跑過(guò)這100米的時(shí)候，烏龜也前進(jìn)了一段距離，因此，阿喀琉斯必須要再跑過(guò)這段距離才能追上烏龜?？墒钱?dāng)阿喀琉斯跑完這段距離的時(shí)候，烏龜又會(huì)往前移動(dòng)一段距離。因此，每次阿喀琉斯跑完了烏龜領(lǐng)先的一段距離，烏龜都會(huì)繼續(xù)再領(lǐng)先一段距離……

總之，每次阿喀琉斯跑到之前烏龜所在的地方的時(shí)候，烏龜都又前進(jìn)了一段距離，阿喀琉斯始終也追不上烏龜。這個(gè)“追趕”的過(guò)程可以一直持續(xù)下去，不管重復(fù)多少次，都是真的！因此，阿喀琉斯看上去總是越來(lái)越接近烏龜，可是永遠(yuǎn)也無(wú)法超過(guò)它。

很荒謬吧，不是嗎？但是只要親自下場(chǎng)驗(yàn)證一下就能知道，阿喀琉斯真的是分分鐘就能超越烏龜。然而，芝諾的推演過(guò)程看上去很牢靠，似乎很難尋找到什么邏輯上的錯(cuò)誤。數(shù)學(xué)家們花了很長(zhǎng)很長(zhǎng)的時(shí)間，才終于明白這個(gè)悖論實(shí)際上是巧妙地玩弄了“無(wú)限”的概念。假設(shè)烏龜和阿喀琉斯沿著直線跑，他們的運(yùn)動(dòng)軌跡可以看作歐幾里得所謂的“線段”。一條線段具有一個(gè)有限的長(zhǎng)度，盡管它是由無(wú)限個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的，而每個(gè)點(diǎn)的長(zhǎng)度都等于0。所以，在某種程度上說(shuō)，這是一種有限中的無(wú)限。芝諾悖論切割了時(shí)間間隔，使得阿喀琉斯追趕烏龜?shù)臅r(shí)間間隔變得越來(lái)越小。然而，這些無(wú)限的階段卻發(fā)生在有限的時(shí)間內(nèi)，因此，當(dāng)時(shí)間被突破的時(shí)候，就沒(méi)有什么能夠阻擋住阿喀琉斯追上烏龜?shù)哪_步了。

毫無(wú)疑問(wèn)，數(shù)學(xué)中的“無(wú)限”概念絕對(duì)是悖論產(chǎn)生的最大來(lái)源，然而“無(wú)限”同時(shí)也是一些最迷人的數(shù)學(xué)理論產(chǎn)生的搖籃。

縱觀歷史，數(shù)學(xué)家們與悖論之間一直保持著一種曖昧的關(guān)系。一方面，對(duì)于數(shù)學(xué)家們來(lái)說(shuō)，悖論的出現(xiàn)代表了最嚴(yán)重的危機(jī)。一旦某一天，某個(gè)理論衍生出了一個(gè)悖論，那么這個(gè)理論的所有基礎(chǔ)，也就是我們依據(jù)公理創(chuàng)造出來(lái)的所有定理，將紛紛倒塌。但是另一方面，悖論意味著挑戰(zhàn)！悖論是一種非常令人興奮的、豐富的問(wèn)題來(lái)源。悖論的存在意味著有什么東西正在困擾著我們，原因是我們錯(cuò)誤地理解了一個(gè)概念，或者錯(cuò)誤地提出了一個(gè)定義，或者錯(cuò)誤地選擇了一個(gè)公理。因?yàn)槲覀兲^(guò)想當(dāng)然，把一個(gè)明顯不是“顯然”的事情當(dāng)成了顯然。悖論是通往冒險(xiǎn)的邀請(qǐng)函，這張邀請(qǐng)函讓我們不得不重新思考之前最熟悉的那些“理所當(dāng)然”。如果沒(méi)有悖論不斷地慫恿著我們前進(jìn)，那么我們將錯(cuò)過(guò)多少新想法和新理論呢？

芝諾悖論激發(fā)了關(guān)于無(wú)限和測(cè)量的新概念。說(shuō)謊者悖論吸引著邏輯學(xué)家們繼續(xù)追尋“真理”和“可證明性”的深層概念。甚至在今天，還有很多學(xué)者會(huì)去分析、研究那些在古希臘學(xué)者們提出的悖論中已經(jīng)初露崢嶸的數(shù)學(xué)問(wèn)題。

1924年，數(shù)學(xué)家斯特凡·巴拿赫和阿爾弗雷德·塔斯基提出了一個(gè)悖論，今天我們稱之為“巴拿赫–塔斯基悖論”，它挑戰(zhàn)了拼圖的原則性問(wèn)題。該“悖論”讓這個(gè)顯而易見(jiàn)的原則看上去變成了一個(gè)重大缺陷。巴拿赫和塔斯基描繪了一個(gè)三維的拼圖，然而，鑒于我們組裝“碎片”的方式不同，這個(gè)三維幾何體的體積也可能是不同的！我們隨后會(huì)再討論這個(gè)問(wèn)題。然而，巴拿赫和塔斯基設(shè)想的“碎片”是如此奇形怪狀和不規(guī)則，可以說(shuō)是和古希臘幾何學(xué)家們掌握的所有幾何形狀都沒(méi)什么關(guān)系。請(qǐng)別擔(dān)心，當(dāng)“碎片”的形狀是三角形、正方形或者其他經(jīng)典形狀的時(shí)候，拼圖規(guī)則就始終是有效的。劉徽對(duì)于勾股定理的證明過(guò)程仍然成立。

但這可以看作給我們的“教訓(xùn)”！讓我們對(duì)那些“顯而易見(jiàn)”持懷疑態(tài)度吧，讓我們?yōu)檫@個(gè)由古希臘學(xué)者們打開(kāi)的數(shù)學(xué)世界中存在的種種謎團(tuán)感到驚喜和訝異吧。

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