一圖搞懂梯度、散度、旋度、Jacobian、Hessian、Laplacian之間的關系

? ?一、入門

圖中的細實線箭頭表示了四種一階微分運算，包括梯度、散度、旋度和 Jacobian。每條箭頭的起點表示了相應運算的自變量的類型，終點表示了相應運算的因變量的類型，例如梯度運算是作用在標量上的，結果是向量。圖中的「向量」默認為列向量。

這四種一階微分運算可以統(tǒng)一用算符?（讀作 nabla）表示。Nabla 算符是一個形式向量?，它可以如下地作用于標量?或向量?上：

• 直接與標量?相乘，得到?的梯度?。
• 與向量?點乘，得到?的散度?。本文把點乘用矩陣乘法的形式寫作?。
• 與向量?叉乘，得到?的旋度?。
• 若允許偏導算符寫在變量的右邊，則?就可以表示?的 Jacobian。

圖中的粗實線箭頭表示了兩種二階微分運算，它們可以由兩個一階微分運算組合而成，即：

• 梯度的散度就是 Laplacian；
• 梯度的 Jacobian 就是 Hessian。

圖中的虛線箭頭表示了一種不涉及微分的運算（跡）。在微分運算之后接上「跡」運算，可能得到另一種微分運算，如：

• Jacobian 的跡就是散度；
• Hessian 的跡就是 Laplacian。

???二、入迷

圖中的四種一階微分運算兩兩搭配，一共可以得到 7 種二階微分運算。第一節(jié)的圖中畫出了兩種，本節(jié)的圖中畫出了另外五種（淺藍色與灰色）。這五種二階微分運算并沒有特別的名字，但其中有兩種是恒等于 0 的：

• 梯度的旋度恒為零向量；
• 旋度的散度恒為 0。

其中，「梯度無旋」可以用下面的圖形象說明（圖片來自@得分的）：

如果梯度有旋會怎么樣？

???三、入魔

Laplacian 是一個作用于標量的二階微分運算，其結果也是標量。但我們也可以把它作用于一個向量的每一個元素，得到一個向量；這種運算稱為向量 Laplacian。

Laplacian 運算作用于標量?上的結果可以用 nabla 算符寫成?。這種寫法無法直接推廣到向量 Laplacian，因為?里?無法直接跟?做矩陣乘法。但如果允許偏導算符寫在變量右邊，那就可以把向量 Laplacian 表示成?。這是 Jacobian 運算與「矩陣右乘?」運算的復合；后者的效果是對矩陣的每一行求散度。圖中恰好有一個為「逐行散度」運算準備的空位，我們把它補充到圖中。

向量 Laplacian 的結果，恰好等于「散度的梯度」與「旋度的旋度」之差。為了體現出這種關系，我把「從向量到向量」的三種二階微分運算改用橙紅色箭頭表示。

???四、入土

既然引入了「逐行散度」這個一階微分運算，那就索性把它能組合出來的二階微分運算也全都放到圖里去吧！這樣就得到了一個完美對稱的圖，它包含了 11 種二階微分運算，其中：

• 有兩種比較常見：Laplacian 和 Hessian；
• 有兩種恒等于零：「梯度的旋度」和「旋度的散度」；
• 有三種滿足減法關系：向量 Laplacian = 散度的梯度 - 旋度的旋度；
• 剩下的四種沒有專門的名字，也很罕見。

其中任何一種微分運算后面接上「跡」，都可以得到另一種同階微分運算：

• Jacobian 的跡就是散度；
• Hessian 的跡就是 Laplacian；
• 旋度的 Jacobian 的跡就是旋度的散度，恒等于 0；
• 矩陣逐行散度的 Jacobian 的跡，就是它的逐行散度的散度。

但需要注意只能在運算之后接上「跡」，在運算之前接「跡」是不行的，比如矩陣的跡的梯度不等于它的逐行散度。

如果有讀者知道圖中幾種沒有名字的運算叫什么名字、有什么用途，或者在圖中內容之外還有什么值得包括進來的微分運算，歡迎補充。