幾何與物理

數(shù)學(xué)算法俱樂(lè)部

日期：2020年09月06日

正文共：4188字1圖

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來(lái)源：《吉林師大學(xué)報(bào)》

編者注：本文是Atiyah1978年在日本數(shù)學(xué)會(huì)創(chuàng)立100周年紀(jì)念會(huì)上的演講，刊登于《吉林師大學(xué)報(bào)》自然科學(xué)版1979年第2期，譯者王家彥。

30年多后的2010年，?Atiyah 與 Dijkgraaf 以及 Hitchin 合作，發(fā)表了一篇同一主題的綜述，有興趣的讀者可見(jiàn) geometry and physics，Phil. Trans. R. Soc. A 2010 368。

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首先說(shuō)明我報(bào)告的性質(zhì)。借慶祝日本數(shù)學(xué)、物理學(xué)會(huì)創(chuàng)立一百年的今天, 我想這正是回顧數(shù)學(xué)在這一百多年間的進(jìn)展以及展望將來(lái)的很好機(jī)會(huì)。我之所以把“ 幾何學(xué)” 列為報(bào)告題目是因?yàn)樗俏业膶?zhuān)長(zhǎng), 也是我最關(guān)心的學(xué)科, 當(dāng)然是在較廣泛的意義下來(lái)論述它的。我還選擇“ 物理學(xué)” 作為題目, 因?yàn)樵诋?dāng)時(shí)沒(méi)了解到今天有這么多物理學(xué)家在座聽(tīng)講, 我想我關(guān)于“ 物理學(xué)” 的講述一定會(huì)是很整腳的。但是數(shù)學(xué)與物理學(xué)在一百年前幾乎是不可分割的。雖然由于后來(lái)科學(xué)各部門(mén)的專(zhuān)業(yè)化而使兩者分離開(kāi)來(lái), 但是還保留著緊密的聯(lián)系, 在現(xiàn)在又可重新看到有象過(guò)去那樣逐漸接近的發(fā)展趨勢(shì)。這就是把“ 物理學(xué)” 也列入報(bào)告題目的理由。

從作為近代數(shù)學(xué)的出發(fā)點(diǎn)的歐幾里得以來(lái)經(jīng)過(guò)幾個(gè)世紀(jì), 都確信幾何學(xué)是研究物理空間的, 這種看法在1828年鮑約、羅巴切夫斯基以及高斯的非歐幾何被發(fā)現(xiàn)之后已經(jīng)站不住腳了。這在數(shù)學(xué)史上是值得大書(shū)特書(shū)的。此后，幾何學(xué)成為與物理空間完全獨(dú)立的概念, 而剩下的問(wèn)題則是到底存在哪些種類(lèi)的幾何學(xué)的問(wèn)題了。到十九世紀(jì)末, 所確立的主票思想方法是由F. Klein?如所提出的“?幾何學(xué)是對(duì)于對(duì)稱(chēng)的研究” 。即在空間中作用的“ 對(duì)稱(chēng)群= 變換群” 決定著幾何學(xué), 換句話說(shuō),?幾何學(xué)就是研究在這個(gè)對(duì)稱(chēng)群下的不變性質(zhì)的學(xué)科, 描述所有可能的幾何學(xué)與確定所有的對(duì)稱(chēng)群是等價(jià)的。引進(jìn)連續(xù)概念的S. Lie的工作，也與這種思想方法有關(guān)而起著重要的作用。在近代物理學(xué)中也是這樣, Einstein, Weyl 以及現(xiàn)在的M. Gellman等的工作, 以空間的旋轉(zhuǎn)群, 洛倫茲群的作用中可以看出對(duì)稱(chēng)群是非常重要的?，F(xiàn)在, 比對(duì)稱(chēng)群的概念為基礎(chǔ)的Klein思想更具有普遍的、劃時(shí)代意義的思想，是由十九世紀(jì)中葉的Riemann所提出的。

Riemann舍棄了Klein關(guān)于群的思想,引入了在各點(diǎn)都不均質(zhì)的最一般的空間幾何學(xué), 即今天所謂的微分幾何學(xué)。Riemann的這種幾何學(xué), 如所周知, 后來(lái)被Einstein 應(yīng)用于廣義相對(duì)論。但到這里還沒(méi)說(shuō)完, 物理學(xué)家們迫切感到除時(shí)間、空間變量以外，還須引進(jìn)更多的變量。例如他們所說(shuō)的內(nèi)部變量就是如此。如果把它們用數(shù)學(xué)來(lái)描述, 就只能用纖維叢的思想方法來(lái)描述。即纖維叢包含著內(nèi)部變量, 而時(shí)空世界起著底空間的作用。

在微分幾何學(xué)中，這個(gè)纖維叢的概念的形成是二十世紀(jì)初葉, 以E.Cartan 的工作為先驅(qū)。他的貢獻(xiàn)是把Klein和Riemann的思想統(tǒng)一起來(lái), 大概說(shuō)來(lái), 就是Cartan以Klein作為纖維、以Riemann作為底空間。

這個(gè)圖表示Riemann 與 Klein 兩者的作用。亦即, 把前者空間的概念一般化, 而對(duì)后者把它的對(duì)稱(chēng)群加以嚴(yán)格的限制。若對(duì)數(shù)學(xué)中的纖維叢的理論和物理學(xué)中與之相對(duì)的規(guī)范理論進(jìn)一步加以闡述的話, 這些理論的基本想法是平行移動(dòng)的概念。即對(duì)于連結(jié)空間( 底空間兩點(diǎn)的曲線, 第一點(diǎn)的內(nèi)部變量( =纖維方向的變量) 給出了第二點(diǎn)和它相連接的規(guī)則?，F(xiàn)在我們把這個(gè)平行移動(dòng)的概念限制在— .無(wú)窮小范圍內(nèi)來(lái)考慮, 則可得到數(shù)學(xué)中的聯(lián)絡(luò)以及物理學(xué)中的向量勢(shì)的概念。又, 如果在空間內(nèi)給出閉曲線時(shí), 沿這條曲線平行移動(dòng)引起在一點(diǎn)上的內(nèi)部變量的變換, 一般地不是恒等變換, 這樣如果把恒等變換擴(kuò)張, 則在數(shù)學(xué)中可用曲率, 在物理學(xué)中可用場(chǎng)強(qiáng)予以描述。上述考察的重要之點(diǎn)不是把空間變量和內(nèi)部變量完全獨(dú)立開(kāi)來(lái), 而是考慮它們之間的相互作用。在物理學(xué)中引進(jìn)這種幾何學(xué)觀點(diǎn), 是從 H. Weyl 于1918年進(jìn)行Maxwell方程的研究開(kāi)始的。雖然Weyl的思想遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越他所處的時(shí)代, 但是他對(duì)物理學(xué)的解釋是不正確的。盡管如此, 規(guī)范 理論的研究還是從Weyl 的工作開(kāi)始的。這種想法后來(lái)在

1954年由楊振寧和米爾斯?甚至把非可換群( 例如 SU(2) ) 推廣為結(jié)構(gòu)群所容許的形式。直到現(xiàn)在，Yang-Mills 理論還是作為理論物理學(xué)的一個(gè)主要最活躍的研究課題。

為了使Riemann空間概念一般化, 創(chuàng)始了作為現(xiàn)代幾何學(xué)的一個(gè)重要分科的拓?fù)鋵W(xué)。它與Klein所考慮的各點(diǎn)均質(zhì)的空間不同, 在一般化的Riemann空間里, 不能把它的局部性質(zhì)推廣到大范圍的性質(zhì)。拓?fù)鋵W(xué)為理解大范圍性質(zhì)提供了新的手段。但是Riemann所考慮的拓?fù)洳皇桥c他的幾何學(xué)直接相關(guān)聯(lián), 而是與復(fù)變函數(shù)論有關(guān)。即, 例如他研究多項(xiàng)式的平方根那樣函數(shù)的大范圍性質(zhì)的最佳方法, 即現(xiàn)在通常所說(shuō)的引入Riemann面才能得到的方法。又因Poincare 以研究微分方程的大范圍理論相關(guān)聯(lián)的概念作為拓?fù)鋵W(xué)的起源。從Riemann的例子中, 函數(shù)所具有的奇點(diǎn)從引入的Riemann面的新觀點(diǎn)中去掉而代之以具有復(fù)雜結(jié)構(gòu)的空間二出現(xiàn)的Riemann面。從這個(gè)簡(jiǎn)單的例子足以揭示出對(duì)奇點(diǎn)賦以拓?fù)潢P(guān)系的一般原理。又以Riemann幾何學(xué)為基礎(chǔ)的Einstein理論, 對(duì)當(dāng)時(shí)的微分幾何給以很大刺激。而近代的幾何學(xué)家則把大范圍的幾何學(xué)的發(fā)展反映到物理學(xué)上, 開(kāi)始了對(duì)Einstein方程的解的大范圍的研究。例如, 霍金與彭羅斯指出Einstein方程解的奇點(diǎn)( 例如黑洞) 不是偶然的產(chǎn)物, 從大范圍的觀點(diǎn)來(lái)看, 它可以極自然地用數(shù)學(xué)和物理學(xué)的假說(shuō)來(lái)說(shuō)明。這樣在大尺度的物理學(xué)中, 拓?fù)鋵W(xué)等大范圍幾何學(xué)的作用就易于被理解。最近, 又了解到它在反常 現(xiàn)象研究上也起作用。例如, 兒個(gè)粒子存在于某很狹窄的領(lǐng)域中, 它的外部暫定呈單純的自由場(chǎng)狀態(tài)。作為描述這種狀態(tài)的數(shù)學(xué)方法, 盡管是掌握具有什么樣的奇點(diǎn)的方法, 但在描述這個(gè)系統(tǒng)的內(nèi)部變數(shù)的空間時(shí), 可以考慮具有某種撓曲的空間。實(shí)際上理論物理學(xué)家們, 站在后者的立場(chǎng)上, 由對(duì)局部拓?fù)涞目疾? 給描述反?，F(xiàn)象的規(guī)范理論中的某整數(shù)不變量下了定義, 稱(chēng)之為拓?fù)淞孔?/span>數(shù)。當(dāng)然, 在近代量子論中, 把連續(xù)的現(xiàn)象用離散量來(lái)描術(shù)的強(qiáng)而有力的方法作為基礎(chǔ), 對(duì)數(shù)學(xué)各個(gè)分支中的諸連續(xù)元由離散量分類(lèi)表現(xiàn)的理論, 例如依賴于連續(xù)勢(shì)的微分方程的特征值以及緊致群的表現(xiàn)理論, 在量子論中都起著重要作用, 但是拓?fù)涞牧孔訑?shù)在數(shù)學(xué)中是纖維的全空間中的撓曲的量化, 迄今為止, 都是用性質(zhì)完全不同的新方法求得的。

現(xiàn)在暫且放下物理學(xué), 再回到幾何學(xué)上來(lái)。如前所述, Riemann和Poincare奠定了拓?fù)鋵W(xué)的基礎(chǔ), 他們的動(dòng)機(jī)是基于解析學(xué) ( 復(fù)變函數(shù)論和微分方程理論) 的要求, 從而自然地形成在解析問(wèn)題方面, 把注意力集中到大范圍拓?fù)渥饔玫难芯可?。解析學(xué)與拓?fù)鋵W(xué)相結(jié)合的設(shè)想是1930 一1960 的一個(gè)主要論題。在這方面, 最早的主要成果是在1930年代由Hodge作出的。他研究Riemann流形的拓?fù)渑cLaplace算子間的大范圍關(guān)系, 并且得出許多重要的定理。這個(gè)工作為后來(lái)的小平和Weyl所繼承。這個(gè)時(shí)期中的另一個(gè)方向是由小平, 崗潔 ,H.Cartan創(chuàng)始的多變數(shù)的復(fù)解析學(xué)。這方面的研究在1940一1950 年代是非?；钴S的, 但它的一個(gè)最重要結(jié)果是確定了層上同調(diào)的新手法。層上同調(diào)可以說(shuō)是同調(diào)以及循環(huán)的拓?fù)涓拍钆c復(fù)變函數(shù)論相結(jié)合而產(chǎn)生的混合理論?，F(xiàn)在在這里僅就作為近代數(shù)學(xué)的兩個(gè)主要部門(mén)的微分兒何與復(fù)數(shù)解析稍加敘述。在前者中最基本的是它所考慮的空間是非齊性的，因此用曲率來(lái)描述它的程度, 而曲率用張量分析來(lái)計(jì)算。另一方面, 后者所考慮的空間的各點(diǎn)都是同樣的, 但是它與Klein所考慮的大范圍的 齊性空間不同, 它一般不存在對(duì)稱(chēng)群。從而在對(duì)這種空間的研究中, 對(duì)把大范圍的現(xiàn)象與局部理論之間的關(guān)聯(lián)的方法方面大有開(kāi)展研究的必要。而前面提出的層上同調(diào)就是具有這種效用的。

在這個(gè)報(bào)告的最后, 想舉出與我到現(xiàn)在所說(shuō)過(guò)的問(wèn)題有關(guān)的一些例子, 這些例子僅是從我有限的經(jīng)驗(yàn)中選取的, 它們無(wú)非是現(xiàn)代幾何學(xué)與理論物理相關(guān)的繞有興趣的課題, 但畢竟限于我的經(jīng)驗(yàn), 它們?cè)谖锢韺W(xué)上只不過(guò)是個(gè)可能出現(xiàn)的模型。在這些模型中出現(xiàn)一種叫作反?，F(xiàn)象。它具有不被期望或不尋常的意思, 所以這樣稱(chēng)呼的理由是, 當(dāng)考慮描述量子場(chǎng)理論的模型時(shí), 總是在程序上先從古典的狀態(tài)出發(fā)依次把它量子化。這時(shí), 在古典狀況的基礎(chǔ)上所存在的某種對(duì)稱(chēng)性, 在量子化過(guò)程中有時(shí)變成0。這種現(xiàn)象叫作反常。最近發(fā)現(xiàn), 在某種情形下這個(gè)反常與前面說(shuō)過(guò)的拓?fù)淞孔訑?shù)有密切關(guān)系?？偟恼f(shuō)來(lái),反常是在這個(gè)情形下的空間中分布的密度, 它的積分恰是拓?fù)涞牧孔訑?shù)。特別是前面的拓?fù)淞孔訑?shù)己知并非為零的情況下, 可以得出反常存在的結(jié)論。盡管對(duì)它的研究己近十年左右, 可是我最近才注意到一些幾何學(xué)家們?cè)谶@十年間只不過(guò)是重復(fù)著同一個(gè)問(wèn)題, 雖然不能作詳細(xì)的說(shuō)明, 但例如對(duì)由流形上的Laplace算子的特征值 \lambda 所定義的函數(shù)\sum e^{\lambda t}, 當(dāng) t 趨于0時(shí)的漸近性質(zhì)的研究就屬于此類(lèi)間題。這個(gè)研究已經(jīng)列入Hodge的計(jì)劃。由此可見(jiàn)，解析、拓?fù)湟约拔⒎謳缀沃g具有種種不可分割的關(guān)系。但是把所用的術(shù)語(yǔ)翻譯過(guò)來(lái)之后, 可以看到物理學(xué)家與數(shù)學(xué)家互不通氣地在進(jìn)行著平行地研究完全雷同的課題。這種事買(mǎi)在某種意義上雖是個(gè)努力勤奮的好現(xiàn)象, 但是在雙方共同解決間題之后再來(lái)理解它畢競(jìng)過(guò)于遲緩。

在下面, 我在結(jié)束問(wèn)題之前說(shuō)兩個(gè)術(shù)語(yǔ)翻譯成功的例子?，F(xiàn)在在理論物理學(xué)方面, 面臨著相當(dāng)?shù)睦щy, 我覺(jué)得關(guān)于什么是它的基本基礎(chǔ)的本質(zhì), 確有重新給以考慮的必要。在這里介紹一下我的牛津大學(xué)同事彭羅斯對(duì)時(shí)空世界概念進(jìn)行修正的新想法, 他認(rèn)為時(shí)空世界的點(diǎn)在某種意義上說(shuō)它不是最基本的對(duì)象, 而是把通過(guò)各點(diǎn)的光線的全體也考慮在內(nèi), 這樣他把Minkowski空間代之以三維的復(fù)流形。這樣對(duì)所考慮的各種基本方程可以希望在這新空間中要比原來(lái)的簡(jiǎn)單的多。對(duì)Maxwell方程來(lái)說(shuō), 它的解可用幾何學(xué)家已經(jīng)發(fā)明的所謂層上同調(diào)來(lái)描述。彭羅斯對(duì)層上同調(diào)是不了解的, 在某次與他談話時(shí), 我立即提醒他注意, 他所考慮的問(wèn)題與層上同調(diào)在本質(zhì)上是相同的。這里重要的是彭羅斯的空間是不可縮的, 上同調(diào)是不可能等于0的。這個(gè)事實(shí)放在局部上來(lái)考慮,也容易從光錐是二維球面的這一點(diǎn)上推導(dǎo)出來(lái)。下面再把話題轉(zhuǎn)到蘇聯(lián)物理學(xué)家Polyakov最近提出的課題上來(lái)。他把4 維Yang-Mills方程放到通常的4維歐幾里得空間中進(jìn)行研究, 而全力求出這個(gè)方程的所有解( 叫作“瞬子”)。但是這個(gè)問(wèn)題是數(shù)學(xué)中的代數(shù)幾何問(wèn)題, 也就是與3 維復(fù)射影空間中的代數(shù)曲線的研究的等價(jià)問(wèn)題。

這是在對(duì)后者相當(dāng)理解的基礎(chǔ)上而對(duì)瞬子 的一般性進(jìn)行了論述。這就是在前面所說(shuō)的在結(jié)束以前進(jìn)行翻譯的例子。

現(xiàn)在把我說(shuō)過(guò)的問(wèn)題歸納一下。從上述事實(shí)里, 我想是不是可以這樣說(shuō): 現(xiàn)代幾何學(xué)的諸概念在物理學(xué)的模型的構(gòu)成中是有效的。我在這里是想強(qiáng)調(diào)觀念這個(gè)詞?？梢哉f(shuō)，在物理學(xué)與幾何中，比起計(jì)算，更為重視的是觀念, 在這一點(diǎn)上比幾何學(xué)與代數(shù)學(xué)之間的關(guān)系更密切。在歷史上的某個(gè)時(shí)期里, 物理學(xué)偏重于重視數(shù)學(xué)計(jì)算的方法。但是我認(rèn)為如果幾何學(xué)家與物理學(xué)家之間增進(jìn)了解, 那么幾何學(xué)的觀念在物理學(xué)中將是有用的。

—?THE END —

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