矩陣乘法的五種理解 - Strang MIT 18.06 線性代數(shù)精髓 1

在本系列中，我們用彩色 Latex 筆記記錄下?MIT 18.06 Gilbert Strang 教授經(jīng)典的線性代數(shù)課程的精髓，部分內(nèi)容也會(huì)以動(dòng)畫和代碼的形式。后續(xù)會(huì)覆蓋更多人工智能所涉及的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課程：統(tǒng)計(jì)，優(yōu)化等，歡迎大家關(guān)注和反饋。

本文對(duì)應(yīng)視頻課程第三節(jié)中詳細(xì)解釋了6矩陣相乘的5種方法及其理解。

假定 中， A 是 行 列的矩陣， 是 行 列的矩陣， 為 行 列矩陣：

1. B矩陣的列組合：列列切分

這是最經(jīng)典的理解方式，沿襲了第一部分 的方式。

回顧可以將 視為 的列向量關(guān)于每個(gè) 分量的線性組合。

那么 相乘可以理解為將矩陣 按列切分成列向量，即

如此，結(jié)果矩陣的第 列就是 ： 的列向量關(guān)于 的線性組合。

由于我們將 和 都按列來(lái)切，這種方式可以助記成 列列 切分。

A矩陣行組合：行行切分

同樣的，對(duì)應(yīng)于? 右乘向量等同于列的組合， 左乘行向量等同于行的組合：

其結(jié)果是一個(gè)行向量。

那么 相乘可以理解為將矩陣 按行切分成行向量，即

如此，結(jié)果矩陣的第 行就是 ： 的行向量關(guān)于 的線性組合。

這種方式可以助記成 行行 切分。

A行 x B列 點(diǎn)乘：行列切分

如 矩陣按行切， 矩陣按列切，可住記成 行列?切分，具體推導(dǎo)如下。

行乘以列即列向量點(diǎn)乘，結(jié)果是一個(gè)標(biāo)量。因此 為結(jié)果矩陣 的第 行 列的值。

A列 x B行 矩陣和：列行切分

最后，也可也按列行來(lái)切分。注意列乘以行時(shí)的結(jié)果是一個(gè)矩陣。

分塊相乘

第五種方式是分塊相乘，可以認(rèn)為是點(diǎn)乘理解下的擴(kuò)展。

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