干掉公式：科學(xué)計算庫 NumPy 簡介

作者：太陽雪

來源：Python 技術(shù)（pythonall）

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機(jī)器學(xué)習(xí)和數(shù)據(jù)分析正變得越來越重要，但在學(xué)習(xí)和實(shí)踐過程中，常常因?yàn)椴恢涝趺从贸绦驅(qū)崿F(xiàn)各種數(shù)學(xué)公式而感到苦惱，今天我們從數(shù)學(xué)公式的角度上了解下，用 python 實(shí)現(xiàn)的方式方法。

友情提示：不要被公式嚇到，它們都是紙老虎

關(guān)于 Numpy

NumPy 是使用 Python 進(jìn)行科學(xué)計算的基礎(chǔ)軟件包。除其他外，它包括：

• 功能強(qiáng)大的N維數(shù)組對象
• 精密廣播功能函數(shù)
• 集成 C/C+和Fortran 代碼的工具
• 強(qiáng)大的線性代數(shù)、傅立葉變換和隨機(jī)數(shù)功能

機(jī)器學(xué)習(xí)和數(shù)據(jù)分析，numpy 是最常用的科學(xué)計算庫，可以用極簡的、符合思維習(xí)慣的方式完成代碼實(shí)現(xiàn)，為學(xué)習(xí)和實(shí)踐提供了很大的便利

環(huán)境準(zhǔn)備

創(chuàng)建虛擬環(huán)境（可省略），安裝 numpy 包：

pip?install?numpy

測試安裝：

>>>?import?numpy
>>>

在下面實(shí)踐中，默認(rèn)將 numpy 引用為 np：

import?numpy?as?np
...

?

基礎(chǔ)運(yùn)算

編程語言大多數(shù)運(yùn)算都是針對簡單數(shù)值的，復(fù)雜運(yùn)算是通過相應(yīng)的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)結(jié)合程序邏輯計算的。numpy 雖然是針對復(fù)雜數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)（例如矩陣）構(gòu)造的，但它提供了和簡單數(shù)值計算一樣方便的操作。

冪運(yùn)算

冪運(yùn)算的運(yùn)算符為?**?，即兩個星號（一個星號表示乘），例如計算 x 的平方：x**2，x 的立方：x**3，等等

開方，相當(dāng)于計算 1/2 次方，即?x**(1/2)?或者?x**0.5，因?yàn)槌Ｓ?numpy 提供了便捷函數(shù)，sqrt，例如對數(shù)字 x 開平方，就是?np.sqrt(x).

實(shí)際上平方運(yùn)算也有便捷方法：np.square

絕對值

絕對值表示一個數(shù)軸上的值距原點(diǎn)的距離，表示為?|x|，numpy 提供便捷方法abs?來計算，例如?np.abs(x)，就為 x 的絕對值?

理解向量和矩陣

線性代數(shù)是機(jī)器學(xué)習(xí)和數(shù)據(jù)分析的基礎(chǔ)數(shù)學(xué)之一，而向量和矩陣式又是線性代數(shù)的基礎(chǔ)概念，所以理解向量和矩陣非常重要。

向量

一般數(shù)據(jù)被分為標(biāo)量和向量，標(biāo)量比較容易理解，即數(shù)軸上的一個數(shù)值

向量直觀的認(rèn)識是一組數(shù)值，可以理解為一維數(shù)組，但是為啥常見定義表示：具有方向的數(shù)值，方向指的是啥？這個問題困擾了我很多年（苦笑）。實(shí)際是因?yàn)樵陂_始學(xué)習(xí)線性代數(shù)時，直接從公式定理開始，而沒有了解它的原理和來源。

向量的方向指的是，向量所在坐標(biāo)系的原點(diǎn)指向該向量在坐標(biāo)系中表示的點(diǎn)的方向，例如在平面直角坐標(biāo)系中，向量 [1,2] 表示 x 軸為 1，y 軸為 2 的一個點(diǎn)，從原點(diǎn)，即 [0,0] 點(diǎn)指向這個點(diǎn)的方向，就是這個向量的方向，擴(kuò)展的三維坐標(biāo)系，再到 n 為坐標(biāo)系（當(dāng)然超過三位人類就比較難以理解了），向量元素的個數(shù)表示向量屬于幾維坐標(biāo)系，但無論多少維，都可以畫出原點(diǎn)指向向量點(diǎn)的方向。

因?yàn)榫€性代數(shù)研究的是向量及向量組（矩陣）的純數(shù)學(xué)計算，所以丟棄了坐標(biāo)系的概念，只保留了向量的樣子，所以造成了向量難以理解的現(xiàn)象。

簡單說，向量就是一個數(shù)值的數(shù)組。

矩陣

理解了向量，矩陣?yán)斫馄饋砭腿菀琢耍喈?dāng)于一組向量，即坐標(biāo)系中的多個點(diǎn)的集合，矩陣運(yùn)算，就相當(dāng)于多個向量的運(yùn)算或變換。

可能這里比較繞或冗余，先解釋到這里，后面的文章中會進(jìn)一步解釋向量和矩陣的實(shí)際意義

初始化

numpy 中，提供了多種產(chǎn)生向量和矩陣的方法，例如用 array 可以將 python 數(shù)組初始化為 numpy 矩陣：

m?=?np.array([(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5)])

就可以創(chuàng)建一個 向量維度為 3，個數(shù)為 3 的矩陣

基本運(yùn)算

numpy 特別擅長處理向量和矩陣的運(yùn)算，例如乘法，即給向量中的每個數(shù)值乘以乘數(shù)，之間寫代碼的話，可以遍歷向量，為每個值乘以乘數(shù)。

用 numpy 就簡單很多：x * 2，就像做標(biāo)量運(yùn)算一樣，感覺向量同一個數(shù)值一樣。

• 加法?x+2，
• 減法?x-2
• 處罰?x/2

矩陣冪運(yùn)算

向量、矩陣既然可以看成一個數(shù)，冪運(yùn)算就很容易理解了，例如矩陣

m 平方就可以寫成?m**2, 結(jié)果為：

矩陣點(diǎn)積

不同維度的矩陣可以做乘法操作，但不是一般的乘法操作，操作被稱為點(diǎn)積，為了用 numpy 表示，需要用 dot 函數(shù)，例如矩陣 m 和 n

代碼為?m.dot(n)，就會得到如下結(jié)果：

求和與連乘

統(tǒng)計學(xué)公式中，求和運(yùn)算很常見，例如對矩陣求和：

表示對矩陣 m 中所有元素進(jìn)行求和，nunpy 通過?sum?完成計算：?m.sum()

連乘和求和類似，將矩陣中所有元素做乘積運(yùn)算:

numpy 通過?prod?完成計算，如矩陣 m 的連乘為?m.prod()

實(shí)踐

了解了上面的各種基礎(chǔ)運(yùn)算后，做些實(shí)踐

計算均值

向量均值公式為：

分析公式，其中 n 為向量 x 的元素數(shù)量，numpy 的向量，通過 size 獲取，后面是向量求和，用 sum 完成，最后代碼如下：

(1/x.size)*x.sum()

或者

x.sum()/x.size

實(shí)現(xiàn) Frobenius 范數(shù)

現(xiàn)在來個復(fù)雜點(diǎn)的，F(xiàn)robenius 范數(shù)，公式如下:

先不用糾結(jié) Frobenius 公式的意義，我們只看如何用 python 實(shí)現(xiàn)，分析公式，可以看到，首先對矩陣的每個元素做平方運(yùn)算，然后求和，最后對結(jié)果進(jìn)行開方，那么就從里向外寫

矩陣元素求和，根據(jù)前面所述，寫成?m**2，會得到新的矩陣，然后求和，直接可寫為：

np.sqrt((m**2).sum())

借助 numpy 實(shí)現(xiàn)公式，極為簡潔。

樣本方差

我們再看一個公式：

其中表示向量 x 的均值，上面計算過，那么套用起來就是：

np.sqrt(((x-(x.sum()/x.size))**2).sum()/(x.size-1))

基本依據(jù)上面了解的寫法可以理解和寫出，不過括號有點(diǎn)多，如果不參考公式，估計看不清實(shí)現(xiàn)的啥，好在 numpy 將均值運(yùn)算通過 mean 方法簡化了，例如向量 x 的均值，可以寫為：np.mean(x)，所以上面的代碼可以簡化為：

np.sqrt(((x-np.mean(x))**2).sum()/(x.size-1))

上面公式實(shí)際上是樣本標(biāo)準(zhǔn)差公式，對于標(biāo)準(zhǔn)差，numpy 提供了簡便方法 std, 直接用?np.std(x)?就可以計算，當(dāng)然現(xiàn)在我們根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差公式：

很容易寫出來 numpy 實(shí)現(xiàn)，趕緊試試吧。

歐拉距離

前面寫模擬疫情擴(kuò)散時，用到了歐拉距離，當(dāng)時沒有理解好 numpy 公式表達(dá)能力，所以計算時分了三步，現(xiàn)在如果要計算兩個向量之間的歐拉距離，一行代碼就能搞定，先復(fù)習(xí)下歐拉距離公式，向量 a 與 向量 b 的歐拉距離為：

numpy 實(shí)現(xiàn)為：

np.sqrt(((a-b)**2).sum())

由于歐拉距離應(yīng)用廣泛，所以 numpy 在線性代數(shù)模塊中實(shí)現(xiàn)了，所以了解 numpy 實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)公式的方法后，可以簡化為：

np.linalg.norm(a-b)

總結(jié)

numpy 是個博大精深的數(shù)學(xué)計算庫，是 python 實(shí)現(xiàn)科學(xué)計算的基礎(chǔ)，今天我們從數(shù)學(xué)公式的角度，了解了如何轉(zhuǎn)換為 numpy 的代碼實(shí)現(xiàn)，限于篇幅，雖然僅是 numpy 的冰山一角，但卻可以成為理解 numpy 運(yùn)算原理的思路，在數(shù)據(jù)分析或者機(jī)器學(xué)習(xí)，或者論文寫作過程中，即使不了解 numpy 中簡潔的運(yùn)算，也可以根據(jù)數(shù)學(xué)公式寫出代碼實(shí)現(xiàn)，進(jìn)而通過實(shí)踐學(xué)習(xí)和了解 numpy 就更容易了。

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參考

• https://blog.csdn.net/garfielder007/article/details/51386683
• https://blog.csdn.net/robert_chen1988/article/details/102712946
• https://mathtocode.com/

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