通俗理解貝葉斯優(yōu)化

選自Medium

作者：Andre Ye

機器之心編譯

編輯：Panda

貝葉斯優(yōu)化是機器學習超參數(shù)優(yōu)化的常用技術之一，本文不會使用艱深的數(shù)學論證，而是通過簡單的術語帶你領略貝葉斯優(yōu)化之美。

假設有一個函數(shù) f(x)。其計算成本很高，它不一定是分析表達式，而且你不知道它的導數(shù)。

你的任務：找到全局最小值。

當然，這是一個困難的任務，而且難度超過機器學習領域內的其它優(yōu)化問題。梯度下降就是一種解決方案，它能通過函數(shù)的導數(shù)，利用數(shù)學捷徑來實現(xiàn)更快的表達式評估。

或者，在某些優(yōu)化場景中，函數(shù)的評估成本較低。如果你能在幾秒內得到輸入 x 的變體的數(shù)百種結果，那么使用簡單的網(wǎng)格搜索就能得到很好的結果。

或者，你還可以使用一整套非常規(guī)的非梯度優(yōu)化方法，比如粒子群或模擬退火。

不幸的是，當前的任務沒有這樣的便利。我們的優(yōu)化受到了多個方面的限制，其中最顯著的包括：

• 計算成本高。理想情況下，只要我們查詢函數(shù)的次數(shù)足夠多，我們就能在實質上將它復現(xiàn)出來，但在實際情況下，輸入的采樣很有限，優(yōu)化方法必須在這種情況下也能有效工作。

• 導數(shù)未知。在深度學習以及其它一些機器學習算法中，梯度下降及其變體方法依然是最常用的方法，這當然是有原因的。知道了導數(shù)，能讓優(yōu)化器獲得一定的方向感——我們沒有這種方向感。

• 我們需要找到全局最小值，這個任務即使對于梯度下降這種復雜精細的方法來說也很困難。我們的模型有時需要某種機制來避免被困于局部最小值。

解決方案：針對以最少的步驟尋找全局最小值的問題，貝葉斯優(yōu)化是一個優(yōu)雅的框架。

我們來構建一個假設的示例函數(shù) c(x)，即一個模型在給定輸入 x 下的成本。當然，這個函數(shù)的實際情況對優(yōu)化器來說是未知的。假設 c(x) 的實際形狀如下：這就是所謂的「目標函數(shù)」。

貝葉斯優(yōu)化可通過一種名為「代理優(yōu)化（surrogate optimization）」的方法解決這一問題。在語境中，代理母親（代孕媽媽）是指同意為其他人生小孩的女人?；谕瑯拥恼Z境，代理函數(shù)是指目標函數(shù)的一種近似。

代理函數(shù)可基于采樣得到的數(shù)據(jù)點而構建。

我們可以根據(jù)代理函數(shù)來識別哪些點是有潛力的最小值。然后我們在這些有潛力的區(qū)域執(zhí)行更多采樣，然后據(jù)此更新代理函數(shù)。

在每一次迭代中，我們都要繼續(xù)觀察當前的代理函數(shù)，通過采樣對相關區(qū)域有更多了解，然后更新函數(shù)。注意，代理函數(shù)可表示成評估成本低得多的數(shù)學形式（比如用 y=x 近似表示一個成本更高的函數(shù) y=arcsin((1-cos2x)/sin x) 的某個特定范圍）。

經(jīng)過一定數(shù)量的迭代之后，我們的目標是抵達全局最小值，除非該函數(shù)的形狀非常古怪（比如其中有大量大起大落的部分），這時候你就要問自己了：是不是數(shù)據(jù)有問題？

我們先來欣賞一下這種方法的美妙之處。它不會對函數(shù)做出任何假設（只要它是可優(yōu)化的既可）、不需要導數(shù)的相關信息、可通過巧妙地使用不斷更新的近似函數(shù)來執(zhí)行常識推理。對原本的目標函數(shù)的高成本估計也不再是問題。

這是一種基于代理的優(yōu)化方法。但它的貝葉斯性質體現(xiàn)在哪里？

貝葉斯統(tǒng)計和建模和本質是基于新信息先驗（之前的）信念，然后得到更新后的后驗（之后的）信念。這里的代理優(yōu)化就是這樣工作的，使得其能通過貝葉斯系統(tǒng)、公式和思想很好地表示。

我們來更仔細地看看這個代理函數(shù)，其通常表示成高斯過程，這可被看作是一種擲骰子過程，返回的是與給定數(shù)據(jù)點擬合的函數(shù)（比如 sin 或 log），而不是數(shù)字 1 到 6. 這個過程會返回若干函數(shù)以及它們各自的概率。

左圖：基于 4 個數(shù)據(jù)點生成的幾個基于高斯過程的函數(shù)；右圖：將這些函數(shù)聚合之后。

Oscar Knagg 這篇文章直觀地介紹了高斯過程的工作方式：https://towardsdatascience.com/an-intuitive-guide-to-gaussian-processes-ec2f0b45c71d

為什么要使用高斯過程來建模代理函數(shù)，而不是使用其它曲線擬合方法？這是因為高斯過程本質上就是貝葉斯模式的。高斯過程是一種概率分布，就像一個事件的最終結果分布一樣（比如擲硬幣的 1/2 概率），只不過高斯過程是在所有可能的函數(shù)上的分布。

舉個例子，我們也許可以定義當前的數(shù)據(jù)點集可由函數(shù) a(x) 表示 40%、由函數(shù) b(x) 表示 10% 等等。通過將代理函數(shù)表示成概率分布，可使用新信息，通過固有的概率貝葉斯過程來完成更新。也許當新信息被引入時，a(x) 函數(shù)又只能表示 20% 的數(shù)據(jù)了。這樣的變化受貝葉斯公式的約束。

這會使得類似于新數(shù)據(jù)點的多項式回歸擬合這樣的目標難以完成甚至不可能完成。

表示成先驗概率分布的代理函數(shù)會通過一個「獲取函數(shù)（acquisition function）」而更新。這個函數(shù)負責在探索與利用權衡的基礎上，對提議的新點進行測試。

• 利用的目標是采樣代理模型能很好地預測目標函數(shù)的地方。這會用到已知的有潛力的位置。但是，如果我們已經(jīng)充分探索了某個特定的區(qū)域，再繼續(xù)利用已知信息也收益不大了。

• 探索的目標是采樣不確定度較高的位置。這能確?？臻g中不留下未探索的主要區(qū)域——全局最小值可能就藏在此處。

太過重視利用而不太重視探索的獲取函數(shù)會讓模型駐留于其發(fā)現(xiàn)的第一個最小值（通常是局部最小值）。反過來，重探索而輕利用的獲取函數(shù)則一開始就不會留在某個最小值，不管是局部最小值還是全局最小值。因此，為了得到很好的結果，需要達到微妙精巧的平衡。

獲取函數(shù) a(x) 必須兼顧探索和利用。常見的獲取函數(shù)包括預期提升和提升的最大可能性，所有這些衡量的都是給定有關先驗（高斯過程）的信息下，一個特定輸入在未來產(chǎn)生回報的概率。

我們歸總一下這些知識點。貝葉斯優(yōu)化的執(zhí)行方式為：

1. 初始化一個高斯過程「代理函數(shù)」先驗分布。

2. 選擇幾個數(shù)據(jù)點 x 使得獲取函數(shù) a(x) 在當前先驗分布上的結果是最大的。

3. 在目標成本函數(shù) c(x) 中評估數(shù)據(jù)點 x 并獲取其結果 y。

4. 使用新數(shù)據(jù)更新高斯過程先驗分布，得到一個后驗分布（這將作為下一步的先驗分布）。

5. 重復第 2-5 步并多次迭代。

6. 解讀當前的高斯過程分布（成本很低），找到全局最小值。

貝葉斯優(yōu)化的核心是將概率思想融入到代理優(yōu)化思想之中。這兩種思想組合到一起，能創(chuàng)造出一種強大的系統(tǒng)。該系統(tǒng)具有很多應用場景，從醫(yī)藥產(chǎn)品開發(fā)到自動駕駛汽車。

不過，貝葉斯優(yōu)化最常見的應用領域還是機器學習，尤其是超參數(shù)優(yōu)化任務。舉個例子，如果我們要訓練一個梯度上升分類器，則會遇到幾十個超參數(shù)，從學習率到最大深度再到最小不純度拆分值。在這里，x 表示模型的超參數(shù)，c(x) 表示模型在給定超參數(shù) x 下的表現(xiàn)。

使用貝葉斯優(yōu)化的主要動機是：在有些場景中，評估輸出的成本非常高。首先，需要使用這些參數(shù)構建一整個集成樹；其次，它們需要運行并完成幾次預測，這對于集成方法來說成本高昂。

可以這樣說，在給定一組參數(shù)的條件下，使用神經(jīng)網(wǎng)絡來評估損失函數(shù)的速度更快：只是重復執(zhí)行矩陣乘法，這是非?？斓?，尤其是使用專用計算硬件時。這是使用梯度下降的原因之一，也就是反復查詢以找到前進的方向。

總結

• 代理優(yōu)化是使用一個代理函數(shù)或近似函數(shù)來通過采樣估計目標函數(shù)。

• 貝葉斯優(yōu)化是通過將代理函數(shù)表示成概率分布而將代理優(yōu)化放入一個概率框架中，然后再使用新信息更新這個分布。

• 獲取函數(shù)則是用于基于已知的先驗，評估利用空間中的某個特定點得到「好」結果的概率。其關鍵在于探索與利用的平衡。

• 貝葉斯優(yōu)化的主要使用場景是目標函數(shù)評估成本高的任務，比如超參數(shù)調節(jié)。有一些用于該任務的軟件庫，比如 HyperOpt。

原文鏈接：https://towardsdatascience.com/the-beauty-of-bayesian-optimization-explained-in-simple-terms-81f3ee13b10f

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