矩陣與矩陣乘積簡(jiǎn)介

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【導(dǎo)讀】向量是存儲(chǔ)和操作數(shù)據(jù)的一種有用的方法?？梢杂眉^或數(shù)字?jǐn)?shù)組來(lái)表示它們。然而，創(chuàng)建更復(fù)雜的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是有幫助的，而這正是需要引入矩陣的地方。

矩陣它們是正方形或矩形數(shù)組，包含按兩個(gè)維度：行和列。你可以把它們看作是一個(gè)電子表格。通常，你會(huì)在數(shù)學(xué)上下文中看到術(shù)語(yǔ)矩陣，在Numpy上下文中看到二維數(shù)組。

在矩陣的上下文中，術(shù)語(yǔ)維度不同于向量表示的維數(shù)（空間維數(shù)）。當(dāng)我們說(shuō)矩陣是二維數(shù)組時(shí)，意味著數(shù)組中有兩個(gè)方向：行和列。

矩陣表示如下：

矩陣A有兩行兩列，但你可以想象矩陣有任何形狀。更一般地說(shuō)，如果矩陣有m行和n列，并且包含實(shí)值，可以用以下符號(hào)來(lái)刻畫(huà)它：「A」∈?（m×n）。

你可以使用不帶粗體的矩陣名稱引用矩陣中的元素，但是后面需要跟著行索引和列索引。例如，表示第一行和第二列中的元素。

按照慣例，第一個(gè)索引用于行，第二個(gè)索引用于列。例如，上面提到的例子位于矩陣A的第二行和第一列，因此它被表示為

矩陣分量可以寫(xiě)如下：

圖1：矩陣是二維數(shù)組。行數(shù)通常用m表示，列數(shù)用n表示。

數(shù)組的形狀給出了每個(gè)維度中元素的數(shù)量，如圖1所示。由于此矩陣是二維的（行和列），因此需要兩個(gè)值來(lái)描述形狀（按此順序排列的行數(shù)和列數(shù)）。

讓我們先用這個(gè)方法np.array()創(chuàng)建一個(gè)2維numpy數(shù)組

A?=?np.array([[2.1,?7.9,?8.4],
??????????????[3.0,?4.5,?2.3],
??????????????[12.2,?6.6,?8.9],
??????????????[1.8,?1.,?8.2]])

注意，我們使用數(shù)組中的數(shù)組（[[]]）來(lái)創(chuàng)建二維數(shù)組。這與創(chuàng)建一維數(shù)組的不同之處在于所使用的方括號(hào)數(shù)。

與向量一樣，可以訪問(wèn)Numpy數(shù)組的shape屬性：

A.shape

你可以看到該形狀包含兩個(gè)數(shù)字：它們分別對(duì)應(yīng)于行數(shù)和列數(shù)。

要獲得矩陣元素，需要兩個(gè)索引：一個(gè)引用行索引，一個(gè)引用列索引。

使用Numpy，索引過(guò)程與向量的索引過(guò)程相同。你只需要指定兩個(gè)索引。我們?cè)賮?lái)看下面的矩陣A：

A?=?np.array([[2.1,?7.9,?8.4],
??????????????[3.0,?4.5,?2.3],
??????????????[12.2,?6.6,?8.9],
??????????????[1.8,?1.3,?8.2]])

可以使用以下語(yǔ)法獲取特定元素：

A[1,?2]

[1，2]返回行索引為1、列索引為2（以零為基礎(chǔ)的索引）的元素。

要獲得完整的列，可以使用冒號(hào)：

A[:,?0]

array([?2.1,?3.?,?12.2,?1.8])

這將返回第一列（索引0），因?yàn)槊疤?hào)表示我們需要從第一行到最后一行的元素。同樣，要獲取特定行，可以執(zhí)行以下操作：

A[1,?:]

array([3.?,?4.5,?2.3])

能夠操縱包含數(shù)據(jù)的矩陣是數(shù)據(jù)科學(xué)家的一項(xiàng)基本技能。檢查數(shù)據(jù)的形狀對(duì)于確保數(shù)據(jù)的組織方式非常重要。了解使用Sklearn或Tensorflow等庫(kù)所需的數(shù)據(jù)形狀也很重要。

對(duì)于Numpy，如果數(shù)組是向量（1D Numpy數(shù)組），則shape是單個(gè)數(shù)字：

v?=?np.array([1,?2,?3])
v.shape

如果是矩陣，則形狀有兩個(gè)數(shù)字（行和列中的值的數(shù)目）。例如：

A?=?np.array([[2.1,?7.9,?8.4]])
A.shape

形狀的第一個(gè)數(shù)字是1。使用兩個(gè)方括號(hào)[[和]]，可以創(chuàng)建一個(gè)二維數(shù)組（矩陣）。

矩陣乘積

你將在數(shù)據(jù)科學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)乘積。矩陣的等價(jià)運(yùn)算稱為矩陣乘積或矩陣乘法。它接受兩個(gè)矩陣并返回另一個(gè)矩陣。這是線性代數(shù)中的一個(gè)核心運(yùn)算。

矩陣乘積的更簡(jiǎn)單的情況是介于矩陣和向量之間（可以將其視為矩陣乘積，其中一個(gè)向量只有一列）。

說(shuō)明了矩陣和向量之間乘積的步驟。讓我們考慮矩陣的第一行。在向量（值3和4）和考慮的行（值1和2）之間進(jìn)行點(diǎn)積。第一行的第一個(gè)值的與第一列的第一個(gè)值(1?3)和第一行第二個(gè)值與第一列的第二個(gè)值(2?4)。它給你計(jì)算的矩陣的第一個(gè)元素是(1?3 + 2?4 = 11)。

你可以看到矩陣乘積與點(diǎn)積相關(guān)。這就像把矩陣A分成三行并應(yīng)用點(diǎn)積（如數(shù)據(jù)科學(xué)的基本數(shù)學(xué)）。

讓我們看看它是如何與numpy一起工作的。

A?=?np.array([
????[1,?2],
????[5,?6],
????[7,?8]
])
v?=?np.array([3,?4]).reshape(-1,?1)
A?@?v

array([[11],?[39],?[53]])

請(qǐng)注意，我們使用了reshape函數(shù)將向量重塑為一個(gè)2乘1的矩陣（-11告訴Numpy猜測(cè)剩余的數(shù)字）。如果沒(méi)有它，你將以一維數(shù)組結(jié)束，而不是這里的二維數(shù)組（只有一列的矩陣）。

還有另一種方法來(lái)考慮矩陣乘積。你可以考慮向量包含了對(duì)矩陣的每一列加權(quán)的值。它清楚地表明，向量的長(zhǎng)度需要等于應(yīng)用向量的矩陣的列數(shù)。

下圖可能有助于將這個(gè)概念形象化。可以將向量值（3和4）視為應(yīng)用于矩陣列的權(quán)重。前面看到的標(biāo)量乘法規(guī)則會(huì)產(chǎn)生與以前相同的結(jié)果。

使用最后一個(gè)示例，可以編寫(xiě)A和v之間的乘積，如下所示：

這一點(diǎn)很重要，因?yàn)檎缒阍跀?shù)據(jù)科學(xué)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中看到的更多細(xì)節(jié)，它表明Av是A的列的線性組合，系數(shù)是v的值。

另外，你可以看到矩陣的形狀和向量的形狀必須匹配才能得到乘積。

矩陣乘積類似于矩陣向量積，但應(yīng)用于第二個(gè)矩陣的每一列。

使用Numpy，可以精確地計(jì)算矩陣乘積：

A?=?np.array([
????[1,?2],
????[5,?6],
????[7,?8],
])
B?=?np.array([
????[3,?9],
????[4,?0]
])

A?@?B

array([[11,?9],?[39,?45],?[53,?63]])

與矩陣向量積一樣，第一個(gè)矩陣的列數(shù)必須與第二個(gè)矩陣的行數(shù)相匹配。

結(jié)果矩陣的行數(shù)與第一個(gè)矩陣的行數(shù)相同，列數(shù)與第二個(gè)矩陣的列數(shù)相同。

我們?cè)囋嚢伞?/p>

A?=?np.array([
????[1,?4],
????[2,?5],
????[3,?6],
])

B?=?np.array([
????[1,?4,?7],
????[2,?5,?2],
])

矩陣A和B有不同的形狀。讓我們計(jì)算他們的乘積：

A?@?B

array([[?9,?24,?15],?[12,?33,?24],?[15,?42,?33]])

你可以看到A?B的結(jié)果是一個(gè)3乘3的矩陣。這個(gè)形狀來(lái)自A（3）的行數(shù)和B（3）的列數(shù)。

可以使用矩陣與其轉(zhuǎn)置矩陣之間的乘積計(jì)算數(shù)據(jù)集的協(xié)方差矩陣。然后，除以觀測(cè)值（或貝塞爾修正值減去1）。但是你需要事先確保變量的中心在零附近（這可以通過(guò)減去平均值來(lái)實(shí)現(xiàn)）。

讓我們模擬以下變量x、y和z：

x?=?np.random.normal(10,?2,?100)
y?=?x?*?1.5?+?np.random.normal(25,?5,?100)
z?=?x?*?2?+?np.random.normal(0,?1,?100)

使用Numpy，協(xié)方差矩陣為：

np.cov([x,?y,?z])

array([[?4.0387007?,?4.7760502?,?8.03240398],?[?4.7760502?,?32.90550824,?9.14610037],?[?8.03240398,?9.14610037,?16.99386265]])

現(xiàn)在，使用矩陣乘積，首先進(jìn)行堆疊：

X?=?np.vstack([x,?y,?z]).T
X.shape

你可以看到變量X是一個(gè)100×3的矩陣：100行對(duì)應(yīng)于觀察值，3列對(duì)應(yīng)于特征。然后，把這個(gè)矩陣減去均值：

X?=?X?-?X.mean(axis=0)

最后，計(jì)算協(xié)方差矩陣：

(X.T?@?X)?/?(X.shape[0]?-?1)

array([[?4.0387007?,?4.7760502?,?8.03240398],?[?4.7760502?,?32.90550824,?9.14610037],?[?8.03240398,?9.14610037,?16.99386265]])

你會(huì)得到一個(gè)協(xié)方差矩陣，與函數(shù)np.cov中得到的協(xié)方差矩陣相似，這一點(diǎn)很重要，要記住一個(gè)矩陣的轉(zhuǎn)置乘積對(duì)應(yīng)于協(xié)方差矩陣。

兩個(gè)矩陣之間乘積的轉(zhuǎn)置定義如下：

例如，取以下矩陣A和B：

A?=?np.array([
????[1,?4],
????[2,?5],
????[3,?6],
])
B?=?np.array([
????[1,?4,?7],
????[2,?5,?2],
])

你可以檢查（AB）^T和B^T A^T的結(jié)果：

(A?@?B).T

array([[?9,?12,?15],?[24,?33,?42],?[15,?24,?33]])

B.T?@?A.T

array([[?9,?12,?15],?[24,?33,?42],?[15,?24,?33]])

這可能是令人驚訝的首先，兩個(gè)向量或矩陣在括號(hào)中的順序必須改變，以滿足等價(jià)性。我們來(lái)看看操作的細(xì)節(jié)。

下圖顯示，如果改變向量和矩陣的順序，矩陣乘積的轉(zhuǎn)置等于轉(zhuǎn)置的乘積。

可以將此屬性應(yīng)用于兩個(gè)以上的矩陣或向量。例如，