【新智元導(dǎo)讀】沖鋒在A(yíng)I輔助數(shù)學(xué)研究第一線(xiàn)的陶哲軒，近日又有「神總結(jié)」：ChatGPT提升的，是我們?cè)诰幋a、圖表等次要任務(wù)上的能力；而真要搞好數(shù)學(xué)研究，基礎(chǔ)不扎實(shí)的話(huà)，AI也是沒(méi)用的。
最近，一直沖鋒在探索AI輔助研究功能前線(xiàn)的數(shù)學(xué)大神陶哲軒，總結(jié)了ChatGPT對(duì)自己數(shù)學(xué)研究過(guò)程的幫助。
有趣的是，他發(fā)現(xiàn)AI輔助在數(shù)學(xué)方面的用處倒是有限，但它大大提升的，是自己在次要任務(wù)上的能力，比如編碼和制作圖表。
所以說(shuō)，想要搞好數(shù)學(xué)研究，還是需要扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，純靠AI是沒(méi)用的。
數(shù)學(xué)不好的人，其實(shí)AI的幫助可能也沒(méi)那么大
陶哲軒表示，使用#Python的matplotlib.pyplot庫(kù)的一個(gè)額外收獲是，自己現(xiàn)在可以相對(duì)輕松地創(chuàng)建定性圖表，來(lái)說(shuō)明更多非正式關(guān)系了。
在以前，他只能用文字或者草草繪制的手寫(xiě)草圖來(lái)表達(dá)這種非正式關(guān)系。
為此，陶哲軒發(fā)現(xiàn)了一個(gè)有效的工作流：向ChatGPT請(qǐng)求一個(gè)簡(jiǎn)化示例的代碼，然后自己調(diào)整和修改代碼，直到輸出符合預(yù)期為止。
比如，通過(guò)下面這幾輪對(duì)話(huà)，在幾分鐘內(nèi)他就得到了自己想要的圖表。
最后陶哲軒總結(jié)道，AI輔助在自己主要研究的數(shù)學(xué)領(lǐng)域倒是用處有限，但它大大提高了自己在編碼、制作圖表這類(lèi)次要任務(wù)中的能力，同時(shí)也將自己在一般任務(wù)中的能力，提升到了至少是初學(xué)者的水平。
同時(shí)他也點(diǎn)出，在自己看來(lái)，對(duì)于那些精通編程但并不那么精通數(shù)學(xué)的人來(lái)說(shuō)，AI輔助可能就不會(huì)起到這么大的作用。
陶哲軒和ChatGPT的對(duì)話(huà)，具體如下——
https://chatgpt.com/share/064ae58d-7400-4589-a027-d66a8a8a236e
陶哲軒問(wèn)：「在Python中，我知道如何使用pyplot軟件包制作圖形的單個(gè)圖像。有什么方法可以讓我用Python制作多個(gè)圖形的幻燈片或其他動(dòng)畫(huà)圖像嗎？比如，制作一個(gè)幻燈片，展示函數(shù)$x$, $x^2$, $x^3$, $x^4$對(duì)于$x \in [0,1]$的圖形?！?/span>
ChatGPT回答說(shuō)：「是的，你可以使用matplotlib包中的matplotlib.animation模塊，在Python中創(chuàng)建多個(gè)圖形的幻燈片或動(dòng)畫(huà)圖像。 」
接下來(lái)，ChatGPT就給出了創(chuàng)建該函數(shù)動(dòng)畫(huà)的具體步驟，詳細(xì)給出了代碼——
1. Install matplotlib if you haven't already:
2. Use the following code to create an animation:
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltimport matplotlib.animation as animation
x = np.linspace(0, 1, 400)
functions = [lambda x: x, lambda x: x**2, lambda x: x**3, lambda x: x**4]
fig, ax = plt.subplots()line, = ax.plot(x, functions[0](x))
ax.set_xlabel('x')ax.set_ylabel('f(x)')ax.set_title('Animated Functions')
def init(): line.set_ydata([np.nan] * len(x)) return line,
def update(frame): line.set_ydata(functions[frame](x)) ax.set_title(f'Function: $x^{frame+1}$') return line,
ani = animation.FuncAnimation( fig, update, frames=len(functions), init_func=init, blit=True, repeat=True, interval=1000)
ani.save('animated_functions.gif', writer='imagemagick')
plt.show()
同時(shí)， ChatGPT還給出了相應(yīng)解釋?zhuān)菏紫纫獙?dǎo)入必要模塊，比如導(dǎo)入numpy進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算，導(dǎo)入pyplot進(jìn)行繪圖，導(dǎo)入animation創(chuàng)建動(dòng)畫(huà)。
然后需要定義x的范圍，創(chuàng)建一個(gè)從0到1的數(shù)組x，包含400個(gè)點(diǎn)。
接著需要定義函數(shù)、創(chuàng)建圖形和坐標(biāo)軸、初始化動(dòng)畫(huà)函數(shù)等等。
ChatGPT給出的答案很好，但每個(gè)動(dòng)畫(huà)中只能顯示一個(gè)函數(shù)。
為了達(dá)到目的，陶哲軒進(jìn)一步提問(wèn)道：「如果我想讓每個(gè)動(dòng)畫(huà)顯示兩個(gè)函數(shù)呢？例如，第一幀顯示$x$和$x^2$，第二幀顯示$x^2$和$x^3$，第三幀顯示$x^3$和$x^4$?！?/span>
ChatGPT表示：「要在動(dòng)畫(huà)的每一幀顯示兩個(gè)函數(shù)，可以修改代碼，為每一幀繪制兩條線(xiàn)?！?/span>
接下來(lái)，ChatGPT還是給出了詳細(xì)的代碼。
1. Install matplotlib if you haven't already:
2. Use the following code to create the animation with two functions per frame:
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltimport matplotlib.animation as animation
x = np.linspace(0, 1, 400)
functions = [lambda x: x, lambda x: x**2, lambda x: x**3, lambda x: x**4]
fig, ax = plt.subplots()line1, = ax.plot(x, functions[0](x), label='$x$')line2, = ax.plot(x, functions[1](x), label='$x^2$')
ax.set_xlabel('x')ax.set_ylabel('f(x)')ax.legend()ax.set_title('Animated Functions')
def init(): line1.set_ydata([np.nan] * len(x)) line2.set_ydata([np.nan] * len(x)) return line1, line2
def update(frame): line1.set_ydata(functions[frame](x)) line2.set_ydata(functions[frame+1](x)) ax.legend([f'$x^{frame+1}$', f'$x^{frame+2}$']) return line1, line2
ani = animation.FuncAnimation( fig, update, frames=len(functions)-1, init_func=init, blit=True, repeat=True, interval=1000)
ani.save('animated_double_functions.gif', writer='imagemagick')
plt.show()
隨后ChatGPT照例給出了詳細(xì)解釋?zhuān)簽榱嗽凇?,1」的區(qū)間上創(chuàng)建（$x$和$x^2$，$x^2$和$x^3$，$x^3$和$x^4$）的函數(shù)，需要定義x的范圍、定義函數(shù)、創(chuàng)建圖形和坐標(biāo)軸、初始化動(dòng)畫(huà)函數(shù)等。
陶哲軒表示：「這樣就差不多可以了，但圖例似乎無(wú)法隨動(dòng)畫(huà)更新，它會(huì)停留在x^3和 x^4。有沒(méi)有辦法在每一幀都更新圖例？」
針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，ChatGPT給出了對(duì)策，就是通過(guò)清除現(xiàn)有圖例并創(chuàng)建新的圖例，來(lái)更新每一幀的圖例。
隨后，ChatGPT貼心地給出了可以正確更新圖例的修改后的代碼。
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltimport matplotlib.animation as animation
x = np.linspace(0, 1, 400)
functions = [lambda x: x, lambda x: x**2, lambda x: x**3, lambda x: x**4]
fig, ax = plt.subplots()line1, = ax.plot(x, functions[0](x), label='$x$')line2, = ax.plot(x, functions[1](x), label='$x^2$')
ax.set_xlabel('x')ax.set_ylabel('f(x)')ax.set_title('Animated Functions')
def init(): line1.set_ydata([np.nan] * len(x)) line2.set_ydata([np.nan] * len(x)) return line1, line2
def update(frame): line1.set_ydata(functions[frame](x)) line2.set_ydata(functions[frame+1](x)) ax.legend([f'$x^{frame+1}$', f'$x^{frame+2}$']) return line1, line2
ani = animation.FuncAnimation( fig, update, frames=len(functions)-1, init_func=init, blit=True, repeat=True, interval=1000)
ani.save('animated_double_functions.gif', writer='imagemagick')
plt.show()
ChatGPT解釋道：更新函數(shù)中的ax.legend()調(diào)用，就可以清除現(xiàn)有圖例，并且使用每幀的新標(biāo)簽進(jìn)行更新了。這樣就可以確保，圖例反映的是當(dāng)前顯示函數(shù)的功能。
「我想讓Python繪制一個(gè)用數(shù)字描述，但用字符串標(biāo)注的函數(shù)圖。例如，我想繪制這樣一幅圖：橫軸上標(biāo)有『今天』、『下周』和『明年』，分別代表x=1、x=2和x=3的位置，縱軸上標(biāo)有『初級(jí)』、『中級(jí)』和『專(zhuān)家』，分別代表y=1、y=4和y=9的位置（因此縱向標(biāo)簽的間距并不相等），要繪制的圖形是拋物線(xiàn)y=x^2的圖形。如何繪制？」
ChatGPT回答：「要繪制橫軸和縱軸用字符串標(biāo)注但與特定數(shù)值相對(duì)應(yīng)的圖表，可以使用matplotlib庫(kù)并自定義刻度標(biāo)簽?！?/span>
1. Install matplotlib if you haven't already:
2. Use the following code to create the plot:
import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt
x_values = [1, 2, 3]y_values = [1, 4, 9]
x_labels = ["Today", "Next week", "Next year"]y_labels = ["Beginner", "Intermediate", "Expert"]
x = np.linspace(1, 3, 100)y = x**2
fig, ax = plt.subplots()
ax.plot(x, y, label='$y=x^2$')
ax.set_xlabel('Time')ax.set_ylabel('Level')
ax.set_xticks(x_values)ax.set_xticklabels(x_labels)ax.set_yticks(y_values)ax.set_yticklabels(y_labels)
ax.legend()
ax.set_title('Parabola $y=x^2$ with Custom Axis Labels')
plt.show()
至此，陶哲軒的問(wèn)題就被ChatGPT完美解決了。
在陶哲軒的評(píng)論區(qū)，有網(wǎng)友指出了此圖的準(zhǔn)確性有問(wèn)題：兩條線(xiàn)之間的山谷意味著什么？那里的相對(duì)位移應(yīng)該更大才對(duì)。
在他看來(lái)，用手繪涂鴉來(lái)表達(dá)這類(lèi)非正式想法是比較合適的，可以讓形式與內(nèi)容相匹配，避免了使用和標(biāo)準(zhǔn)化這些AI工具過(guò)程中的缺點(diǎn)。
對(duì)于這名網(wǎng)友的「找茬」，陶哲軒進(jìn)行了詳盡的回復(fù)。
他解釋道，如果自己想要傳達(dá)復(fù)雜關(guān)系的圖像，手繪圖是很不方便的，一方面原因是自己不擅長(zhǎng)手繪，另一方面，也是因?yàn)闊o(wú)法很輕松地編輯出一個(gè)草圖，讓它部分地傳達(dá)自己的想法。
而借助Python，自己就可以輕松地循環(huán)，進(jìn)行十幾次嘗試，然后找到一個(gè)能捕捉到自己想要的細(xì)微差別的方法了。
例如，他確實(shí)有意讓初級(jí)領(lǐng)域和次級(jí)領(lǐng)域之間的山谷在A(yíng)I的幫助下獲得更高的推動(dòng)力（這個(gè)山谷代表著兩個(gè)相鄰的領(lǐng)域）。
在陶哲軒看來(lái)，純數(shù)學(xué)是自己的主要領(lǐng)域，而計(jì)算機(jī)編程是次要技能；自己對(duì)于設(shè)置和安裝機(jī)器學(xué)習(xí)軟件包并沒(méi)有直接經(jīng)驗(yàn)，但后者與這兩個(gè)專(zhuān)業(yè)相鄰，所以他會(huì)把它放在這個(gè)圖的中間位置。
而對(duì)于圖表不夠精確這個(gè)問(wèn)題，陶哲軒解釋道，數(shù)軸上沒(méi)有數(shù)字標(biāo)簽，應(yīng)該就已經(jīng)意味著這是一張非正式圖像。
或者，他建議我們可以創(chuàng)建其他信號(hào)，來(lái)更加強(qiáng)調(diào)圖形的非正式性，比如讓線(xiàn)條更厚、更模糊，同時(shí)選擇不那么「專(zhuān)業(yè)」的字體。
這些在Python中是很容易做到的，但如果要手工完成，就只能重繪圖像了。
同時(shí)，針對(duì)這位網(wǎng)友的建議，陶哲軒也表示，在使用ChatGPT/Python之前，自己的確也提前手繪了草圖。
隨后，陶哲軒又在圖表上進(jìn)行了一些調(diào)整，添加了一些不建議使用AI輔助的情況：在幾乎沒(méi)有先驗(yàn)知識(shí)的情況下嘗試用AI處理中等難度的任務(wù)，或者在只有中等先驗(yàn)知識(shí)的情況下嘗試處理專(zhuān)家難度的任務(wù)。
陶哲軒表示，在這種特殊情況下，此類(lèi)更新在手繪圖像上是可行的，并且只需要添加新繪圖就可以了，而不是刪除或修改現(xiàn)有繪圖。
但他強(qiáng)調(diào)，對(duì)于許多其他類(lèi)型的修訂，使用手繪圖像作為主圖像來(lái)源會(huì)很不方便。
其實(shí)早在2023年3月，陶哲軒就開(kāi)始探索如何將AI加入到自己的工作流里了。
起初，陶哲軒想讓ChatGPT根據(jù)他的描述直接得到「Kummer定理」這個(gè)名字。不過(guò)，AI給出的結(jié)果卻是一個(gè)Legendre公式。好在，后續(xù)可以根據(jù)這個(gè)線(xiàn)索，通過(guò)傳統(tǒng)搜索引擎輕松找到答案。
據(jù)此，陶哲軒認(rèn)為，AI在數(shù)學(xué)中的作用是提供一個(gè)初步解答，然后可以通過(guò)更傳統(tǒng)的方法進(jìn)行細(xì)化。
接下來(lái)，陶哲軒從原理上對(duì)比了傳統(tǒng)計(jì)算機(jī)軟件工具和AI工具，發(fā)現(xiàn)二者的工作流極為不同。
例如，對(duì)于傳統(tǒng)的LaTeX到PDF編譯器來(lái)說(shuō)，只要輸入的代碼正確，那么一定可以得到一份完美的PDF。但如果輸入的代碼有格式錯(cuò)誤，結(jié)果要么是編譯錯(cuò)誤，要么是一份嚴(yán)重混亂的PDF。
而AI LaTeX編譯器則可以更加優(yōu)雅地處理噪聲或格式錯(cuò)誤的輸入，但它不能以「一鍵完成」的方式使用，而是需要進(jìn)行大量的互動(dòng)。
隨后，在大量的嘗試中，陶哲軒又發(fā)現(xiàn)了一些ChatGPT在處理數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)的小亮點(diǎn)。
比如，一旦AI「學(xué)會(huì)」了用戶(hù)的需求，用戶(hù)就可以用最少的解釋或預(yù)格式化來(lái)提供進(jìn)一步的數(shù)據(jù)，而AI依然可以推斷出一個(gè)令人滿(mǎn)意的輸出。
例如，在隨后的此類(lèi)請(qǐng)求中，即使輸入不是MathSciNet格式，AI仍然能夠繼續(xù)我在附加請(qǐng)求中隱含引入的參考命名約定。
總的來(lái)說(shuō)，這些AI工具并不能幫助直接攻克未解的數(shù)學(xué)問(wèn)題，但它們?cè)诟鞣N相關(guān)的任務(wù)中相當(dāng)有用，盡管之后常常需要一些手動(dòng)調(diào)整。
2023年4月，在經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的使用之后，陶哲軒針對(duì)AI和人類(lèi)（主要是自己）各自的優(yōu)勢(shì)進(jìn)行了一波總結(jié)。
1. 對(duì)于每天都要做的任務(wù)，陶哲軒已經(jīng)掌握了足夠的技術(shù)來(lái)優(yōu)化工作流。在這方面，AI工具的幫助不大。最明顯的就是在研究數(shù)學(xué)，同時(shí)也包括他已經(jīng)極為熟練的郵件撰寫(xiě)。
2. 對(duì)于有一些專(zhuān)業(yè)知識(shí)但很少實(shí)踐的任務(wù)，AI工具是有幫助的。比如創(chuàng)建初稿或者提供靈感，然后陶哲軒自己再去進(jìn)行驗(yàn)證和完善。這一類(lèi)的例子包括數(shù)據(jù)處理、翻譯成外語(yǔ)，或以很少使用的格式編寫(xiě)文本（比如，公開(kāi)演講、規(guī)則文件等）。
3. 對(duì)于幾乎沒(méi)有專(zhuān)業(yè)知識(shí)且不需要極高質(zhì)量和可靠輸出的任務(wù)，也可以詢(xún)問(wèn)AI工具，并或多或少地聽(tīng)從它的建議。在這里，AI的功能相當(dāng)于一個(gè)操作更簡(jiǎn)便的搜索引擎。
4. 對(duì)于沒(méi)有專(zhuān)業(yè)知識(shí)但需要質(zhì)量和可靠性的任務(wù)，就必須咨詢(xún)?nèi)祟?lèi)專(zhuān)家了。一個(gè)例子是修理復(fù)雜、昂貴且精密的設(shè)備。
陶哲軒讓GPT用LaTeX輸出流程圖后，得到了下面這張圖片。
可以看到，這張流程圖還比較粗糙，不過(guò)對(duì)于熟練使用LaTeX的陶哲軒來(lái)說(shuō)，只需簡(jiǎn)單修改一下，即可得到下面這個(gè)成品。
陶哲軒讓GPT把自己之前的帖子總結(jié)為流程圖，結(jié)果如下。
2023年9月，陶哲軒對(duì)ChatGPT的探索，已經(jīng)深入到用它來(lái)寫(xiě)代碼了。
作為實(shí)驗(yàn)，他要求ChatGPT寫(xiě)一段Python代碼，為每個(gè)自然數(shù)n計(jì)算1,...,n的最長(zhǎng)子序列的長(zhǎng)度??(??) ，其中歐拉全能函數(shù)?不遞減。
很快，AI便生成了一段極其巧妙的代碼。雖然還存在一些偏差，但距離最終答案已經(jīng)非常接近了。
隨后，陶哲軒基于這段初始代碼作為起點(diǎn)，手動(dòng)生成了自己想要的代碼，這大概節(jié)省了他半個(gè)小時(shí)的工作量。
因?yàn)镃hatGPT給出的結(jié)果非常好，陶哲軒表示，自己以后還會(huì)經(jīng)常使用它，為類(lèi)似的計(jì)算提供初始代碼。
一看陶哲軒對(duì)AI的嘗試已經(jīng)來(lái)到了代碼領(lǐng)域，坐不住的網(wǎng)友們便給他安利一波AI加持的VSCode。
對(duì)此，陶哲軒本人十分「聽(tīng)勸」，竟然放下了自己已經(jīng)用了近10年的TeXnicCenter+MiKTeX，立刻將工作流升級(jí)到了VSCode+TeX Live+LaTeX workshop+GitHub Copilot。
在初次嘗試中，他主要用的是很基礎(chǔ)的代碼片段功能（code snippets feature）——
通過(guò)輸入觸發(fā)詞（比如「cor」），并按下Tab鍵來(lái)創(chuàng)建整個(gè)推論環(huán)境（corollary environment），非常節(jié)省時(shí)間。
就在不到一個(gè)月之后，陶哲軒表示，他已經(jīng)在用Github Copilot為自己的博客文章撰寫(xiě)提供助力了。
比如在下面這個(gè)例子中，陶哲軒將一個(gè)積分分成三部分，并描述了如何估計(jì)第一部分，隨后Copilot正確地給出了剩下兩部分的估計(jì)方法。
他預(yù)計(jì)，在最終的成稿中，大約有十幾句來(lái)自Copilot的建議會(huì)以某種形式呈現(xiàn)出來(lái)。
隨著AI自身的進(jìn)化，以及愈發(fā)熟練的掌握，陶哲軒發(fā)現(xiàn)AI已經(jīng)不再局限于外圍的任務(wù)，而是可以涉足數(shù)學(xué)領(lǐng)域本身了。
比如，在使用Lean進(jìn)行自然數(shù)游戲研究時(shí)，他便通過(guò)GPT-4的輔助得到了關(guān)于有限多個(gè)實(shí)變量不等式理論的成果。
并且，隨著關(guān)卡變得越來(lái)越難，GPT的作用也越加能夠凸顯出來(lái)。
而在這波體驗(yàn)之后，大神本人也算是徹底「入坑」了。
OK，自然數(shù)游戲已經(jīng)完成，現(xiàn)在我要去安裝Lean并編寫(xiě)一個(gè)「hello world」程序了。
- Github Copilot在完成簡(jiǎn)短論證時(shí)非常有用，盡管它的較長(zhǎng)建議通常是錯(cuò)誤的。但即使是錯(cuò)誤的建議也能幫助我學(xué)到正確的語(yǔ)法。
- GPT-4在澄清Lean語(yǔ)法的細(xì)微差別并提供我用數(shù)學(xué)英語(yǔ)解釋的步驟的Lean翻譯建議方面有一定幫助。然而，它似乎更受Lean3語(yǔ)法和最佳實(shí)踐的影響，而不是Lean4。
終于，在經(jīng)過(guò)差不多100個(gè)小時(shí)的努力之后，陶哲軒用Lean4完成了Maclaurin型不等式論文的形式化。
大神畢竟是大神，陶哲軒很快又再一次跑通了用AI工具輔助數(shù)學(xué)研究——形式化多項(xiàng)式Freiman-Ruzsa猜想的證明，大獲成功。
https://mathstodon.xyz/@tao/112735110429475270
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