Java數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)與算法：多路查找樹

作者：subeiLY

https://blog.csdn.net/m0_46153949/article/details/106742330

本章思維導(dǎo)圖

二叉樹與B樹

二叉樹的問題分析

二叉樹的操作效率較高，但是也存在問題, 請看下面的二叉樹：

二叉樹需要加載到內(nèi)存的，如果二叉樹的節(jié)點(diǎn)少，沒有什么問題，但是如果二叉樹的節(jié)點(diǎn)很多(比如1億)， 就存在如下問題:問題1：在構(gòu)建二叉樹時，需要多次進(jìn)行i/o操作(海量數(shù)據(jù)存在數(shù)據(jù)庫或文件中)，節(jié)點(diǎn)海量，構(gòu)建二叉樹時，速度有影響.

問題2：節(jié)點(diǎn)海量，也會造成二叉樹的高度很大，會降低操作速度.

解決上述問題 ---> 多叉樹? ?

多叉樹

1.在二叉樹中，每個節(jié)點(diǎn)有數(shù)據(jù)項(xiàng)，最多有兩個子節(jié)點(diǎn)。如果允許每個節(jié)點(diǎn)可以有更多的數(shù)據(jù)項(xiàng)和更多的子節(jié)點(diǎn)，就是多叉樹（multiway tree）

2.后面敘述的2-3樹，2-3-4樹就是多叉樹，多叉樹通過重新組織節(jié)點(diǎn)，減少樹的高度，能對二叉樹進(jìn)行優(yōu)化。

3.舉例說明(下面2-3樹就是一顆多叉樹)

B樹的基本介紹

B樹通過重新組織節(jié)點(diǎn)，降低樹的高度，并且減少讀寫次數(shù)來提升效率。

1.如圖B樹通過重新組織節(jié)點(diǎn)，降低了樹的高度.

2.文件系統(tǒng)及數(shù)據(jù)庫系統(tǒng)的設(shè)計(jì)者利用了磁盤預(yù)讀原理，將一個節(jié)點(diǎn)的大小設(shè)為等于一個頁(頁得大小通常為4k)，這樣每個節(jié)點(diǎn)只需要一次I/O就可以完全載入.

3.將樹的度M設(shè)置為1024，在600億個元素中最多只需要4次I/O操作就可以讀取到想要的元素, B樹(B+)廣泛應(yīng)用于文件存儲系統(tǒng)以及數(shù)據(jù)庫系統(tǒng)中.

2-3樹

2-3樹基本介紹：

• 2-3樹是最簡單的B樹結(jié)構(gòu), 具有如下特點(diǎn):

• 2-3樹的所有葉子節(jié)點(diǎn)都在同一層.(只要是B樹都滿足這個條件)

• 有兩個子節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)叫二節(jié)點(diǎn)，二節(jié)點(diǎn)要么沒有子節(jié)點(diǎn)，要么有兩個子節(jié)點(diǎn).

• 有三個子節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)叫三節(jié)點(diǎn)，三節(jié)點(diǎn)要么沒有子節(jié)點(diǎn)，要么有三個子節(jié)點(diǎn).

• 2-3樹是由二節(jié)點(diǎn)和三節(jié)點(diǎn)構(gòu)成的樹。

2-3樹應(yīng)用案例

將數(shù)列{16, 24, 12, 32, 14, 26, 34, 10, 8, 28, 38, 20} 構(gòu)建成2-3樹，并保證數(shù)據(jù)插入的大小順序。

(演示構(gòu)建2-3樹的過程 ——> 如下:)

插入規(guī)則:

1.2-3樹的所有葉子節(jié)點(diǎn)都在同一層.(只要是B樹都滿足這個條件)

2.有兩個子節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)叫二節(jié)點(diǎn)，二節(jié)點(diǎn)要么沒有子節(jié)點(diǎn)，要么有兩個子節(jié)點(diǎn).

3.有三個子節(jié)點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)叫三節(jié)點(diǎn)，三節(jié)點(diǎn)要么沒有子節(jié)點(diǎn)，要么有三個子節(jié)點(diǎn)

4.當(dāng)按照規(guī)則插入一個數(shù)到某個節(jié)點(diǎn)時，不能滿足上面三個要求，就需要拆，先向上拆，如果上層滿，則拆本層，拆后仍然需要滿足上面3個條件。?

5.對于三節(jié)點(diǎn)的子樹的值大小仍然遵守(BST 二叉排序樹)的規(guī)則

說明:

1. 當(dāng)插入10時，應(yīng)當(dāng)在 10 - 12 -14 這個位置，但是這時滿了，因此向上層看， 16-26 也滿了

2. 因此將 10-12-14 拆 成? 10 <-12->14, 因?yàn)槠渌鸱ǎ荒軡M足 二節(jié)點(diǎn)或三節(jié)點(diǎn)的要求.

3. 但是這時，葉子節(jié)點(diǎn)沒有全部在同一層，需要調(diào)整26 這個值到下面(如圖)

其它說明

除了23樹，還有234樹等，概念和23樹類似，也是一種B樹。如圖:

B樹、B+樹和B*樹

B樹的介紹

B-tree樹即B樹，B即Balanced，平衡的意思。有人把B-tree翻譯成B-樹，容易讓人產(chǎn)生誤解。會以為B-樹是一種樹，而B樹又是另一種樹。實(shí)際上，B-tree就是指的B樹。

• 前面已經(jīng)介紹了2-3樹和2-3-4樹，他們就是B樹(英語：B-tree 也寫成B-樹)，這里我們再做一個說明，我們在學(xué)習(xí)Mysql時，經(jīng)常聽到說某種類型的索引是基于B樹或者B+樹的，如圖:

B樹的說明:

1.B樹的階：節(jié)點(diǎn)的最多子節(jié)點(diǎn)個數(shù)。比如2-3樹的階是3，2-3-4樹的階是4

2.B-樹的搜索，從根結(jié)點(diǎn)開始，對結(jié)點(diǎn)內(nèi)的關(guān)鍵字（有序）序列進(jìn)行二分查找，如果命中則結(jié)束，否則進(jìn)入查詢關(guān)鍵字所屬范圍的兒子結(jié)點(diǎn)；重復(fù)，直到所對應(yīng)的兒子指針為空，或已經(jīng)是葉子結(jié)點(diǎn)

3.關(guān)鍵字集合分布在整顆樹中, 即葉子節(jié)點(diǎn)和非葉子節(jié)點(diǎn)都存放數(shù)據(jù).

4.搜索有可能在非葉子結(jié)點(diǎn)結(jié)束

5.其搜索性能等價于在關(guān)鍵字全集內(nèi)做一次二分查找

B+樹的介紹

B+樹是B樹的變體，也是一種多路搜索樹。

B+樹的說明:

1.B+樹的搜索與B樹也基本相同，區(qū)別是B+樹只有達(dá)到葉子結(jié)點(diǎn)才命中（B樹可以在非葉子結(jié)點(diǎn)命中），其性能也等價于在關(guān)鍵字全集做一次二分查找

2.所有關(guān)鍵字都出現(xiàn)在葉子結(jié)點(diǎn)的鏈表中（即數(shù)據(jù)只能在葉子節(jié)點(diǎn)【也叫稠密索引】），且鏈表中的關(guān)鍵字(數(shù)據(jù))恰好是有序的。

3.不可能在非葉子結(jié)點(diǎn)命中

4.非葉子結(jié)點(diǎn)相當(dāng)于是葉子結(jié)點(diǎn)的索引（稀疏索引），葉子結(jié)點(diǎn)相當(dāng)于是存儲（關(guān)鍵字）數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)層

5.更適合文件索引系統(tǒng)

6.B樹和B+樹各有自己的應(yīng)用場景，不能說B+樹完全比B樹好，反之亦然.

B*樹是B+樹的變體，在B+樹的非根和非葉子結(jié)點(diǎn)再增加指向兄弟的指針。

B*樹的說明:

1. B*樹定義了非葉子結(jié)點(diǎn)關(guān)鍵字個數(shù)至少為(2/3)*M，即塊的最低使用率為2/3，而B+樹的塊的最低使用率為B+樹的1/2。

2. 從第1個特點(diǎn)我們可以看出，B*樹分配新結(jié)點(diǎn)的概率比B+樹要低，空間使用率更高

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