數(shù)學(xué) ：追求真和美的學(xué)問

數(shù)學(xué)算法俱樂部

日期 ： 2021年06月13日       

正文共 ：4791字

來源 ： 網(wǎng)絡(luò)

什么是美，什么是丑？這些是藝術(shù)家、哲學(xué)家和設(shè)計(jì)師喜歡辯論的問題，但是對(duì)數(shù)學(xué)家來說，幾乎沒有爭(zhēng)論的興趣。他們通過簡(jiǎn)便和清晰的特性，一眼就能辨識(shí)出美的數(shù)學(xué)理念。

當(dāng)有人兩眼放光地跟你講一件事情時(shí)，那一定是對(duì)他很特別的東西——一件很棒的禮物，一個(gè)巨大的驚喜，或一種非凡的體驗(yàn)。20 年前，我作為一個(gè)物理系學(xué)生上大課時(shí)，看到了教授眼中的光芒，這位數(shù)學(xué)家正興奮地講述“刺猬定理”的證明過程。

刺猬定理不難理解 ：當(dāng)一只刺猬蜷縮成一個(gè)球時(shí)，在它豎著的所有刺當(dāng)中，至少有一處禿著的地方。在這個(gè)地方，緊密排列的刺指向不同的方向，就正像我們頭上的發(fā)旋一樣。因此，在英語中，刺猬定理也被稱為“毛球定理”。將這個(gè)定理翻譯成白話就是：無論你如何梳理毛發(fā)，在一個(gè)沾滿毛發(fā)的圓球上總是至少有一個(gè)旋兒。

我的數(shù)學(xué)教授用了 90 分鐘和幾塊寫滿的黑板來證明刺猬定理。這絕不是一個(gè)簡(jiǎn)單的證明，但盡管如此，他還是很高興地為我們學(xué)生指明道路，因?yàn)檫@畢竟也是對(duì)一個(gè)定理相當(dāng)漂亮的證明。

那么在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，究竟什么是漂亮？我喜歡把這門學(xué)科與足球做比較。球員們都必須掌握某些基本技術(shù)，并了解比賽規(guī)則。誰要是想把球踢進(jìn)球門，就不應(yīng)該僅僅掌握一種射門技術(shù)。球員們常用的是正腳背射門或腳內(nèi)側(cè)射門，但在某些情況下，技術(shù)上更具挑戰(zhàn)性的倒勾射門也不錯(cuò)。

數(shù)學(xué)也是一樣的。乘法表屬于基礎(chǔ)知識(shí)，質(zhì)數(shù)和三角形也是基礎(chǔ)知識(shí)。知道二項(xiàng)式公式和勾股定理的人會(huì)有更大的可能性解答出問題。當(dāng)然，在某些情況下還需要會(huì)求微分和積分，就像倒勾射門似的更具挑戰(zhàn)性。

可能現(xiàn)在你已經(jīng)明白了，草坪上漂亮的傳球動(dòng)作和優(yōu)美的數(shù)學(xué)都是如何出現(xiàn)的。通過將已知和熟悉的知識(shí)儲(chǔ)備中的各種技術(shù)，創(chuàng)造性地重新結(jié)合起來——最好以出人意料的方式。在足球方面，以這種方式組建的球隊(duì)可以快速突破經(jīng)驗(yàn)豐富的防守 ；在數(shù)學(xué)方面，也許會(huì)想出一道至今無法解答的問題的絕妙解法。甚至有時(shí)候，足球運(yùn)動(dòng)員和數(shù)學(xué)家都會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)以前沒有人知道的新技巧。

 

數(shù)學(xué)就像踢足球

我們都知道，練得越多，好處越多。職業(yè)人員會(huì)比業(yè)余足球運(yùn)動(dòng)員、業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者掌握更多的專業(yè)技術(shù)，他在踢球或論證時(shí)就會(huì)更有把握。但我們不是非要跟巴薩俱樂部簽了合同才能享受足球的樂趣。哪怕是在丙級(jí)聯(lián)賽，球員們也會(huì)因一個(gè)進(jìn)球或一記精妙傳球而激動(dòng)不已。同樣的道理，人人都能享受數(shù)學(xué)的樂趣。

然而，當(dāng)一談到對(duì)美的判斷時(shí)，足球和數(shù)學(xué)就沒有什么共同點(diǎn)了。球迷們對(duì)誰踢球踢得最漂亮，很少會(huì)達(dá)成一致。當(dāng)然，多數(shù)人都會(huì)說：當(dāng)然是我支持的球隊(duì)。但即使是內(nèi)心沒有支持某支球隊(duì)的業(yè)內(nèi)專家， 對(duì)于一場(chǎng)漂亮比賽的看法也各有不同。第一個(gè)專家喜歡快速、直接的比賽。第二個(gè)專家喜歡彩虹式過人技巧和巴西花式足球。第三個(gè)專家偏愛無窮無盡的傳球，在過去幾十年里，西班牙隊(duì)用這種傳球快把對(duì)手逼瘋了。

美是什么？這個(gè)問題，不僅足球迷們?cè)跔?zhēng)論，哲學(xué)家、藝術(shù)家、藝術(shù)科學(xué)家和心理學(xué)家也在爭(zhēng)論，都爭(zhēng)了好幾千年了。但在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，問題卻有所不同。當(dāng)一個(gè)數(shù)學(xué)家說“這是一則特別漂亮的證明”時(shí)，幾乎不會(huì)有同行反駁。這不是很奇怪嗎？

很明顯，數(shù)學(xué)家們對(duì)什么是美，有著共識(shí)。然而，我們要尋求美的明確標(biāo)準(zhǔn)是徒勞的。有些人喜愛極其簡(jiǎn)單，有些人則追求清晰明了或短小精悍。對(duì)柏林的數(shù)學(xué)家馬丁 ? 艾格納（Martin Aigner）來說，美就是由透明性、一致性和簡(jiǎn)便性組成的三重和弦，是它們使數(shù)學(xué)證明變得漂亮。跟外行相比，艾格納對(duì)透明、簡(jiǎn)便的證明的概念肯定會(huì)略有不同，但總的來說，你基本無法反駁他。

證明就是展示某一陳述的正確性。冗長(zhǎng)而復(fù)雜的證明并不少見。我想通過一個(gè)簡(jiǎn)單的比喻來說明，我心目中一個(gè)漂亮優(yōu)雅的證明是什么樣的。請(qǐng)想象一下，你站在一座山上，你要把你旁邊的一塊巨石滾下山去。問題是 ：你的力量根本不足以搬動(dòng)這塊巨石。不管你如何推動(dòng)和搖晃，這塊巨石幾乎沒有移動(dòng)過一毫米。

你沮喪地圍繞著這塊巨石走來走去，突然在它背面看到，有一塊小石頭被卡在它下面，就是這東西使得巨石無法滾動(dòng)。而這塊小石頭就是解決問題的關(guān)鍵！你不再試圖用自身的力量把巨石滾動(dòng)起來，而是將巨石搖動(dòng)一點(diǎn)點(diǎn)，同時(shí)快速地抽出小石頭。之后，巨石自己就滾動(dòng)起來。你不要讓巨大的巖石滾過一個(gè)小的障礙物，而是要直接把小的障礙物拿走。這個(gè)方法很聰明，因?yàn)樗?jié)省了很多力氣。對(duì)于我來說，一個(gè)漂亮的證明就是同理?？此评щy或無法解決的問題，突然就變得容易了。

英國(guó)數(shù)論學(xué)家戈弗雷 ? 哈羅德 ? 哈代（Godfrey Harold Hardy，1877—1947）甚至宣稱，數(shù)學(xué)普遍都是美的。在他看來，不美的事物根本不能持久 ：“世上沒有一個(gè)永久的地方容納丑陋的數(shù)學(xué)。”

那么哈代所說的“丑陋的數(shù)學(xué)”，到底是什么意思？我認(rèn)為，我們所有人的定義都一樣：關(guān)聯(lián)不清楚、論證缺失條理和闡釋冗繁的數(shù)學(xué)。

相信數(shù)學(xué)之美

有一位偉大的數(shù)學(xué)家，對(duì)美麗的證明特別感興趣，他就是匈牙利人保羅? 厄多斯（Paul Erd?s，1913—1996）。他說過，有些證明特別美妙，但也有小小的瑕疵，而最遺憾的是，這些證明就錯(cuò)了。

像哈代一樣，厄多斯堅(jiān)信世界上一定有既正確又美麗的證明。他甚至還提到要編寫一本書，書里的“上帝”收集了所有最完美的證明?！澳銢]必要相信上帝，”他認(rèn)為，“但作為數(shù)學(xué)家，要相信一定有這本書?！?/span>

厄多斯在寫完這本書之前去世了。君特? 齊格勒（Günter Ziegler）和馬丁 ? 艾格納在 2002 年將這位匈牙利數(shù)學(xué)家的想法變成現(xiàn)實(shí)。他們把作品命名為《證明之書》（Das Buch der Beweise）。可惜這里面收集的大部分證明對(duì)非專業(yè)讀者來說都太難了，大部分都要求讀者具備大學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。但是在本章，我想向你們介紹這本書里的一個(gè)證明，也是一則經(jīng)典證明：

定理 ：有無限多個(gè)質(zhì)數(shù)。

什么樣的證明才是最佳的呢？也許我可以嘗試，挨個(gè)數(shù)清楚所有的質(zhì)數(shù)。但在證明過程中，我可能會(huì)發(fā)現(xiàn)這事沒有盡頭。這得花多長(zhǎng)的時(shí)間?。咳绻_實(shí)有無限多個(gè)質(zhì)數(shù)，時(shí)間就會(huì)無限延長(zhǎng)。這樣就證明不出來，這點(diǎn)我們都很清楚，那接下來該怎么辦？

不要直接解決問題，而是間接證明——從后面迂回過來。我們用間接證明來證明

論點(diǎn)，也就是反駁論點(diǎn)的對(duì)立面。由于數(shù)學(xué)的邏輯一致性，間接證明是完全可行的。一個(gè)論點(diǎn)要么正確，要么錯(cuò)誤。兩個(gè)互相矛盾的論點(diǎn)不可能同時(shí)為真。

我們回到質(zhì)數(shù)問題。我們不要試圖直接解答問題，因?yàn)檫@樣我們會(huì)面臨無窮多數(shù)量的困境。相反， 我們假設(shè)這個(gè)論點(diǎn)是錯(cuò)誤的，也就是假設(shè)只存在有 限多個(gè)質(zhì)數(shù)。然后我們?cè)倏纯?，這個(gè)假設(shè)是否真的正確。

如果只存在有限多個(gè)質(zhì)數(shù)，數(shù)學(xué)家們則喜歡說成：存在 n 個(gè)質(zhì)數(shù)。n 有多大，并不重要。我們將這n 個(gè)質(zhì)數(shù)設(shè)為 p1、p2、p3、……、pn。

我們把這些質(zhì)數(shù)相乘 ：

p1 × p2 × p3 ×…… × pn

就會(huì)得到一個(gè)有趣的自然數(shù) ：它可以被 n 個(gè)質(zhì)數(shù)p1、p2、p3、……、pn 里的任意一個(gè)質(zhì)數(shù)整除，因?yàn)檫@個(gè)數(shù)是所有這些質(zhì)數(shù)的乘積。例如，2×3×5 = 30 當(dāng)然可以被 2、3 和 5 整除。

現(xiàn)在就是這個(gè)間接證明的真正竅門：我們?cè)?/span> n 個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積之上再加 1 ：

p1 × p2 × p3 ×…… × pn + 1 

所得之?dāng)?shù)同樣也是一個(gè)自然數(shù)，但是它不能被這 n 個(gè)質(zhì)數(shù)里的任何一個(gè)質(zhì)數(shù)整除，確切地說，在做除法之時(shí)總是會(huì)余 1。我們?cè)倩氐嚼?/span> 2、3、5 ： 2×3×5+1=31。得到的數(shù) 31 既不能被 2 和 3 整除，也不能被 5 整除。

從上述思考中，會(huì)得出什么結(jié)論呢？由于 p1× p2×p3×……×pn+1 不能被這 n 個(gè)質(zhì)數(shù)里面的任何一個(gè)質(zhì)數(shù)整除，所以這個(gè)數(shù)本身就一定是一個(gè)質(zhì)數(shù)，它不包含在 p1、p2、p3、……、pn 里面 ；或者它是多個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積，但這多個(gè)質(zhì)數(shù)不屬于前面給出的 n 個(gè)質(zhì)數(shù)。這就與我們假設(shè)的只存在 n 個(gè)質(zhì)數(shù)互相矛盾了。

也就是說，只存在有限多個(gè)質(zhì)數(shù)的假設(shè)是錯(cuò)誤的。我們剛剛展示了如何將 n 個(gè)質(zhì)數(shù)組合為一個(gè)新的質(zhì)數(shù)。這也說明，確實(shí)存在無限多個(gè)質(zhì)數(shù)。這樣一來，我們就成功證明了這個(gè)定理。

這個(gè)證明簡(jiǎn)短得出乎意料。這個(gè)證明美妙的地方是，你不必糾結(jié)無限多個(gè)質(zhì)數(shù)，反正都是不可能的。相反，我們只需要用兩行數(shù)：

p1 × p2 × p3 ×…… × pn

和

p1×p2×p3×……×pn +1

就能證明存在無限多個(gè)質(zhì)數(shù)。這太美妙了！

 

康托爾的天才妙招

在本文開頭的質(zhì)數(shù)證明中，我們巧妙繞過了無限多的數(shù)量。現(xiàn)在我們?cè)賮硪粋€(gè)不會(huì)嚇到你們的證明。來自德國(guó)哈勒的數(shù)學(xué)家格奧爾格?康托爾（Georg Cantor）在 100 多年前首先創(chuàng)立了集合論。你肯定知道自然數(shù)的集合、所有分?jǐn)?shù)的集合，還有有理數(shù)的集合?？低袪柛信d趣的是，一個(gè)集合的勢(shì)是否比另一個(gè)集合的勢(shì)大。

所謂“勢(shì)”，并不是指數(shù)字的范圍或大小，而是其他東西。如果兩個(gè)集合“等勢(shì)”（一樣大），打個(gè)比方，這兩個(gè)集合里的元素可以辦一場(chǎng)舞會(huì)，在這場(chǎng)舞會(huì)里，沒有人會(huì)因?yàn)檎也坏轿璋槎涞乜粗鴦e人跳舞。第一個(gè)集合里的一個(gè)元素和第二個(gè)集合里的一個(gè)元素組成了一對(duì)舞伴。

在等勢(shì)的兩個(gè)集合里， 兩個(gè)集合中的每個(gè)元素都能找到一個(gè)舞伴， 沒有人會(huì)被單獨(dú)剩下。

如果是 50 個(gè)女孩在舞會(huì)上遇到 30 個(gè)男孩，這就行不通了。因?yàn)榕⒌募系膭?shì)比男孩的集合的勢(shì)更大。

康托爾還將含有無窮多元素的集合進(jìn)行過比較。例如，他曾思考過，當(dāng)自然數(shù)和分?jǐn)?shù)在一場(chǎng)舞會(huì)中相遇時(shí)，會(huì)發(fā)生什么呢？簡(jiǎn)單起見，我們這里只討論正分?jǐn)?shù)。每個(gè)分?jǐn)?shù)都找到舞伴了嗎？或者，有個(gè)別分?jǐn)?shù)只能默默地旁觀？

我們想當(dāng)然地認(rèn)為 ：在兩個(gè)自然數(shù) 0 和1之間存在無窮多個(gè)分?jǐn)?shù)，如 1/2、1/3、1/4 ……因此，分?jǐn)?shù)明顯應(yīng)該更多，盡管兩個(gè)集合都包含有無窮多的元素。但是康托爾可以證明，自然數(shù)集和分?jǐn)?shù)集等勢(shì)——每個(gè)數(shù)字都保證能找到一個(gè)舞伴。

自然數(shù)是可數(shù)的——這很明顯。我從 0 開始數(shù)， 每個(gè)任意大的數(shù)字在某一刻都能被我數(shù)到。由于有無窮多的自然數(shù)，我們可以說，自然數(shù)集是可數(shù)無窮的。這就是說 ：我們可以把這個(gè)集合的所有元素都逐一編號(hào)。我從集合中取出的每一個(gè)元素，都具有一個(gè)編號(hào)。在自然數(shù)集合里，這個(gè)編號(hào)與自然數(shù)本身完全一一對(duì)應(yīng)。但對(duì)于其他可數(shù)無窮集合，這不是那么容易實(shí)現(xiàn)的。

那么我們?nèi)绾螌o窮集合進(jìn)行比較呢？很簡(jiǎn)單： 當(dāng)一個(gè)集合同樣是可數(shù)無窮時(shí)，這個(gè)集合就跟自然數(shù)集等勢(shì)。它在分?jǐn)?shù)集里表示就是：我隨機(jī)選出一個(gè)元素，例如 2/3，然后就像在“他”的額頭上貼上一個(gè)編3號(hào)。康托爾的功勞就是編出了一份指南，讓我們能夠計(jì)算這些編號(hào)。

康托爾證明正分?jǐn)?shù)集和自然數(shù)集等勢(shì)，是基于兩種天才般的想法。首先，他設(shè)計(jì)了一張表格（見下表），在這個(gè)表格里，所有正分?jǐn)?shù)都有它們固定的位置。你可以在這里看到這張表格的左上方部分——表格向右和向下無限延伸。

但是我們還不能夠數(shù)完這張表里的所有數(shù)。例如，如果我們從第一行的左上角開始向右數(shù)，我們就將會(huì)無窮無盡地?cái)?shù)下去，永遠(yuǎn)數(shù)不到第二行。

康托爾又準(zhǔn)備好了第二招。他沒有數(shù)一整行或一整列，而是從右上角到左下角斜著數(shù)，再?gòu)淖笙陆窍蛴疑辖菙?shù)，以此類推。

用這種方式，從 1/1 開始的每個(gè)分?jǐn)?shù)都會(huì)得到一個(gè)編號(hào)。例如 ：1/2的編號(hào)為 2， 1/5的編號(hào)為 15。如此，這位數(shù)學(xué)家就證明了正分?jǐn)?shù)集與自然數(shù)集等勢(shì)。

像康托爾這樣通過對(duì)角線計(jì)數(shù)的技巧，來處理表格右側(cè)和底部的無窮多的數(shù)字，我認(rèn)為是十分漂亮的做法。康托爾就像一名園丁，要修剪一片無窮大的草坪，于是他站在草坪的左上角，推著割草機(jī)呈“之”字形曲折前進(jìn)。

質(zhì)數(shù)證明和康托爾的對(duì)角線計(jì)數(shù)都是很難的證明（后者會(huì)更難）。不過，這兩個(gè)證明有某些共同點(diǎn)：用一種思路，或者像康托爾那樣用兩種思路，就能漂亮地解答一道難題。對(duì)我來說，正是這些天才的妙招創(chuàng)造了數(shù)學(xué)之美，希望你也有這種感覺。

— THE END —

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