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小宇：閃客閃客，我今天被人欺負(fù)了！

閃客：誰(shuí)欺負(fù)你了！說(shuō)出來(lái)我找他... 道個(gè)歉...

小宇：你他喵。

閃客：開(kāi)玩笑，說(shuō)說(shuō)怎么欺負(fù)你了？

小宇：那個(gè)人考我背泰勒公式，結(jié)果我沒(méi)背出來(lái)，被嘲笑了！我是不是太笨了呀？

閃客：當(dāng)然不是，泰勒公式是很多人的噩夢(mèng)，不信你看看投票。

小宇：好吧，我應(yīng)該是除了名字之外什么都不知道的那一波了。你能不能給我講講，讓我一下子就把它記住呀？

閃客：當(dāng)然可以，你現(xiàn)在有空嗎？隨時(shí)可以開(kāi)始。

小宇：有空，我們開(kāi)始吧！

合理的猜測(cè)

閃客：我問(wèn)你一個(gè)問(wèn)題，在不用計(jì)算器，也不知道 e 的具體值的情況下，如何計(jì)算下面這個(gè)數(shù)？

小宇：不會(huì)

閃客：你能不能想想再說(shuō)！

小宇：你兇什么兇！我想想哈，e 的 0.1 次方，emmm，應(yīng)該和 e 的 0 次方差不太多吧？

閃客：非常好！那么這個(gè)數(shù)應(yīng)該是比 1 大還是比 1 小呢？

小宇：這個(gè)簡(jiǎn)單，我記得 f(x) = e^x 這個(gè)函數(shù)圖像應(yīng)該是一個(gè)向上彎彎的曲線，指數(shù)越大函數(shù)值就越大，所以應(yīng)該至少比 1 大。

閃客：非常好，你現(xiàn)在已經(jīng)找到了 e^0.1 的一個(gè)近似值，就是 1，而且還能確定 e^0.1應(yīng)該是一個(gè)比 1 要大的數(shù)。這已經(jīng)是一個(gè)非常大的突破了！

小宇：真的假的，這好像還挺顯然的。

切線更近

閃客：的確，下面我們就一點(diǎn)一點(diǎn)往下探索，你能不能再找一個(gè)比 1 更大一些的下限值呢？

小宇：額，這好像有點(diǎn)難，但我覺(jué)得，應(yīng)該也可以比 1.01 大吧，實(shí)在不行就 1.00001。不過(guò)我瞎蒙的。

閃客：沒(méi)關(guān)系，我給你一個(gè)小動(dòng)圖，看看能不能啟發(fā)你。

小宇：??！我明白了，剛剛我們的估算太保守了，f(x) = e^x的曲線一定是在 g(x) = 1 的上方，但我們可以往上傾斜一下這條線，讓這條線更接近 e^x 但又始終在其下方，這樣我們估算出的值應(yīng)該就更大一些了！

閃客：沒(méi)錯(cuò)，你想想看如何傾斜這條線，才能盡可能實(shí)現(xiàn)你的這種效果呢？

小宇：我知道了，是切線！切線依然永遠(yuǎn)比 e^x 要小，而且是最大程度的傾斜了，再往上斜一點(diǎn)的話就可能比 e^x 大了。

閃客：沒(méi)錯(cuò)，這就是個(gè)很直觀的描述了，你再想想看，這條切線的方程你能求出來(lái)嗎？

小宇：這個(gè)簡(jiǎn)單，就是讓這條線和 e^x 在 0 點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值一樣！因?yàn)?e^x 在 0 點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值是 1，所以很容易算出這條切線的方程！

閃客：沒(méi)錯(cuò)，這樣新的下限值也就很容易算出來(lái)了，也就是 g(0.1) = 1.1，我說(shuō)得對(duì)嗎？

小宇：是的！足足提高了 0.1！太厲害了！

曲線更更近

閃客：現(xiàn)在我們來(lái)重新梳理一下思緒。其實(shí)上面的過(guò)程，換個(gè)角度想，可以理解為兩個(gè)函數(shù)分別從 0 點(diǎn)出發(fā)到 0.1 或者更遠(yuǎn)的地方。那么怎么盡可能保證，你的這個(gè)函數(shù)和 f(x) = e^x 這個(gè)函數(shù)盡可能一樣呢？

小宇：明白了，按照剛剛的思路，那最起碼應(yīng)該先保證兩者在 0 處的函數(shù)值一樣，也就是讓他們?cè)谕黄鹋芫€上。

閃客：沒(méi)錯(cuò)，繼續(xù)說(shuō)。

小宇：在這個(gè)的基礎(chǔ)上，應(yīng)該保證這兩個(gè)函數(shù)在 0 點(diǎn)處的變化率一樣，即導(dǎo)數(shù)相同。也就是讓他們?cè)谕黄鹋芫€上以相同的速度往前跑。

閃客：OK，這就得到了我們剛剛所說(shuō)的切線。那你再想想看，為什么他們倆的起跑線一樣，起跑速度也一樣，但是兩者仍然不一樣呢？

小宇：哦我明白了，因?yàn)?f(x) = e^x 的變化率是越來(lái)越大的，而 g(x) = 1 + x 的變化率一直保持不變。也就是說(shuō)其中一個(gè)在加速跑，越跑越快！

閃客：沒(méi)錯(cuò)，所以我們不但要保證它們的變化率（速度）一樣，還得保證它們變化率的變化率（加速度）一樣，也即二階導(dǎo)一樣！

小宇：原來(lái)如此！不過(guò) g(x) = 1 + x 的二階導(dǎo)好像永遠(yuǎn)等于 0，不可能和 e^x 一樣，這可怎么辦？

閃客：沒(méi)關(guān)系，再增加一項(xiàng)咯，你看看下面這個(gè)函數(shù)。

小宇：哦明白了！增加了一個(gè)二次項(xiàng)，那么二階導(dǎo)就無(wú)法把它完全導(dǎo)沒(méi)。而且上面這個(gè)函數(shù)的二階導(dǎo)是 1，剛好和 e^x 的二階導(dǎo)完全一樣！

閃客：嘿嘿是的，我直接幫你算好了，正常應(yīng)該是算一下這個(gè)系數(shù) a 的。

小宇：明白，詳略得當(dāng)！下面不勞你費(fèi)心了，我畫(huà)一下函數(shù)圖像看看！

閃客：嗯，這個(gè)圖畫(huà)的很棒！可以看到，新的函數(shù)確實(shí)比之前更逼近了！那接下來(lái)是不是不用我說(shuō)你也知道我要說(shuō)啥啦？

小宇：是的！接下來(lái)我們就讓它們的 3 階導(dǎo)、4 階導(dǎo)、5 階導(dǎo)一直相等下去，那么就可以無(wú)限逼近了！

閃客：沒(méi)錯(cuò)！

小宇：我太牛了！

發(fā)現(xiàn)規(guī)律

閃客：好了，剛剛我們是直接憑感覺(jué)找到的一些列函數(shù)，那我們現(xiàn)在整理一下，看看能不能找到規(guī)律。

小宇：沒(méi)問(wèn)題，我來(lái)說(shuō)吧！其實(shí)我們剛剛是在用多項(xiàng)式函數(shù)來(lái)逼近，通用的形式是下面這個(gè)樣子，并且它們的各階導(dǎo)數(shù)只與對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)有關(guān)，這是個(gè)很神奇且方便的地方！

閃客：沒(méi)錯(cuò)！我們其實(shí)就想找一個(gè)上面這樣的多項(xiàng)式函數(shù)，讓它的函數(shù)圖像和 e^x 貼得非常近，最起碼在 0 點(diǎn)的附近是這樣的。

小宇：是的，而且我們剛剛分析和嘗試過(guò)了，讓兩個(gè)函數(shù)貼得非常近，就相當(dāng)于讓兩個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)處的函數(shù)值一樣，1 階導(dǎo)一樣，2 階導(dǎo)一樣，3 階導(dǎo)也一樣，等等等。

閃客：是的，這是一件很神奇的事情，兩個(gè)函數(shù)一樣，居然可以描述成函數(shù)值與各階導(dǎo)一樣。函數(shù)值和各階導(dǎo)數(shù)值，似乎可以描述一個(gè)函數(shù)的樣子。

小宇：這太神奇了，我們即便完全不知道函數(shù)表達(dá)式是什么，但只要知道了僅僅一個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值和各階導(dǎo)數(shù)值，就可以幾乎精確地知道這個(gè)函數(shù)長(zhǎng)什么樣子了！

閃客：是的！那回到我們的主線，如何讓這個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)和 f(x) = e^x 在 0 點(diǎn)附近一樣呢？

小宇：就像剛剛說(shuō)的，讓 g(x) 和 f(x) 在 0 點(diǎn)處的函數(shù)值和各階導(dǎo)數(shù)值一樣！

閃客：沒(méi)錯(cuò)！而且你也發(fā)現(xiàn)了，這個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)的 n 階導(dǎo)數(shù)只和 n 次項(xiàng)系數(shù)有關(guān)，然后 e^x 的各階導(dǎo)數(shù)都是 e^x 本身不變。這計(jì)算起來(lái)可真是太方便了！

小宇：對(duì)呀！我已經(jīng)算好了！把它們都代入回 g(x) 里就得出了

這個(gè)函數(shù)圖像和 f(x) = e^x是非常近似的，所以計(jì)算 e^0.1 可以通過(guò)計(jì)算 g(0.1) 來(lái)得到答案，算的項(xiàng)數(shù)越多應(yīng)該越精確！

閃客：沒(méi)錯(cuò)！如果 n 趨向于無(wú)窮大時(shí)，g(x) 甚至可以和 e^x 完全相同。但如果只計(jì)算到有限的一個(gè) n 次項(xiàng)，那后面的項(xiàng)可以當(dāng)做 xⁿ 的高階無(wú)窮小量，記為 o(xⁿ)，所以就可以寫(xiě)為：

把 e^x 換成更一般的函數(shù) f(x) 就是：

這就是函數(shù) f(x) 在 0 點(diǎn)處的 泰勒展開(kāi)式，也叫 f(x) 的 麥克勞林公式。

小宇：哇，原來(lái)這就是泰勒公式呀！

閃客：還沒(méi)完，你想想看還有哪里不對(duì)勁？

泰勒公式登場(chǎng)

小宇：哦我知道了，剛剛我們算 e^x 的泰勒展開(kāi)式，是通過(guò)在 0 點(diǎn)處的各階導(dǎo)數(shù)值來(lái)計(jì)算的系數(shù)，這是因?yàn)?e^x 在零點(diǎn)處的各階導(dǎo)數(shù)值非常好算，都等于 1。

閃客：是的。

小宇：那如果有的函數(shù)是在另一個(gè)點(diǎn)，比如在 x₀ 處更好計(jì)算各階導(dǎo)數(shù)，這該怎么辦呢？

閃客：你問(wèn)到點(diǎn)上了。其實(shí)，上面在 0 點(diǎn)處的計(jì)算方法，完全可以擴(kuò)展到在任意一個(gè)點(diǎn) x₀ 處的計(jì)算。

小宇：我明白了！之所以在 0 處計(jì)算各階導(dǎo)數(shù)，能夠讓 2 階導(dǎo)只和 2 次項(xiàng)系數(shù)有關(guān)，3 階導(dǎo)只和 3 次項(xiàng)系數(shù)有關(guān)，是因?yàn)榈痛雾?xiàng)導(dǎo)著到著就消失了，高次項(xiàng)導(dǎo)完之后還剩下 x，那么代入 0 之后也沒(méi)了。

拿 2 階導(dǎo)來(lái)說(shuō)，就是下面這個(gè)樣子。