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寫在前面

Feature scaling，常見的提法有“特征歸一化”、“標準化”，是數(shù)據(jù)預處理中的重要技術(shù)，有時甚至決定了算法能不能work以及work得好不好。談到feature scaling的必要性，最常用的2個例子可能是：

• 特征間的單位（尺度）可能不同，比如身高和體重，比如攝氏度和華氏度，比如房屋面積和房間數(shù)，一個特征的變化范圍可能是[1000, 10000]，另一個特征的變化范圍可能是[?0.1,0.2]，在進行距離有關(guān)的計算時，單位的不同會導致計算結(jié)果的不同，尺度大的特征會起決定性作用，而尺度小的特征其作用可能會被忽略，為了消除特征間單位和尺度差異的影響，以對每維特征同等看待，需要對特征進行歸一化。

• 原始特征下，因尺度差異，其損失函數(shù)的等高線圖可能是橢圓形，梯度方向垂直于等高線，下降會走zigzag路線，而不是指向local minimum。通過對特征進行zero-mean and unit-variance變換后，其損失函數(shù)的等高線圖更接近圓形，梯度下降的方向震蕩更小，收斂更快，如下圖所示，圖片來自Andrew Ng。

對于feature scaling中最常使用的Standardization，似乎“無腦上”就行了，本文想多探究一些為什么，

• 常用的feature scaling方法都有哪些？
• 什么情況下該使用什么feature scaling方法？有沒有一些指導思想？
• 所有的機器學習算法都需要feature scaling嗎？有沒有例外？
• 損失函數(shù)的等高線圖都是橢圓或同心圓嗎？能用橢圓和圓來簡單解釋feature scaling的作用嗎？
• 如果損失函數(shù)的等高線圖很復雜，feature scaling還有其他直觀解釋嗎？

根據(jù)查閱到的資料，本文將嘗試回答上面的問題。但筆者能力有限，空有困惑，能講到哪算哪吧（微笑）。

常用feature scaling方法

在問為什么前，先看是什么。

給定數(shù)據(jù)集，令特征向量為x，維數(shù)為D，樣本數(shù)量為R，可構(gòu)成D×R的矩陣，一列為一個樣本，一行為一維特征，如下圖所示，圖片來自Hung-yi Lee pdf-Gradient Descent：

feature scaling的方法可以分成2類，逐行進行和逐列進行。逐行是對每一維特征操作，逐列是對每個樣本操作，上圖為逐行操作中特征標準化的示例。

具體地，常用feature scaling方法如下，來自wiki，

• Rescaling (min-max normalization、range scaling)：
  

將每一維特征線性映射到目標范圍[a,b]，即將最小值映射為a，最大值映射為b，常用目標范圍為[0,1]和[?1,1]，特別地，映射到[0,1]計算方式為：

• Mean normalization：
  

將均值映射為0，同時用最大值最小值的差對特征進行歸一化，一種更常見的做法是用標準差進行歸一化，如下。

• Standardization (Z-score Normalization)：

每維特征0均值1方差（zero-mean and unit-variance）。

• Scaling to unit length：
  

將每個樣本的特征向量除以其長度，即對樣本特征向量的長度進行歸一化，長度的度量常使用的是L2 norm（歐氏距離），有時也會采用L1 norm，不同度量方式的一種對比可以參見論文“CVPR2005-Histograms of Oriented Gradients for Human Detection”。

上述4種feature scaling方式，前3種為逐行操作，最后1種為逐列操作。

容易讓人困惑的一點是指代混淆，Standardization指代比較清晰，但是單說Normalization有時會指代min-max normalization，有時會指代Standardization，有時會指代Scaling to unit length。

計算方式上對比分析

 

前3種feature scaling的計算方式為減一個統(tǒng)計量再除以一個統(tǒng)計量，最后1種為除以向量自身的長度。

• 減一個統(tǒng)計量可以看成選哪個值作為原點，是最小值還是均值，并將整個數(shù)據(jù)集平移到這個新的原點位置。如果特征間偏置不同對后續(xù)過程有負面影響，則該操作是有益的，可以看成是某種偏置無關(guān)操作；如果原始特征值有特殊意義，比如稀疏性，該操作可能會破壞其稀疏性。
• 除以一個統(tǒng)計量可以看成在坐標軸方向上對特征進行縮放，用于降低特征尺度的影響，可以看成是某種尺度無關(guān)操作?？s放可以使用最大值最小值間的跨度，也可以使用標準差（到中心點的平均距離），前者對outliers敏感，outliers對后者影響與outliers數(shù)量和數(shù)據(jù)集大小有關(guān)，outliers越少數(shù)據(jù)集越大影響越小。
• 除以長度相當于把長度歸一化，把所有樣本映射到單位球上，可以看成是某種長度無關(guān)操作，比如，詞頻特征要移除文章長度的影響，圖像處理中某些特征要移除光照強度的影響，以及方便計算余弦距離或內(nèi)積相似度等。

稀疏數(shù)據(jù)、outliers相關(guān)的更多數(shù)據(jù)預處理內(nèi)容可以參見scikit learn-5.3. Preprocessing data。

從幾何上觀察上述方法的作用，圖片來自CS231n-Neural Networks Part 2: Setting up the Data and the Loss，zero-mean將數(shù)據(jù)集平移到原點，unit-variance使每維特征上的跨度相當，圖中可以明顯看出兩維特征間存在線性相關(guān)性，Standardization操作并沒有消除這種相關(guān)性。

可通過PCA方法移除線性相關(guān)性（decorrelation），即引入旋轉(zhuǎn)，找到新的坐標軸方向，在新坐標軸方向上用“標準差”進行縮放，如下圖所示，圖片來自鏈接，圖中同時描述了unit length的作用——將所有樣本映射到單位球上。

當特征維數(shù)更多時，對比如下，圖片來自youtube，

總的來說，歸一化/標準化的目的是為了獲得某種“無關(guān)性”——偏置無關(guān)、尺度無關(guān)、長度無關(guān)……當歸一化/標準化方法背后的物理意義和幾何含義與當前問題的需要相契合時，其對解決該問題就有正向作用，反之，就會起反作用。所以，“何時選擇何種方法”取決于待解決的問題，即problem-dependent。 

feature scaling 需要還是不需要

下圖來自data school-Comparing supervised learning algorithms，對比了幾個監(jiān)督學習算法，最右側(cè)兩列為是否需要feature scaling。

下面具體分析一下。 

什么時候需要feature scaling？

• 涉及或隱含距離計算的算法，比如K-means、KNN、PCA、SVM等，一般需要feature scaling，因為：

zero-mean一般可以增加樣本間余弦距離或者內(nèi)積結(jié)果的差異，區(qū)分力更強，假設(shè)數(shù)據(jù)集集中分布在第一象限遙遠的右上角，將其平移到原點處，可以想象樣本間余弦距離的差異被放大了。在模版匹配中，zero-mean可以明顯提高響應結(jié)果的區(qū)分度。

就歐式距離而言，增大某個特征的尺度，相當于增加了其在距離計算中的權(quán)重，如果有明確的先驗知識表明某個特征很重要，那么適當增加其權(quán)重可能有正向效果，但如果沒有這樣的先驗，或者目的就是想知道哪些特征更重要，那么就需要先feature scaling，對各維特征等而視之。

增大尺度的同時也增大了該特征維度上的方差，PCA算法傾向于關(guān)注方差較大的特征所在的坐標軸方向，其他特征可能會被忽視，因此，在PCA前做Standardization效果可能更好，如下圖所示，圖片來自scikit learn-Importance of Feature Scaling，

• 損失函數(shù)中含有正則項時，一般需要feature scaling：對于線性模型y=wx+b而言，x的任何線性變換（平移、放縮），都可以被w和b“吸收”掉，理論上，不會影響模型的擬合能力。但是，如果損失函數(shù)中含有正則項，如λ∣∣w∣∣^2，λ為超參數(shù)，其對w的每一個參數(shù)施加同樣的懲罰，但對于某一維特征xi而言，其scale越大，系數(shù)wi越小，其在正則項中的比重就會變小，相當于對wi懲罰變小，即損失函數(shù)會相對忽視那些scale增大的特征，這并不合理，所以需要feature scaling，使損失函數(shù)平等看待每一維特征。

• 梯度下降算法，需要feature scaling。梯度下降的參數(shù)更新公式如下，
  

E(W)為損失函數(shù)，收斂速度取決于：參數(shù)的初始位置到local minima的距離，以及學習率η的大小。一維情況下，在local minima附近，不同學習率對梯度下降的影響如下圖所示：

多維情況下可以分解成多個上圖，每個維度上分別下降，參數(shù)W為向量，但學習率只有1個，即所有參數(shù)維度共用同一個學習率（暫不考慮為每個維度都分配單獨學習率的算法）。收斂意味著在每個參數(shù)維度上都取得極小值，每個參數(shù)維度上的偏導數(shù)都為0，但是每個參數(shù)維度上的下降速度是不同的，為了每個維度上都能收斂，學習率應取所有維度在當前位置合適步長中最小的那個。下面討論feature scaling對gradient descent的作用，

• zero center與參數(shù)初始化相配合，縮短初始參數(shù)位置與local minimum間的距離，加快收斂。模型的最終參數(shù)是未知的，所以一般隨機初始化，比如從0均值的均勻分布或高斯分布中采樣得到，對線性模型而言，其分界面初始位置大致在原點附近，bias經(jīng)常初始化為0，則分界面直接通過原點。同時，為了收斂，學習率不會很大。而每個數(shù)據(jù)集的特征分布是不一樣的，如果其分布集中且距離原點較遠，比如位于第一象限遙遠的右上角，分界面可能需要花費很多步驟才能“爬到”數(shù)據(jù)集所在的位置。所以，無論什么數(shù)據(jù)集，先平移到原點，再配合參數(shù)初始化，可以保證分界面一定會穿過數(shù)據(jù)集。此外，outliers常分布在數(shù)據(jù)集的外圍，與分界面從外部向內(nèi)挪動相比，從中心區(qū)域開始挪動可能受outliers的影響更小。

• 對于采用均方誤差損失LMS的線性模型，損失函數(shù)恰為二階，如下圖所示
  



不同方向上的下降速度變化不同（二階導不同，曲率不同），恰由輸入的協(xié)方差矩陣決定，通過scaling改變了損失函數(shù)的形狀，減小不同方向上的曲率差異。將每個維度上的下降分解來看，給定一個下降步長，如果不夠小，有的維度下降的多，有的下降的少，有的還可能在上升，損失函數(shù)的整體表現(xiàn)可能是上升也可能是下降，就會不穩(wěn)定。scaling后不同方向上的曲率相對更接近，更容易選擇到合適的學習率，使下降過程相對更穩(wěn)定。


• 另有從Hessian矩陣特征值以及condition number角度的理解，詳見Lecun paper-Efficient BackProp中的Convergence of Gradient Descent一節(jié)，有清晰的數(shù)學描述，同時還介紹了白化的作用——解除特征間的線性相關(guān)性，使每個維度上的梯度下降可獨立看待。

• 文章開篇的橢圓形和圓形等高線圖，僅在采用均方誤差的線性模型上適用，其他損失函數(shù)或更復雜的模型，如深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，損失函數(shù)的error surface可能很復雜，并不能簡單地用橢圓和圓來刻畫，所以用它來解釋feature scaling對所有損失函數(shù)的梯度下降的作用，似乎過于簡化，見Hinton vedio-3.2 The error surface for a linear neuron。

• 對于損失函數(shù)不是均方誤差的情況，只要權(quán)重w與輸入特征x間是相乘關(guān)系，損失函數(shù)對w的偏導必然含有因子x，w的梯度下降速度就會受到特征x尺度的影響。理論上為每個參數(shù)都設(shè)置上自適應的學習率，可以吸收掉x尺度的影響，但在實踐中出于計算量的考慮，往往還是所有參數(shù)共用一個學習率，此時x尺度不同可能會導致不同方向上的下降速度懸殊較大，學習率不容易選擇，下降過程也可能不穩(wěn)定，通過scaling可對不同方向上的下降速度有所控制，使下降過程相對更穩(wěn)定。

• 對于傳統(tǒng)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，對輸入做feature scaling也很重要，因為采用sigmoid等有飽和區(qū)的激活函數(shù)，如果輸入分布范圍很廣，參數(shù)初始化時沒有適配好，很容易直接陷入飽和區(qū)，導致梯度消失，所以，需要對輸入做Standardization或映射到[0,1]、[?1,1]，配合精心設(shè)計的參數(shù)初始化方法，對值域進行控制。但自從有了Batch Normalization，每次線性變換改變特征分布后，都會重新進行Normalization，似乎可以不太需要對網(wǎng)絡(luò)的輸入進行feature scaling了？但習慣上還是會做feature scaling。

什么時候不需要Feature Scaling？

與距離計算無關(guān)的概率模型，不需要feature scaling，比如Naive Bayes；

與距離計算無關(guān)的基于樹的模型，不需要feature scaling，比如決策樹、隨機森林等，樹中節(jié)點的選擇只關(guān)注當前特征在哪里切分對分類更好，即只在意特征內(nèi)部的相對大小，而與特征間的相對大小無關(guān)。

小結(jié)

這篇文章寫得十分艱難，一開始以為蠻簡單直接，但隨著探索的深入，冒出的問號越來越多，打破了很多原來的“理所當然”，所以，在寫的過程中不停地做加法，很多地方想解釋得盡量直觀，又不想照搬太多公式，但自己的理解又不夠深刻，導致現(xiàn)在敘述這么冗長，希望以后在寫文時能更專注更精煉。

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