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數(shù)學算法俱樂部

日期?：?2022年02月12日?? ? ??

正文共?：10551字

來源?：?高數(shù)變簡單

本文主要是想通過簡單易懂且兼顧嚴謹性的方式來介紹如何從有理數(shù)過渡到實數(shù)。文章稍長，但看完后你至少會明白如下幾個關鍵問題：

無理數(shù)或?qū)崝?shù)的定義；
實數(shù)集為什么是連續(xù)的、實數(shù)集里的數(shù)為什么可以和數(shù)軸上的點一一對應；
無理數(shù)的獨特性質(zhì)；
無理數(shù)為什么也滿足有理數(shù)的運算法則和運算性質(zhì)（如乘法結合律、分配律等）；

另外，本文引證了一些英文敘述，看不懂并無大礙，理解我的中文敘述才是重點。

第一部分從有理數(shù)集到連續(xù)的實數(shù)集

首先我們來看如何把所有的有理數(shù)表示在一條直線上。當在一條水平直線上選定代表0和1的點之后（0在1的左邊），把0和1間的距離叫作單位長度，在1的右邊每隔一個單位長度就取一個點，一直無止境地進行下去，把這些新標示出來的點從左到右依次用來代表2，3，4......這些正整數(shù)，在0的左邊每隔一個單位長度就取一個點，一直無止境地進行下去，把這些新標示出來的點從右到左依次用來代表-1，-2，-3，......這些負整數(shù)，這樣我們就在這條直線上找到了代表每個整數(shù)（分母為1的有理數(shù)）的點，可以通過尺規(guī)作圖來完成這種構造。每個有理數(shù)都可以p/q這種形式唯一表示，這里p是正整數(shù)，并且p和q沒有比1大的公因子，為了在這條直線上標出代表分母q大于1的有理數(shù)的點，我們只需把每個單位長度的區(qū)間進行q等分（尺規(guī)作圖可以做到這一點），那么每一個分點就都代表一個分母為q的有理數(shù)。顯然每個有理數(shù)都可以用這種方法在這條直線上找到代表它的那個點，可稱這些點為"有理點"，但是一個很重要的事實是——并非這條直線上的所有點都是有理點，比如直角邊為單位長度的等腰直角三角形，如果用圓規(guī)以其斜邊長為半徑，代表0的點為圓心畫圓的話，那么圓弧與這條直線的交點就不會與任何有理點重合¹。

證明：設其斜邊長度為l，那么根據(jù)勾股定理有

，如果那個交點是有理點，那么l就應該是一個有理數(shù)，則l可以用p/q這種形式唯一表示，即l=q，按規(guī)定p和q沒有比1大的公因子，把l換成p/q后有(p/q)^2=2，接下來我們將導出與此相悖的結論出來。稍作變換得到

，那么p^2就是偶數(shù)了，顯然p也必須是偶數(shù)，便有

，p0是整數(shù)，把前面等式的p換作

后有

，即

，這說明q^2是偶數(shù)，顯然q也必須是偶數(shù)，這就證明了p和q有公因子2，這與前面的"p和q沒有比1大的公因子"這個規(guī)定矛盾，而造成這種矛盾的起因就是我們一開始假設那個交點是有理點，所以數(shù)軸上的點并非都有有理數(shù)與之對應，可稱沒有有理數(shù)與之對應的點為"無理點"，很容易能在數(shù)軸上構造出無數(shù)多個無理點出來。

顯然，如果我們需要用數(shù)來表示所有線段的長度的話，那么我們必須接受下面這條事實：水平直線上的每個無理點都應該要有唯一的非有理數(shù)與之對應，可稱這個數(shù)為"無理數(shù)"，并且如果一個無理點在另外一點的右邊（或左邊），那么與這個無理點對應的無理數(shù)大于（或小于）與那個別的點對應的數(shù)。可把有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)，把這條每個點都對應唯一一個實數(shù)的直線稱為數(shù)軸，這樣實數(shù)就和數(shù)軸上的點一一對應了。另外需要注意的是并非每個無理數(shù)都可以用尺規(guī)作圖這種方式找出其在這條直線上所對應的點²。

直線是連續(xù)的，其連續(xù)性表現(xiàn)出了這樣的性質(zhì)³：如果把一條水平直線上的所有點分成左右兩個部分，左邊這部分的每一點都在右邊這部分的每一點的左邊，那么有且僅有一個點能造成這種分割，這個點本身可以歸為左邊這部分的最后一點或右邊這部分的起點。這條性質(zhì)是由德國數(shù)學家戴德金（Richard Dedekind）提出的，他認為這條性質(zhì)是一個明顯的事實，無需也無法被證明，它能夠刻畫直線的連續(xù)性，它是直線之所以連續(xù)的本質(zhì)表現(xiàn)，應將其看作一條公理⁴，可稱其為直線連續(xù)性公理（line continuity axiom）。需要說明的一點是這條公理默認運用了"直線上兩個不同點間存在無數(shù)多個不同點"這條性質(zhì)，因為如果至少有兩個不同點可以把直線分成同樣的左邊和右邊兩部分，那么這兩個點間的那無數(shù)多個點既不屬于左邊的部分也不屬于右邊的部分，基于此，公理中才說"有且僅有一個點能造成這種分割"。

因為實數(shù)集里的實數(shù)可以鋪滿直線并且和直線上的點一一對應，直線具有連續(xù)性，那么這個實數(shù)集也應該具備相應的連續(xù)性。Dedekind從直線連續(xù)性公理得到啟示，認為實數(shù)集的連續(xù)性應該表現(xiàn)出這樣的性質(zhì)：如果把實數(shù)集內(nèi)的所有數(shù)分成兩部分A1和A2，以至于A1內(nèi)的每個數(shù)都小于A2內(nèi)的每個數(shù)，那么有且僅有一個數(shù)能產(chǎn)生這個分割，這個數(shù)本身可以歸為A1這部分的最大數(shù)或A2這部分的最小數(shù)⁵。實數(shù)集是連續(xù)的，所以也稱實數(shù)集是數(shù)的連續(xù)體，英文number continuum⁶，亦譯作"數(shù)的連續(xù)統(tǒng)"。上面這條性質(zhì)可稱為數(shù)的連續(xù)體公理（number continuum axiom），因為這條性質(zhì)是受直線連續(xù)性公理啟示而提出來的，所以也應將它看成是一個給定的事實，無需證明。

至此，你也許會高呼："好了！我們終于有數(shù)的連續(xù)體了！"但是，我們還是必須得摸清楚這個連續(xù)體內(nèi)的情況、搞清楚它具備的其它性質(zhì)才行，不然空有一個概念而不懂其性質(zhì)，那么我們也就無法運用數(shù)的連續(xù)體，最終也只不過是讓這個概念形同虛設，無所用場。

有需要的讀者請先去了解實數(shù)集的這些概念以便繼續(xù)閱讀：上界、最小上界（亦作"上確界"，英文the least upper bound）、下界、最大下界（亦作"下確界"，英文the greater lower bound）。

要學習的首條性質(zhì)很重要，它使得實數(shù)集區(qū)別于有理數(shù)集------非空有上界的實數(shù)集在實數(shù)集內(nèi)有最小上界（上確界）⁷，稱為實數(shù)集的最小上界性質(zhì)（Least upper bound property of R）。

證明：設A是RR的非空真子集且有上界，那么比A內(nèi)每個數(shù)都大的實數(shù)組成的集合C，余下的實數(shù)組成的集合B內(nèi)的每個數(shù)都小于C內(nèi)的每個數(shù)，根據(jù)數(shù)的連續(xù)體公理可知有且僅有一個實數(shù)c能把實數(shù)集分成B和C兩部分，c是B的最小上界。另外因為集合B內(nèi)的每個數(shù)都不比A內(nèi)每個數(shù)都大，所以A的上界就是B的上界，又因為A?B，所以B的上界就是A的上界，綜上可知集合A和集合B有共同的最小上界c，所以有上界的集合A在實數(shù)集內(nèi)有最小上界。

反過來看，如果非空有上界的實數(shù)集A在實數(shù)集內(nèi)有最小上界c的話，那么不大于c的數(shù)組成的集合B包含集合A，大于c的數(shù)組成集合C，這樣實數(shù)集就被分成了集合B和C，B里的數(shù)都小于C里的數(shù)，顯然c就是唯一產(chǎn)生這個分割的數(shù)。可見，數(shù)的連續(xù)體公理和實數(shù)集最小上界性質(zhì)可互相導出彼此，也就是它們是等價的，當然，如果我們以實數(shù)集最小上界性質(zhì)作為公理的話，那么"數(shù)的連續(xù)體公理"可以由其推得，就應該把它改名作"數(shù)的連續(xù)體定理"了，因為我們要求公理是不需要證明的。忽略稱謂上區(qū)別的問題，我們應該記住的是這兩條性質(zhì)是等價的，很多書上都以實數(shù)集最小上界性質(zhì)作為刻畫實數(shù)集連續(xù)的根本性質(zhì)，其也被稱為完整性（或完備性）公理（或定理）（completeness axiom 或completeness theorem），同樣，至于叫它公理還是定理取決于是否將這條性質(zhì)看作是給定的事實。

非空有上界的有理數(shù)集在有理數(shù)集內(nèi)就未必有最小上界，此處舉例說明。因為沒有平方等于2的有理數(shù)，所以可把有理數(shù)分成所有負有理數(shù)和平方小于2的非負有理數(shù)組成的集合A1={x∈Q|x^2<2?or?x<0}和所有平方大于2的正有理數(shù)組成的集合A2={x∈Q|x^2>2?and?x>0}，如果我們在有理數(shù)集內(nèi)討論A1的最小上界的話，那么因為此前文章我們已經(jīng)證明過中無最大數(shù)，所以這個最小上界只可能在A2內(nèi)，如果在A2內(nèi)有A1的最小上界c的話，那么根據(jù)已經(jīng)證明過的A2中無最小數(shù)可知A2內(nèi)有比c更小的有理數(shù)b，b仍然大于A1內(nèi)的所有數(shù)，所以A1在A2內(nèi)無最小上界，總之A1在有理數(shù)集內(nèi)都沒有最小上界，由此可見有上界的有理數(shù)集在有理數(shù)集內(nèi)不一定有最小上界，所以說實數(shù)集的最小上界性質(zhì)使得實數(shù)集區(qū)別于有理數(shù)集，而造成這種狀況的根本原因還是實數(shù)集是連續(xù)的而有理數(shù)集卻不然。

根據(jù)實數(shù)集的最小上界性質(zhì)我們可以證明實數(shù)集的阿基米德性質(zhì)（Archimedean Property for Real Numbers）：如果x和y都是任意正實數(shù)，那么存在正整數(shù)n使得nx > y.

可用反證法來證明：假設nx > y對于任何正整數(shù)n都不成立，那么也就是說集合A={nx|n∈N}有上界y。根據(jù)實數(shù)集的最小上界性質(zhì)可知A有最小上界z，因為x是正數(shù)，所以z-x就不是A的上界，那么也就存在正整數(shù)m使得mx>z-x，該式變形可得（m+1）x>z，也就是A中的元素（m+1）x大于A的最小上界，這是不可能的，所以原結論得證⁸。

根據(jù)實數(shù)集的阿基米德性質(zhì)可得到如下兩條性質(zhì)：

1）對于任意正實數(shù)x，總存在正整數(shù)n使得1/n<x。

將不等式兩邊都乘以n得到1實數(shù)集內(nèi)即無最大正數(shù)也無最小正數(shù)。

2）如果a和b都是實數(shù)并且a<b，那么必存在有理數(shù)r使得a<r<b。⁹

證明：1和b?a都是正實數(shù)，那么必存在正整數(shù)n使得n(b?a)>1。因為差值大于1的兩實數(shù)間必然存在整數(shù)m，所以有nb>m>na，稍作變形得到b>m/n>a，顯然m/n是有理數(shù)，所以任何兩個不相等的實數(shù)間存在有理數(shù)，重復應用這個的方法我們還可以得到任何兩個不相等的實數(shù)間存在無數(shù)個有理數(shù)這個結論(請讀者思考其中的證明細節(jié))。這個證明過程用到了實數(shù)的乘法分配律，即：n(b?a)=nb?na，需要讀者接受分配律是對的此證明才成立。

上面說到的實數(shù)集的性質(zhì)都很關鍵，請讀者留意！首次學習微積分（國內(nèi)稱為"高等數(shù)學"）或數(shù)學分析的學生掌握上面這些性質(zhì)，然后再加上大學之前的數(shù)學課程里學習到的和實數(shù)相關的不等關系和算術運算法則，對于學習這兩門課程就差不多了，下面的內(nèi)容是為想要進一步了解實數(shù)理論的學生寫的。

第二部分定義實數(shù)的方式

現(xiàn)在我們來回顧一下實數(shù)集的得出過程。從有理數(shù)集擴展到實數(shù)集需要引入的是一類新的數(shù)——無理數(shù)，所以問題就歸結到如何去得出無理數(shù)、如何去定義無理數(shù)。不同于本文中的無理數(shù)的定義方式——與一個無理點唯一對應的數(shù)，現(xiàn)在比較盛行的無理數(shù)或?qū)崝?shù)的定義方法分別是德國數(shù)學家康托（Georg Cantor）的和Dedekind的方法。因為無理數(shù)集被視為實數(shù)集的一部分，所以當有了實數(shù)的定義方法時，無理數(shù)的定義方法自然就可以用實數(shù)的定義方法來代替，因此下文主要說的是實數(shù)的定義方法。

Cantor對實數(shù)的定義¹⁰是：對于任意給定的有理數(shù)，如果一個各項都是有理數(shù)的數(shù)列去除有限多項外的其它無限多項間的差值都小于這個有理數(shù)，那么這個數(shù)列就是一個實數(shù)。

現(xiàn)在大多數(shù)教材普遍認為Dedekind對實數(shù)的定義¹¹是：每一個有理數(shù)集的分割就是一個實數(shù)。有理數(shù)集分割的定義是：把有理數(shù)集分成兩個非空集合A1和A2，以至對于a1∈A1和a2∈A2，有a1<a2，Dedekind把這種分法稱為分割（Cut），后人稱其為有理數(shù)集的Dedekind分割（Dedekind Cut），記為A1|A2。我認為這種實數(shù)定義與Dedekind的原意有所不同，后文會詳細說明原因。

當你第一次看到這些實數(shù)定義時，你也許會像我一樣痛苦地感嘆道：這是什么東西？如此怪異，完全看不懂啊！我們?yōu)槭裁葱枰@種令人費解的定義？按照他們這些定義來描述實數(shù)，那么實數(shù)到底是個什么東西啊？完全沒有了我們一開始對實數(shù)認識的樣子了。之前我們可以直觀地認為實數(shù)就是數(shù)軸上的第一個點，但現(xiàn)在，實數(shù)從我們自認為最熟悉的數(shù)變成了難以捉摸、令人費解的怪物！

實數(shù)的概念（包括有理數(shù)和無理數(shù)）在這兩種定義出現(xiàn)之前就已經(jīng)存在了，但是因為一直沒有對實數(shù)有個明確的定義，以至于這種模糊的概念造成了很多矛盾，比如曾經(jīng)一度認為實數(shù)集里包含所謂的"無窮小數(shù)"和"無窮大數(shù)"。上面這兩種實數(shù)定義提出的目的是為了給實數(shù)一個嚴格的定義，為實數(shù)的存在建立嚴謹?shù)幕A，進而排出之前模糊不清的實數(shù)概念所帶來的矛盾。總之，這兩種實數(shù)定義是數(shù)學家在對實數(shù)有了基本的直觀的認識之后對實數(shù)進行嚴謹?shù)恼降恼碇蟮漠a(chǎn)物¹²，這些定義為的是嚴謹，至于是否讓初學者覺得簡單易學并不是這些定義主要關心的問題，關于數(shù)學知識的嚴謹性與可理解性、可學性的探討讀者可以看看Morris Kline的 Calculus: An Intuitive and Physical Approach(Second Edition)的preface to the first edition部分，作者對微積分的教學和它的嚴謹性間的關系有著非常有見地的認識！另外一個讓初學者覺得這兩種實數(shù)定義難以理解的主要原因是這兩種定義都用拋棄幾何的方法去定義實數(shù)，進而給出的實數(shù)定義比較抽象和怪異。德國數(shù)學家Hermann Hankel對此評論說："這類拋棄了幾何連續(xù)體（直線）啟示而定義出來的實數(shù)盡管有了嚴謹?shù)幕A，但卻是極端晦澀難懂、令人反感畏懼的人造物，每個人都有權利去懷疑這些定義的科學價值。"原話¹³：Every attempt to treat the irrational numbers formally and without the concept of (geometric) magnitude must lead to the most abstruse and troublesome artificialities, which, even if they can be carried through with complete rigor, as we have every right to doubt, do not have a higher scientific value.

對于大多數(shù)想要弄清楚"實數(shù)集為什么是連續(xù)的"、"實數(shù)和數(shù)軸上的點為什么是一一對應的"的初學者來說，這種拋棄幾何直觀后給實數(shù)的定義已經(jīng)把他們對實數(shù)的印象搞得面目全非了，如果還要按照這種路子走下去，那么后續(xù)的學習很大程度上只是應用這些定義或性質(zhì)去機械地證明一些結論，對于理解背后的數(shù)學思想基本沒什么實質(zhì)性的幫助。德國數(shù)學家Paul du Bois-Reymond也表達了和我同樣的觀點——剝離了實數(shù)和幾何連續(xù)體（直線）關系后建立的分析學將會使得這門學科淪為折騰符號的玩意兒。原話¹⁴：A purely formalistic-literal framework of analysis which is what the separation of number from magnitude amounts to, would degrade this science to a mere game of symbols.

不管這些定義的創(chuàng)建者避免使用幾何方法來定義實數(shù)的原因為何，一個很迫切很關鍵的需求是：我們需要每條線段的長度都要能用一個數(shù)去代表去衡量，換句話說就是要有一個數(shù)集以至于這里面的每個數(shù)和直線上每個點一一對應，這是一種迫切的要求，這必然使得我們把"要有一個數(shù)集以至于這里面的每個數(shù)和直線上的每個點一一對應"當作是一條必須成立的性質(zhì)——把它看作是一條公理，這個數(shù)集就是實數(shù)集，實際上即便是上面這兩種定義的提出者Cantor和Dedekind——他們用拋棄了幾何的方法去定義實數(shù)，但是為了在"數(shù)（特指實數(shù)集）"和"形（特指直線）"之間建立聯(lián)系也不得不引入這條公理¹⁵，后世稱之為Cantor-Dedekind公理¹⁶------直線上的每個點和和實數(shù)集里的實數(shù)一一對應。正是基于數(shù)和形之間無法割舍的緊密關系，也因為拋棄幾何后對實數(shù)下的定義非常抽象和怪異、不易理解，所以本文的無理數(shù)的定義方式并沒有拋棄幾何，而是把無理數(shù)定義為與一個無理點唯一對應的數(shù)。

第三部分回顧Dedekind對實數(shù)的定義方式

現(xiàn)在我們來看看Dedekind對實數(shù)的定義方式，這有助于我們進一步了解實數(shù)的性質(zhì)。Dedekind是從上文提到的直線連續(xù)性公理出發(fā)，以有理數(shù)集為基礎來構造數(shù)的連續(xù)體的。他首先引入了一種有理數(shù)集的分割方式——把有理數(shù)集Q分成兩個非空集合A1和A2，也就有A1∪A2=Q，另外對于a1∈A1和a2∈A2，有a1<a2。后人將這種分割方式命名為有理數(shù)集的Dedekind分割（Dedekind Cut），記為A1|A2。

有理數(shù)集的Dedekind分割A1|A2不外乎就是這3種情況¹⁷：

1）A1中有最大數(shù)，A2中無最小數(shù)，如A1={x∈Q|x≤a,a∈Q}，A2={x∈Q|x>a,a∈Q}；

2）A1中無最大數(shù)，A2中有最小數(shù)，如A1={x∈Q|x<b,b∈Q}，A2={x∈Q|x≥b,b∈Q}；

3）A1中無最大數(shù)，A2中無最小數(shù)；

"A1中有最大數(shù)a1，A2中有最小數(shù)a2"的情況是不可能的，否則(a1+a2)/2便是一個不在A1∪A2內(nèi)的有理數(shù)，這與A1∪A2=Q相悖。

上面的第三種情況是值得我們仔細思考的。第三種分割可能存在嗎？存在！上文提到的所有負有理數(shù)和平方小于2的非負有理數(shù)組成的集合A1={x∈Q|x^2<2?or?x<0}和所有平方大于2的正有理數(shù)組成的集合A2={x∈Q|x^2>2?and?x>0}構成的分割A1|A2就符合第三種情況。實際上這種分割有無數(shù)多個，比如讓D是任意一個正整數(shù)并且D不是正整數(shù)¹⁸，那么A1={x∈Q|x^2<D?or?x<0}和A2={x∈Q|x^2>D?and?x>0}構成的分割同樣是A1中無最大數(shù)，A2中無最小數(shù)。第一種情況下的分割可以看作是由A1里的a產(chǎn)生的，第二種情況下的分割可以看作是由A2里的b產(chǎn)生的，至于第三種情況下的分割，對于任何一個A1或A2中的數(shù)在同一集合內(nèi)都有比它大或小的有理數(shù)，所以任何一個A1或A2中的數(shù)都不可能產(chǎn)生這種情況下的分割，因此這個分割不是由有理數(shù)來產(chǎn)生，Dedekind說這個分割是由一個新的數(shù)——無理數(shù)來產(chǎn)生的，他的原話是這么說的¹⁹：Whenever, then, we have to do with a cut A1|A2?produced by no rational number, we create a new, an irrational number α, which we regard as completely defined by this cut?A1|A2; we shall say that the number α corresponds to this cut, or that it produces this cut. From now on, therefore, to every definite cut there corresponds a definite rational or irrational number, and we regard two numbers as different or unequal always and only when they correspond to essentially different cuts.

Dedekind從有理數(shù)集出發(fā)，通過定義分割的方式最終得到的只不過是有理數(shù)集和有理數(shù)集的分割而已，并沒有所謂的"無理數(shù)"這種新概念，如果有的話，那么這個概念也只不過是"不是由有理數(shù)產(chǎn)生的分割"的別名罷了，或者說無理數(shù)就是這種分割，并不能說分割是由無理數(shù)產(chǎn)生的，如果硬是要這么說那就默認假定了"無理數(shù)"和"不是由有理數(shù)產(chǎn)生的分割"是不同的概念了，那么這個"無理數(shù)"又是哪里來的呢？這個問題在1888年就由德國數(shù)學家Heinrich Weber寫信告訴過Dedekind，但Dedekind回答說：我定義的無理數(shù)并不是"沒有有理數(shù)產(chǎn)生的分割"，而是造成這種分割的數(shù)，正如有理數(shù)可以產(chǎn)生有理數(shù)集的分割并且產(chǎn)生分割的有理數(shù)本身并不是一個分割那樣，我們完全有智力可以創(chuàng)造出這種區(qū)別于分割的無理數(shù)出來"------取自Morris Kline的書²⁰，原文：In fact Heinrich Weber told Dedekind this, and in a letter of 1888 Dedekind replied that the irrational number α is not the cut itself but is something distinct, which corresponds to the cut and which brings about the cut. Likewise, while the rational numbers generate cuts, they are not the same as the cuts. He says we have the mental power to create such concepts.

"我們完全有智力可以創(chuàng)造出這種區(qū)別于分割的無理數(shù)出來"，Dedekind的這種辯護猶如空中樓閣，他要創(chuàng)造區(qū)別于"不是由有理數(shù)產(chǎn)生的分割"的"無理數(shù)"出來是完全沒有基礎的。另外一個我發(fā)現(xiàn)的問題是：如果按照Dedekind的話說"不是由有理數(shù)產(chǎn)生的分割是由一個無理數(shù)產(chǎn)生的"，Dedekind在他的著作里并沒有說明為什么這個分割不可能是由多個無理數(shù)產(chǎn)生的。正是因為前面第一個問題，所以現(xiàn)在的數(shù)學教材里介紹用有理數(shù)集的Dedekind分割構建實數(shù)集時都拒絕"不是由有理數(shù)產(chǎn)生的分割是由無理數(shù)產(chǎn)生的"這種說法，而是把實數(shù)集看成是所有有理數(shù)分割的集合，在這里面無理數(shù)是"不是由有理數(shù)產(chǎn)生的分割"，而有理數(shù)的定義也早已不是"可以寫成pq形式的數(shù)"了，而是一個"由有理數(shù)產(chǎn)生的有理數(shù)集的分割"，可見這種定義雖然嚴謹了實數(shù)理論，但是卻讓實數(shù)變得好不自然、比較抽象，完全顛覆了我們一開始對實數(shù)的認識，希望深入了解這種定義方式的讀者可去看D.C. Goldrei的 Classic Set Theory: For Guided Independent Study，從第二章看起。本文的無理數(shù)的構造方法和Dedekind的方法一樣都是受到了直線連續(xù)公理的啟示而生，所不同的是本文沒有把無理數(shù)看作是產(chǎn)生"沒有有理數(shù)產(chǎn)生的有理數(shù)集分割"的數(shù)，而是把無理數(shù)規(guī)定為與無理點一一對應的數(shù)，這樣的好處是即保留了我們對實數(shù)的直觀認識，也避免了Dedekind的方法受到的質(zhì)詢。

另外，從本文無理數(shù)的定義角度來看，如果一個有理數(shù)集的分割A1|A2不是由有理數(shù)產(chǎn)生的，那么這個分割確實是由一個無理數(shù)產(chǎn)生的，理由如下：比A1內(nèi)每個數(shù)都大的實數(shù)組成的集合C（顯然C包含A2），余下的實數(shù)組成的集合B（顯然B包含A1）內(nèi)的每個數(shù)都小于C內(nèi)的每個數(shù)，根據(jù)數(shù)的連續(xù)體公理可知有且僅有一個實數(shù)c能把實數(shù)集分成B和C兩部分，c是B的最小上界（顯然c是個無理數(shù)，否則與“分割A1|A2不是由有理數(shù)產(chǎn)生的”相悖）。另外因為集合B內(nèi)的每個數(shù)都不比A1內(nèi)的每個數(shù)都大，所以A1的上界就是B的上界，又因為A1?B，所以B的上界就是A1的上界，綜上可知集合A1和集合B有共同的最小上界c，可見雖然A1在有理數(shù)集內(nèi)沒有最小上界，但是在實數(shù)集內(nèi)就有最小上界。上面我們只是說到有且僅有一個無理數(shù)c能把實數(shù)集分成B和C兩部分，c這個無理數(shù)也能把有理數(shù)集分作A1和A2這兩個集合，那么還有沒有異于c的其它無理數(shù)可以產(chǎn)生同樣的有理數(shù)集的分割呢？如果至少有一個異于c的無理數(shù)d能產(chǎn)生這個有理數(shù)集的分割的話，那么根據(jù)之前已經(jīng)證明過的結論知道必有有理數(shù)落在c和d之間，這與c和d能產(chǎn)生相同的有理數(shù)集分割相悖，所以有且僅有一個無理數(shù)能產(chǎn)生不是由有理數(shù)產(chǎn)生的有理數(shù)集分割。用同樣的方法也可以證明那些由有理數(shù)產(chǎn)生的分割也是僅由唯一的那個有理數(shù)產(chǎn)生的。總之，產(chǎn)生有理數(shù)集分割的實數(shù)是唯一的——不可能由兩個不同的實數(shù)產(chǎn)生相同的有理數(shù)集分割，換句話說有理數(shù)集的分割與實數(shù)是一一對應的。

沒有有理數(shù)來產(chǎn)生的分割的存在，從數(shù)的連續(xù)體公理角度來看，這揭示了有理數(shù)集是有空隙的。因為在實數(shù)集內(nèi)有且僅有一個無理數(shù)c能產(chǎn)生這個分割，可以說A1和A2間的空隙僅能容納c這個無理數(shù)或者說A1和A2間的空隙被c這個無理數(shù)給填起來了，顯然c大于A1內(nèi)的每個有理數(shù)同時又小于A2內(nèi)的每個有理數(shù)，也可以說A1和A2這兩個集合可以界定c這個無理數(shù)。歸根結底，這個特性還是由數(shù)的連續(xù)體或?qū)崝?shù)集的連續(xù)性所致。

我們已經(jīng)知道兩個有理數(shù)p1/q1和p2/q2相加的結果被定義成(p1q2+p2q1)/q1q2，但是因為無理數(shù)不能寫成p/q這種形式，那么在實數(shù)集里無理數(shù)和另外一個有理數(shù)或無理數(shù)的運算結果該怎么定義呢？我們已經(jīng)知道每個無理數(shù)或?qū)崝?shù)都有唯一的有理數(shù)集分割與之對應，所以可以通過有理數(shù)集的分割去探討無理數(shù)或?qū)崝?shù)的相關問題。設a是產(chǎn)生有理數(shù)集分割A1|A2的實數(shù)，b是產(chǎn)生有理數(shù)集分割B1|B2的實數(shù)，那么對于任意一個來自A1內(nèi)的有理數(shù)a1和任意一個來自B1內(nèi)的有理數(shù)b1，有a≥a1和b≥b1，那么a+b≥a1+b1,即a+b是C1={a1+b1|a1?A1,b1?B1}的上界，把其余比C1內(nèi)每個有理數(shù)都大的有理數(shù)組成的集合記為C2，這樣就得到了有理數(shù)集的分割C1|C2，在實數(shù)集內(nèi)有且僅有一個實數(shù)c能夠造成這個分割。另外，因為a+b是C1的上界，如果我們能證明a+b不大于C2內(nèi)的任何有理數(shù)，那么也就證明了a+b是產(chǎn)生分割C1|C2的數(shù)，就有a+b=c，也就是說我打算用這種構造分割C1|C2的方式定義a+b的和。現(xiàn)在用反證法來證明"a+b不大于C2內(nèi)的任何有理數(shù)"：假設C2內(nèi)存在有理數(shù)c0以至于a+b>c0，那么根據(jù)上面證明過的"任何兩個不相等的實數(shù)間存在無數(shù)個有理數(shù)"這點可知在0和a+b?c0之間存在有理數(shù)q，即a+b?c0>q>0，進一步可得到(a?q/2)+(b?q/2)>c0，因為a是A1的最小上界，b是B1的最小上界，那么在A1和B1內(nèi)必然分別存在有理數(shù)a0和b0滿足a>a0>(a?q/2)和b>b0>(b?q/2)，進而有a+b>a0+b0>(a?q/2)+(b?q/2)>c0，從中竟然得出C2內(nèi)的數(shù)c0小于C1內(nèi)的數(shù)a0+b0，這與分割C1|C2的定義相悖，所以a+b不大于C2內(nèi)的任何有理數(shù)，因此a+b是產(chǎn)生分割C1|C2的數(shù)，就有a+b=c。通過構造分割C1|C2的方式，一方面我們定義了a+b的和，另外還可以通過c與C1和C2內(nèi)的有理數(shù)大小關系來感知c的大小——c是不小于C1內(nèi)的每個有理數(shù)同時也不大于C2內(nèi)的每個有理數(shù)的唯一實數(shù)。應用類似的方法還可以定義實數(shù)aa和bb的乘法并且最終證明有理數(shù)的運算法則和運算性質(zhì)（特指如下幾條）同樣適用于實數(shù)。

希望深入了解的讀者可以去看David French Belding和Kevin J. Mitchell的Foundations of Analysis, 2nd Edition,可從19頁看起，或D.C. Goldrei的?Classic Set Theory: For Guided Independent Study，從第二章看起，閱讀時要注意本文與這些書所不同的是并沒有把實數(shù)看作是有理數(shù)集的分割。

沒有有理數(shù)來產(chǎn)生A1={x∈Q|x^2<2?or?x<0}和A2={x∈Q|x^2>2?and?x>0}組成的分割A1|A2，但有唯一的實數(shù)c可以產(chǎn)生這個分割，那么c^2=2嗎？一個實數(shù)的平方只有小于或等于或大于2三種情況，如果能證明c^2<2和c^2>2都會引出矛盾，那么c^2必然等于2。這里c顯然是個正數(shù)，為了簡化問題，我們就在正數(shù)范圍內(nèi)討論本問題。如何引出矛盾呢？假設c^2<2時，如果能證明存在有理數(shù)q使得c^2<q^2<2，這就會造成A1內(nèi)的有理數(shù)q大于A1的最小上界c這種矛盾，那么如何證明存在這樣的有理數(shù)qq呢？如果有辦法可以證明存在著比c還大的實數(shù)d滿足c^2<d^2<2，那么通過"任何兩個不相等的實數(shù)間存在無數(shù)個有理數(shù)"這條結論就可以知道存在有理數(shù)q滿足c<q<d，再根據(jù)"如果0<q<d，那么q^2<d^2"這個不等性質(zhì)可知q^2<2，可見，問題最終可歸結到滿足條件的實數(shù)d是否存在。首先因為c^2<2，只要選定足夠大的正整數(shù)n就可以讓c+1/n變得比c稍大一點點，那么我們很自然就會想：是不是存在正整數(shù)n使得實數(shù)d=c+1/n以至于d^2=(c+1/n)^2<2呢？因為d^2=(c+1/n)^2=c^2+2c/n+1/n^2<c^2+2c/n+1/n=c^2+1/n*(2c+1)，如果能證明存在正整數(shù)n使得c^2+1/n*(2c+1)<2，那么d^2<2自然得證。對c^2+1/n*(2c+1)<2稍作變形可得1/n<(2?c^2)/(2c+1)，現(xiàn)在問題變成了是否存在正整數(shù)n使得1/n<(2?c^2)/(2c+1)，因為c是正數(shù)且c^2<2，所以(2?c^2)/(2c+1)是正數(shù)，根據(jù)"對于任意正實數(shù)x，總存在正整數(shù)n使得1/n<x"得知存在這樣的正整數(shù)n，也就存在正整數(shù)n使得實數(shù)d=c+1/n以至于d^2=(c+1/n)^2<2，而d的存在，根據(jù)前面的分析知道是對假設c^2<2會產(chǎn)生矛盾的有力證據(jù)，用同樣的方法也可以證明c^2>2時也會產(chǎn)生矛盾，所以A1={x∈Q|x^2<2?or?x<0}和A2={x∈Q|x^2>2?and?x>0}組成的分割A1|A2是由正實數(shù)c產(chǎn)生的并且c^2=2，可把c記為2，從這里可以看到2確實存在我們定義出的實數(shù)集里。

以有理數(shù)集為基礎通過簡單易懂的方式構建一個數(shù)的連續(xù)體（實數(shù)集），并讓讀者明白幾條實數(shù)的關鍵性質(zhì)，這就是本文的主要使命。【完】

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