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數(shù)學(xué)算法俱樂(lè)部

日期： 2022年07月26日

正文共：4261字

來(lái)源：數(shù)學(xué)通報(bào)

撰文 | Robert E. Greene（加州大學(xué)洛杉磯分校數(shù)學(xué)系教授）

翻譯 | 張思文（北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院）

校對(duì) | 李建華（北京師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院）

我很高興接受丘成桐的建議。他建議我寫(xiě)一些我在伯克利大學(xué)讀研究生的記憶，尤其是與陳教授有關(guān)的記憶，即便在私下，我們都是這樣子稱呼陳省身教授的（其他人僅僅被簡(jiǎn)稱為他們的姓氏，如果是很熟悉的人則直接稱呼名字。但是陳教授通常被稱為陳省身教授，如標(biāo)題那樣。）對(duì)我而言，那些年發(fā)生了很多重要的事情，但我?guī)缀醪粫?huì)重述我個(gè)人生活和絕大多數(shù)我個(gè)人的數(shù)學(xué)進(jìn)展。盡管如此，為了方便讀者了解背景，在開(kāi)頭，我需要講一講我是如何來(lái)到伯克利大學(xué)的。

在1964年秋季，我在密歇根州立大學(xué)完成了本科的學(xué)習(xí)，開(kāi)始了在普林斯頓大學(xué)的研究生學(xué)習(xí)。但是，1964年夏季，我住在加利福尼亞舊金山灣區(qū)，準(zhǔn)確地講是在海沃市，同時(shí)，我作為暑期學(xué)生員工在利弗莫爾市的勞倫斯放射實(shí)驗(yàn)室工作。（我曾經(jīng)游歷過(guò)一些國(guó)家實(shí)驗(yàn)室，那年夏天之前，曾經(jīng)在阿貢國(guó)家實(shí)驗(yàn)室和橡樹(shù)嶺國(guó)家實(shí)驗(yàn)室工作過(guò)。）然后，我愛(ài)上了加利福尼亞。另外，當(dāng)我本科畢業(yè)時(shí)，我想研究代數(shù)拓?fù)洌撩杂谒镜男问街小．?dāng)我意識(shí)到代數(shù)拓?fù)湓谒母呒?jí)形式，更多是代數(shù)學(xué)，而非拓?fù)鋵W(xué)，我的興趣轉(zhuǎn)移到幾何學(xué)。（我過(guò)去不是，現(xiàn)在也不是一個(gè)天生的代數(shù)家，在思考時(shí)，我更傾向于構(gòu)圖繪畫(huà)而非形式推導(dǎo)。）當(dāng)時(shí)，普林斯頓在拓?fù)鋷缀晤I(lǐng)域非常優(yōu)秀，但是只有極其少的幾何學(xué)。

不僅從個(gè)人理由，而且從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的理由，轉(zhuǎn)去伯克利大學(xué)都是自然而然的事情。我有一個(gè)可轉(zhuǎn)移的美國(guó)科學(xué)基金會(huì)的研究生獎(jiǎng)學(xué)金，伯克利大學(xué)有義務(wù)接受我的轉(zhuǎn)學(xué)申請(qǐng)。在過(guò)去，我這種情況比現(xiàn)在常見(jiàn)。所以，在1965年，我將全部個(gè)人物品裝進(jìn)一輛1955年生產(chǎn)的奧爾茲莫比爾牌汽車(chē)，就像許多東部人所做的那樣，向著加利福尼亞這片樂(lè)土出發(fā)了——此后，我一直住在那里，除了在柯朗研究所做博士后的那兩年。

這被證明是一個(gè)明智的選擇。但是從更廣闊歷史的視角來(lái)看，1965年早期的伯克利大學(xué)正陷于政治的混亂中，對(duì)我而言，卻是來(lái)到了微分幾何的世界，這個(gè)世界超出幾何學(xué)研究生所能期待的一切。很少有可能出現(xiàn)在如此關(guān)鍵的時(shí)刻或地方，它提供了最重要的機(jī)會(huì)，在幾何學(xué)活躍的時(shí)期創(chuàng)造了一切。

因我是在那一年中間到達(dá)的，事情發(fā)展緩慢。盡管如此，我的第一個(gè)學(xué)期，1964-1965學(xué)年下學(xué)期是最讓人滿意的。我參加了代數(shù)拓?fù)涞南掳雽W(xué)年的課程，跟隨阿爾弗雷德·格雷（Alfred Gray）學(xué)習(xí)了譜序列。（我已經(jīng)了解這個(gè)科目，不僅僅從格雷獨(dú)特的視角，我也自學(xué)了很多。）我有曾有幸聽(tīng)過(guò)萊斯特·杜賓（Lester Dubins）講授的測(cè)度理論，一門(mén)優(yōu)秀的課程，又一次涵蓋了我本科學(xué)習(xí)過(guò)的知識(shí)，但又是從一個(gè)真正獨(dú)特的視角。（在第一天，杜賓聲稱他無(wú)意講授測(cè)度理論，因?yàn)槿魏稳硕伎梢詮囊槐鞠嚓P(guān)的書(shū)上學(xué)到。因此，他很快就開(kāi)始討論巴拿赫-塔克斯悖論，隨后綜合講授局部緊群。）但是，就像所有對(duì)幾何學(xué)感興趣的研究生一樣，我迫切地渴望與陳教授學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)。

下學(xué)期，機(jī)會(huì)來(lái)了，陳教授要講一門(mén)幾何課程，當(dāng)然，教室里擠滿了人。幾乎沒(méi)有空間能坐下來(lái)。學(xué)生高度興奮。不論政治化的伯克利大學(xué)外的人們是什么態(tài)度（“不要相信任何一個(gè)超過(guò)三十歲的人”，“入學(xué)，苦學(xué)，然后輟學(xué)”），我們恰恰相反，極其渴望坐在大師腳邊充分獲益，這位大師是最偉大的大師之一。

這段經(jīng)歷是令人驚奇的。經(jīng)過(guò)一些鋪墊，陳省身開(kāi)始講授他自己在示性類(lèi)上的工作。他內(nèi)心謙遜，例如，他經(jīng)常將陳氏示性類(lèi)稱為“所謂的陳氏示性類(lèi)”。但同時(shí)，這段經(jīng)歷是讓人贊嘆的，因?yàn)樗刻靵?lái)上課，都在黑板上寫(xiě)滿長(zhǎng)長(zhǎng)的微分計(jì)算，而這些微分需要微分形式的變換。而他從來(lái)不帶任何筆記，從來(lái)不停頓去思考任何難以捉摸的結(jié)論，從來(lái)不犯錯(cuò)誤。整個(gè)課堂展開(kāi)得如此美妙流暢，就好像我們?cè)陂喿x一本編寫(xiě)完美的書(shū)。

后來(lái)，一個(gè)非常有勇氣的學(xué)生在課后問(wèn)陳教授，他是如何做到這些的。他平靜地答道，事實(shí)上，他開(kāi)始發(fā)展這個(gè)主題時(shí)就沒(méi)有寫(xiě)下任何東西。他說(shuō)，就好像他頭腦里有一塊黑板，相關(guān)的知識(shí)就寫(xiě)在那上面并永遠(yuǎn)存在。這樣說(shuō)是如此的文雅，沒(méi)有讓人感到一點(diǎn)不謙虛，這僅僅是對(duì)于他那無(wú)法效仿的教學(xué)風(fēng)格的一個(gè)簡(jiǎn)單介紹。然后，他用稍感遺憾的口吻說(shuō)，“如今，當(dāng)我在思考一些新東西時(shí)，有時(shí)不得不使用鉛筆和白紙。”

這件事情讓學(xué)生震驚，而這樣說(shuō)有些輕描淡寫(xiě)。在這不久之后的某天，我問(wèn)伍教授（H. H. W（編者注：伍鴻熙）隨后我跟隨他完成了博士論文），在微分幾何的研究中是否需要這樣的計(jì)算能力，同時(shí)，我表示如果真需要這樣的計(jì)算能力，那么我應(yīng)該轉(zhuǎn)去其他方向。他輕聲笑著表示，“如果一個(gè)人必須像陳教授那樣才能成為一個(gè)微分幾何學(xué)家，那么幾乎沒(méi)有人能成為微分幾何學(xué)家，”同時(shí)他向我保證那種計(jì)算能力不是必須的。

那時(shí)，在1965-66學(xué)年，我與威爾弗里德·施密德（Wilfried Schmid）和其他領(lǐng)域的研究生住在一間公寓，我們一共有五個(gè)人，都在尋找論文導(dǎo)師。威爾弗里德向我描述他是如何尋找論文導(dǎo)師的，他決定向每一個(gè)在伯克利大學(xué)研究復(fù)流形的人詢問(wèn)他們是如何看待復(fù)射影空間的曲率，尤其是怎樣才能最好的計(jì)算全截面曲率。對(duì)于相對(duì)基礎(chǔ)物質(zhì)的前提假設(shè)的最自然優(yōu)雅的方法，所有人都有不同的觀點(diǎn)。威爾弗里德最贊成菲利普·格里菲斯（Phillip Griffith）的方法，并決定請(qǐng)菲利普作為他的導(dǎo)師，結(jié)果如他所愿。

雖然，我贊同陳教授關(guān)于復(fù)流形的思想，那時(shí)，他有相當(dāng)多的學(xué)生——八個(gè)，據(jù)我回憶——我對(duì)于要在如此多人的團(tuán)體中維護(hù)自己，甚至僅僅是要求加入感到羞怯，沒(méi)有自信。而我同樣認(rèn)同也許甚至更贊成伍教授處理復(fù)流形的方法。特別地，伍教授對(duì)于施密德的復(fù)射影問(wèn)題的答復(fù)是最讓我心悅臣服的一個(gè)答案（正則標(biāo)準(zhǔn)坐標(biāo)）。我推斷伍教授和我將在數(shù)學(xué)中取得一致，這一點(diǎn)事后被證明是正確的。二十世紀(jì)六十、七十年代，我倆一起寫(xiě)了一系列的論文，到八十年代我們成為好朋友，從那時(shí)到現(xiàn)在，不論是私人交往，還是數(shù)學(xué)研究，我們都是好朋友。

雖然，我不是陳教授的博士生，我，像任何學(xué)習(xí)幾何學(xué)的人，不僅僅在伯克利大學(xué)，而且在世界各地，都受到了他的影響與指引。伯克利大學(xué)的整個(gè)幾何學(xué)圍繞在他的周邊。令人激動(dòng)的一部分是，似乎每個(gè)人都到伯克利大學(xué)展示他們的結(jié)論，不論這些結(jié)論與陳教授個(gè)人明確的研究興趣是否相關(guān)。據(jù)我回憶是這樣子的。德立夫·格羅莫爾（Detlef Gromoll）作為米勒（Miller）學(xué)者來(lái)到伯克利大學(xué)（1966年），向我們介紹他解決球體微分Pinching問(wèn)題的方法。值得引人注意的是，盡管格羅莫爾的專(zhuān)業(yè)方向是某種測(cè)地幾何，不論那時(shí)還是現(xiàn)在，都與陳教授自己的興趣相差很遠(yuǎn)，對(duì)于格羅莫爾，就像其他幾何學(xué)家，來(lái)到伯克利大學(xué)也是自然而然的。陳教授創(chuàng)造了這樣一個(gè)環(huán)境，幾何學(xué)在各個(gè)方向都能蓬勃發(fā)展，任何幾何學(xué)。

與陳教授有了多方面的接觸后，我發(fā)現(xiàn)一個(gè)令人驚奇的地方，陳教授有非同尋常的感覺(jué)，他能感知到數(shù)學(xué)領(lǐng)域中接下來(lái)會(huì)出現(xiàn)什么，數(shù)學(xué)將向何方發(fā)展。例如，這個(gè)思想可以追溯到龐加萊（Poincare），實(shí)超曲面中局部正則微分同胚映射的參數(shù)的個(gè)數(shù)取決于給定的階數(shù)，而這些參數(shù)的個(gè)數(shù)比超群面本身參數(shù)個(gè)數(shù)要小，因此，不是所有的（嚴(yán)格偽凸）超曲面可以局部雙全純等價(jià)。但是這個(gè)觀測(cè)法要求在費(fèi)弗曼（Fefferman）的結(jié)果上添加額外的特征，他的結(jié)論是一個(gè)具有光滑邊界的嚴(yán)格偽凸區(qū)域到另外一個(gè)的雙全純映射可以光滑地延拓到邊界上。費(fèi)弗曼的結(jié)論發(fā)表于1974年，幾乎與陳省身和莫澤（Jürgen K. Moser）關(guān)于雙全純邊界不變的工作是同時(shí)的。這種對(duì)歷史的期待，就像過(guò)去的情況，似乎是不可思議的。如果沒(méi)有費(fèi)弗曼的結(jié)論，陳氏—莫澤理論在復(fù)分析中的重要性就要欠缺一些。

盧瑟福（Rutherford）被問(wèn)道為什么他總在核物理的前沿時(shí)，他答道：“哦，我引起了浪潮，不是嗎？”陳教授從來(lái)不會(huì)如此不謙虛地去說(shuō)這樣子的話。然而，這種對(duì)比會(huì)在不經(jīng)意間進(jìn)入你的腦海。陳教授不僅僅是偉大的領(lǐng)導(dǎo)者，而且他看待問(wèn)題的角度也是如此令人驚奇。

返回到個(gè)人層面，1969年，我離開(kāi)伯克利大學(xué)來(lái)到柯朗研究所，成為一名博士后。那時(shí)，伍教授和我定期在一起工作，所以在一次搬家后，我與陳教授有了密切的接觸，自從伍教授和他經(jīng)常一起談?wù)撐覀兊墓ぷ鳌ｊ惤淌趯?duì)伍教授和我一同研究的正曲率有孔表面的剛度系數(shù)非常感興趣。他在為1974年版大英百科全書(shū)撰寫(xiě)的微分幾何綜述中，善意地提到了這件事情。這極大提高了我青年時(shí)期的信心。（我九歲的侄女評(píng)論道，這沒(méi)有什么了不起，因?yàn)槲疫€沒(méi)有個(gè)人專(zhuān)欄。她的話讓我保持清醒。）

結(jié)束了在柯朗研究所的兩年，我成為加州大學(xué)洛杉磯分校的教員，因此有機(jī)會(huì)經(jīng)常訪問(wèn)伯克利大學(xué)，尤其是自從伍教授和我繼續(xù)我們的合作。因此，我再一次與陳教授有了更直接的接觸。伯克利大學(xué)的幾何學(xué)研究依然廣泛。大量的訪問(wèn)者表示，對(duì)于幾何學(xué)家而言，“條條大路通向伯克利”。我還記得家米哈伊爾·格羅莫夫（Mikhail Gromov）的到來(lái)，他剛離開(kāi)蘇聯(lián)，在美國(guó)的首次公開(kāi)露面。格羅莫夫做了一場(chǎng)精彩而令人激動(dòng)的演講，但是它不夠透徹。在演講的結(jié)尾，黑板上寫(xiě)有一個(gè)單獨(dú)的符號(hào)，一個(gè)大寫(xiě)的Ｖ（對(duì)于流形而言，是法國(guó)風(fēng)格）。陳教授站起來(lái)——在這種場(chǎng)合下，他是主持人——在熱烈的掌聲和感謝格羅莫夫精彩的演講后，帶著主持人的機(jī)敏和親切，他說(shuō)道，“您能為我們簡(jiǎn)單地寫(xiě)一個(gè)定理嗎？”

陳教授也曾親切地提到我自己在幾何學(xué)方面的工作，那些工作格羅莫夫也是完全贊同的。這整件事情充分地證明陳教授的文雅，他能用它引領(lǐng)并鼓勵(lì)年輕的學(xué)者，就像他經(jīng)常做的那樣。

1969年秋季，當(dāng)我仍在柯朗研究所時(shí)，另一位數(shù)學(xué)家來(lái)到伯克利大學(xué)，不是作為訪問(wèn)者，而是作為一名新入學(xué)的研究生。伯克利大學(xué)有很多研究生，新生通常不這么引人注目。但是丘成桐是個(gè)例外。我希望伍教授和邱教授都不要在意，我將引用一封信，這封信是丘成桐作為新生報(bào)到后不久，伍教授寫(xiě)給在紐約的我。伍教授寫(xiě)道，“一位來(lái)自中國(guó)的年輕人到達(dá)了，我相信他將改變微分幾何的面貌”。

幾乎沒(méi)有預(yù)言比這個(gè)更有遠(yuǎn)見(jiàn)了。我當(dāng)時(shí)很吃驚，但是伍教授非凡的話語(yǔ)變成了質(zhì)樸的事實(shí)。僅僅六年之后，1976年秋季，丘成桐訪問(wèn)加州大學(xué)洛杉磯分校時(shí)，我倆的辦公室緊挨著。一天，在我們辦公室附近的走廊里，他碰見(jiàn)我說(shuō)，“我完成了卡拉比猜想的證明。你想看一下嗎？”我依然使用著那間辦公室，當(dāng)我早晨來(lái)工作時(shí)，時(shí)常回憶起這一幕，它可以作為數(shù)學(xué)的一塊里程碑，在此地，幾何學(xué)的整體方向改變了，并且數(shù)學(xué)一系列的可能性被釋放了。（如果加利福尼亞在德國(guó)，那么，這里將有一塊紀(jì)念碑或者可能一個(gè)雕像！）幾何學(xué)的新時(shí)代已經(jīng)來(lái)臨。然而，有人依然認(rèn)為是陳教授。畢竟，卡拉比猜想是有關(guān)陳氏類(lèi)的。數(shù)學(xué)家世代交替，但是，偉大的數(shù)學(xué)是永恒的。

本文原文發(fā)表于《數(shù)學(xué)通報(bào)》2011年第50卷第6期。原文將University of California, Berkeley譯為伯克萊大學(xué)，本文依據(jù)現(xiàn)在常用譯法改為伯克利。

— THE END —

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