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發(fā)展歷史

定義

亞里士多德把數(shù)學(xué)定義為“數(shù)量科學(xué)”，這個(gè)定義直到18世紀(jì)。從19世紀(jì)開(kāi)始，數(shù)學(xué)研究越來(lái)越嚴(yán)格，開(kāi)始涉及與數(shù)量和量度無(wú)明確關(guān)系的群論和投影幾何等抽象主題，數(shù)學(xué)家和哲學(xué)家開(kāi)始提出各種新的定義。這些定義中的一些強(qiáng)調(diào)了大量數(shù)學(xué)的演繹性質(zhì)，一些強(qiáng)調(diào)了它的抽象性，一些強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)中的某些話(huà)題。即使在專(zhuān)業(yè)人士中，對(duì)數(shù)學(xué)的定義也沒(méi)有達(dá)成共識(shí)。數(shù)學(xué)是否是藝術(shù)或科學(xué)，甚至沒(méi)有一致意見(jiàn)。[8]許多專(zhuān)業(yè)數(shù)學(xué)家對(duì)數(shù)學(xué)的定義不感興趣，或者認(rèn)為它是不可定義的。有些只是說(shuō)，“數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)家做的。”

數(shù)學(xué)定義的三個(gè)主要類(lèi)型被稱(chēng)為邏輯學(xué)家，直覺(jué)主義者和形式主義者，每個(gè)都反映了不同的哲學(xué)思想學(xué)派。都有嚴(yán)重的問(wèn)題，沒(méi)有人普遍接受，沒(méi)有和解似乎是可行的。

數(shù)學(xué)邏輯的早期定義是本杰明·皮爾士（Benjamin Peirce）的“得出必要結(jié)論的科學(xué)”（1870）。在Principia Mathematica，Bertrand Russell和Alfred North Whitehead提出了被稱(chēng)為邏輯主義的哲學(xué)程序，并試圖證明所有的數(shù)學(xué)概念，陳述和原則都可以用符號(hào)邏輯來(lái)定義和證明。數(shù)學(xué)的邏輯學(xué)定義是羅素的“所有數(shù)學(xué)是符號(hào)邏輯”（1903）。

直覺(jué)主義定義，從數(shù)學(xué)家L.E.J. Brouwer，識(shí)別具有某些精神現(xiàn)象的數(shù)學(xué)。直覺(jué)主義定義的一個(gè)例子是“數(shù)學(xué)是一個(gè)接著一個(gè)進(jìn)行構(gòu)造的心理活動(dòng)”。直觀主義的特點(diǎn)是它拒絕根據(jù)其他定義認(rèn)為有效的一些數(shù)學(xué)思想。特別是，雖然其他數(shù)學(xué)哲學(xué)允許可以被證明存在的對(duì)象，即使它們不能被構(gòu)造，但直覺(jué)主義只允許可以實(shí)際構(gòu)建的數(shù)學(xué)對(duì)象。

正式主義定義用其符號(hào)和操作規(guī)則來(lái)確定數(shù)學(xué)。 Haskell Curry將數(shù)學(xué)簡(jiǎn)單地定義為“正式系統(tǒng)的科學(xué)”。[33]正式系統(tǒng)是一組符號(hào)，或令牌，還有一些規(guī)則告訴令牌如何組合成公式。在正式系統(tǒng)中，公理一詞具有特殊意義，與“不言而喻的真理”的普通含義不同。在正式系統(tǒng)中，公理是包含在給定的正式系統(tǒng)中的令牌的組合，而不需要使用系統(tǒng)的規(guī)則導(dǎo)出。

結(jié)構(gòu)

許多如數(shù)、函數(shù)、幾何等的數(shù)學(xué)對(duì)象反應(yīng)出了定義在其中連續(xù)運(yùn)算或關(guān)系的內(nèi)部結(jié)構(gòu)．?dāng)?shù)學(xué)就研究這些結(jié)構(gòu)的性質(zhì)，例如：數(shù)論研究整數(shù)在算數(shù)運(yùn)算下如何表示．此外，不同結(jié)構(gòu)卻有著相似的性質(zhì)的事情時(shí)常發(fā)生，這使得通過(guò)進(jìn)一步的抽象，然后通過(guò)對(duì)一類(lèi)結(jié)構(gòu)用公理描述他們的狀態(tài)變得可能，需要研究的就是在所有的結(jié)構(gòu)里找出滿(mǎn)足這些公理的結(jié)構(gòu)．因此，我們可以學(xué)習(xí)群、環(huán)、域和其他的抽象系統(tǒng)．把這些研究（通過(guò)由代數(shù)運(yùn)算定義的結(jié)構(gòu)）可以組成抽象代數(shù)的領(lǐng)域．由于抽象代數(shù)具有極大的通用性，它時(shí)常可以被應(yīng)用于一些似乎不相關(guān)的問(wèn)題，例如一些古老的尺規(guī)作圖的問(wèn)題終于使用了伽羅瓦理論解決了，它涉及到域論和群論．代數(shù)理論的另外一個(gè)例子是線(xiàn)性代數(shù)，它對(duì)其元素具有數(shù)量和方向性的向量空間做出了一般性的研究．這些現(xiàn)象表明了原來(lái)被認(rèn)為不相關(guān)的幾何和代數(shù)實(shí)際上具有強(qiáng)力的相關(guān)性．組合數(shù)學(xué)研究列舉滿(mǎn)足給定結(jié)構(gòu)的數(shù)對(duì)象的方法．

空間

空間的研究源自于歐式幾何．三角學(xué)則結(jié)合了空間及數(shù)，且包含有非常著名的勾股定理、三角函數(shù)等。現(xiàn)今對(duì)空間的研究更推廣到了更高維的幾何、非歐幾何及拓?fù)鋵W(xué)．?dāng)?shù)和空間在解析幾何、微分幾何和代數(shù)幾何中都有著很重要的角色．在微分幾何中有著纖維叢及流形上的計(jì)算等概念．在代數(shù)幾何中有著如多項(xiàng)式方程的解集等幾何對(duì)象的描述，結(jié)合了數(shù)和空間的概念；亦有著拓?fù)淙旱难芯浚Y(jié)合了結(jié)構(gòu)與空間．李群被用來(lái)研究空間、結(jié)構(gòu)及變化．

基礎(chǔ)

為了弄清楚數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)邏輯和集合論等領(lǐng)域被發(fā)展了出來(lái)．德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾（1845-1918）首創(chuàng)集合論，大膽地向“無(wú)窮大”進(jìn)軍，為的是給數(shù)學(xué)各分支提供一個(gè)堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，而它本身的內(nèi)容也是相當(dāng)豐富的，提出了實(shí)無(wú)窮的思想，為以后的數(shù)學(xué)發(fā)展作出了不可估量的貢獻(xiàn)．

集合論在20世紀(jì)初已逐漸滲透到了各個(gè)數(shù)學(xué)分支，成為了分析理論，測(cè)度論，拓?fù)鋵W(xué)及數(shù)理科學(xué)中必不可少的工具．20世紀(jì)初，數(shù)學(xué)家希爾伯特在德國(guó)傳播了康托爾的思想，把集合論稱(chēng)為“數(shù)學(xué)家的樂(lè)園”和“數(shù)學(xué)思想最驚人的產(chǎn)物”．英國(guó)哲學(xué)家羅素把康托的工作譽(yù)為“這個(gè)時(shí)代所能夸耀的最巨大的工作”

邏輯

數(shù)學(xué)邏輯專(zhuān)注在將數(shù)學(xué)置于一堅(jiān)固的公理架構(gòu)上，并研究此一架構(gòu)的成果．就其本身而言，其為哥德?tīng)柕诙煌陚涠ɡ淼漠a(chǎn)地，而這或許是邏輯中最廣為流傳的成果．現(xiàn)代邏輯被分成遞歸論、模型論和證明論，且和理論計(jì)算機(jī)科學(xué)有著密切的關(guān)聯(lián)性．

符號(hào)

也許中國(guó)古代的算籌是世界上最早使用的符號(hào)之一，起源于商代的占卜．

我們現(xiàn)今所使用的大部分?jǐn)?shù)學(xué)符號(hào)都是到了16世紀(jì)后才被發(fā)明出來(lái)的．在此之前，數(shù)學(xué)是用文字書(shū)寫(xiě)出來(lái)，這是個(gè)會(huì)限制住數(shù)學(xué)發(fā)展的刻苦程序．現(xiàn)今的符號(hào)使得數(shù)學(xué)對(duì)于人們而言更便于操作，但初學(xué)者卻常對(duì)此感到怯步．它被極度的壓縮：少量的符號(hào)包含著大量的訊息．如同音樂(lè)符號(hào)一般，現(xiàn)今的數(shù)學(xué)符號(hào)有明確的語(yǔ)法和難以以其他方法書(shū)寫(xiě)的訊息編碼．

特性

數(shù)學(xué)語(yǔ)言亦對(duì)初學(xué)者而言感到困難．如何使這些字有著比日常用語(yǔ)更精確的意思，亦困惱著初學(xué)者，如開(kāi)放和域等字在數(shù)學(xué)里有著特別的意思．?dāng)?shù)學(xué)術(shù)語(yǔ)亦包括如同胚及可積性等專(zhuān)有名詞．但使用這些特別符號(hào)和專(zhuān)有術(shù)語(yǔ)是有其原因的：數(shù)學(xué)需要比日常用語(yǔ)更多的精確性．?dāng)?shù)學(xué)家將此對(duì)語(yǔ)言及邏輯精確性的要求稱(chēng)為“嚴(yán)謹(jǐn)”．

嚴(yán)謹(jǐn)是數(shù)學(xué)證明中很重要且基本的一部分．?dāng)?shù)學(xué)家希望他們的定理以系統(tǒng)化的推理依著公理被推論下去．這是為了避免依著不可靠的直觀，從而得出錯(cuò)誤的“定理”或"證明"，而這情形在歷史上曾出現(xiàn)過(guò)許多的例子．在數(shù)學(xué)中被期許的嚴(yán)謹(jǐn)程度因著時(shí)間而不同：希臘人期許著仔細(xì)的論點(diǎn)，但在牛頓的時(shí)代，所使用的方法則較不嚴(yán)謹(jǐn)．牛頓為了解決問(wèn)題所作的定義，到了十九世紀(jì)才讓數(shù)學(xué)家用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆治黾罢降淖C明妥善處理。數(shù)學(xué)家們則持續(xù)地在爭(zhēng)論電腦輔助證明的嚴(yán)謹(jǐn)度．當(dāng)大量的計(jì)算難以被驗(yàn)證時(shí)，其證明亦很難說(shuō)是有效地嚴(yán)謹(jǐn)．

數(shù)量

數(shù)量的學(xué)習(xí)起于數(shù)，一開(kāi)始為熟悉的自然數(shù)及整數(shù)與被描述在算術(shù)內(nèi)的有理和無(wú)理數(shù)．

另一個(gè)研究的領(lǐng)域?yàn)槠浯笮。@個(gè)導(dǎo)致了基數(shù)和之后對(duì)無(wú)限的另外一種概念：阿列夫數(shù)，它允許無(wú)限集合之間的大小可以做有意義的比較．

簡(jiǎn)史

西方數(shù)學(xué)簡(jiǎn)史

數(shù)學(xué)的演進(jìn)大約可以看成是抽象化的持續(xù)發(fā)展，或是題材的延展．而東西方文化也采用了不同的角度，歐洲文明發(fā)展出來(lái)幾何學(xué)，而中國(guó)則發(fā)展出算術(shù)．第一個(gè)被抽象化的概念大概是數(shù)字（中國(guó)的算籌），其對(duì)兩個(gè)蘋(píng)果及兩個(gè)橘子之間有某樣相同事物的認(rèn)知是人類(lèi)思想的一大突破．除了認(rèn)知到如何去數(shù)實(shí)際物件的數(shù)量，史前的人類(lèi)亦了解如何去數(shù)抽象概念的數(shù)量，如時(shí)間—日、季節(jié)和年．算術(shù)（加減乘除）也自然而然地產(chǎn)生了．

更進(jìn)一步則需要寫(xiě)作或其他可記錄數(shù)字的系統(tǒng)，如符木或于印加人使用的奇普．歷史上曾有過(guò)許多各異的記數(shù)系統(tǒng)．

古時(shí)，數(shù)學(xué)內(nèi)的主要原理是為了研究天文，土地糧食作物的合理分配，稅務(wù)和貿(mào)易等相關(guān)的計(jì)算．?dāng)?shù)學(xué)也就是為了了解數(shù)字間的關(guān)系，為了測(cè)量土地，以及為了預(yù)測(cè)天文事件而形成的．這些需要可以簡(jiǎn)單地被概括為數(shù)學(xué)對(duì)數(shù)量、結(jié)構(gòu)、空間及時(shí)間方面的研究．

西歐從古希臘到16世紀(jì)經(jīng)過(guò)文藝復(fù)興時(shí)代，初等代數(shù)、以及三角學(xué)等初等數(shù)學(xué)已大體完備．但尚未出現(xiàn)極限的概念．

17世紀(jì)在歐洲變量概念的產(chǎn)生，使人們開(kāi)始研究變化中的量與量的互相關(guān)系和圖形間的互相變換．在經(jīng)典力學(xué)的建立過(guò)程中，結(jié)合了幾何精密思想的微積分的方法被發(fā)明．隨著自然科學(xué)和技術(shù)的進(jìn)一步發(fā)展，為研究數(shù)學(xué)基礎(chǔ)而產(chǎn)生的集合論和數(shù)理邏輯等領(lǐng)域也開(kāi)始慢慢發(fā)展．

中國(guó)數(shù)學(xué)簡(jiǎn)史

數(shù)學(xué)古稱(chēng)算學(xué)，是中國(guó)古代科學(xué)中一門(mén)重要的學(xué)科，根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)發(fā)展的特點(diǎn)，可以分為五個(gè)時(shí)期：萌芽；體系的形成；發(fā)展；繁榮和中西方數(shù)學(xué)的融合．

標(biāo)點(diǎn)

數(shù)學(xué)是一門(mén)國(guó)際性的學(xué)科，對(duì)各個(gè)方面都要求嚴(yán)謹(jǐn)．

中國(guó)規(guī)定初等及以上的數(shù)學(xué)已可以算作是科技類(lèi)文獻(xiàn)．

中國(guó)規(guī)定文獻(xiàn)類(lèi)文章句號(hào)必須用“．”，數(shù)學(xué)采用的目的一是為此，二是為了避免和下腳標(biāo)混淆，三是因?yàn)橹袊?guó)曾在國(guó)際上投稿數(shù)學(xué)類(lèi)研究報(bào)告，人家卻不采用，因?yàn)橥鈬?guó)的句號(hào)大多不是“。”．

在證明題中，∵（因?yàn)椋┖竺嬉谩埃保啵ㄋ裕┖竺嬉谩埃保谝坏来箢}中若有若干小問(wèn)，則每小問(wèn)結(jié)束接“；”，最后一問(wèn)結(jié)束用“．”，在①②③④這樣的序號(hào)后都應(yīng)用“；”表連接，最后一個(gè)序號(hào)后用“．”表結(jié)束．

公式

公式是數(shù)學(xué)重要部分。例如：x + y = z

數(shù)學(xué)分支

1:數(shù)學(xué)史2:數(shù)理邏輯與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)a:演繹邏輯學(xué)(亦稱(chēng)符號(hào)邏輯學(xué))b:證明論 (亦稱(chēng)元數(shù)學(xué))c:遞歸論d:模型論e:公理集合論f:數(shù)學(xué)基礎(chǔ)g:數(shù)理邏輯與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)其他學(xué)科3:數(shù)論a:初等數(shù)論b:解析數(shù)論c:代數(shù)數(shù)論d:超越數(shù)論e:丟番圖逼近f:數(shù)的幾何g:概率數(shù)論h:計(jì)算數(shù)論i:數(shù)論其他學(xué)科4:代數(shù)學(xué)a:線(xiàn)性代數(shù)b:群論c:域論d:李群e:李代數(shù)f:Kac-Moody代數(shù)g:環(huán)論 (包括交換環(huán)與交換代數(shù)，結(jié)合環(huán)與結(jié)合代數(shù)，非結(jié)合環(huán)與非結(jié) 合代數(shù)等)h:模論i:格論j:泛代數(shù)理論k:范疇論l:同調(diào)代數(shù)m:代數(shù)K理論n:微分代數(shù)o:代數(shù)編碼理論p:代數(shù)學(xué)其他學(xué)科5:代數(shù)幾何學(xué)6:幾何學(xué)a:幾何學(xué)基礎(chǔ)b:歐氏幾何學(xué)c:非歐幾何學(xué) (包括黎曼幾何學(xué)等)d:球面幾何學(xué)e:向量和張量分析f:仿射幾何學(xué)g:射影幾何學(xué)h:微分幾何學(xué)i:分?jǐn)?shù)維幾何j:計(jì)算幾何學(xué)k:幾何學(xué)其他學(xué)科7:拓?fù)鋵W(xué)a:點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)b:代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)c:同倫論d:低維拓?fù)鋵W(xué)e:同調(diào)論f:維數(shù)論g:格上拓?fù)鋵W(xué)h:纖維叢論i:幾何拓?fù)鋵W(xué)j:奇點(diǎn)理論k:微分拓?fù)鋵W(xué)l:拓?fù)鋵W(xué)其他學(xué)科8:數(shù)學(xué)分析a:微分學(xué)b:積分學(xué)c:級(jí)數(shù)論d:數(shù)學(xué)分析其他學(xué)科9:非標(biāo)準(zhǔn)分析10:函數(shù)論a:實(shí)變函數(shù)論b:單復(fù)變函數(shù)論c:多復(fù)變函數(shù)論d:函數(shù)逼近論e:調(diào)和分析f:復(fù)流形g:特殊函數(shù)論h:函數(shù)論其他學(xué)科11:常微分方程a:定性理論b:穩(wěn)定性理論c:解析理論d:常微分方程其他學(xué)科12:偏微分方程a:橢圓型偏微分方程b:雙曲型偏微分方程c:拋物型偏微分方程d:非線(xiàn)性偏微分方程e:偏微分方程其他學(xué)科13:動(dòng)力系統(tǒng)a:微分動(dòng)力系統(tǒng)b:拓?fù)鋭?dòng)力系統(tǒng)c:復(fù)動(dòng)力系統(tǒng)d:動(dòng)力系統(tǒng)其他學(xué)科14:積分方程15:泛函分析a:線(xiàn)性算子理論b:變分法c:拓?fù)渚€(xiàn)性空間d:希爾伯特空間e:函數(shù)空間f:巴拿赫空間g:算子代數(shù)h:測(cè)度與積分i:廣義函數(shù)論j:非線(xiàn)性泛函分析k:泛函分析其他學(xué)科16:計(jì)算數(shù)學(xué)a:插值法與逼近論b:常微分方程數(shù)值解c:偏微分方程數(shù)值解d:積分方程數(shù)值解e:數(shù)值代數(shù)f:連續(xù)問(wèn)題離散化方法g:隨機(jī)數(shù)值實(shí)驗(yàn)h:誤差分析i:計(jì)算數(shù)學(xué)其他學(xué)科17:概率論a:幾何概率b:概率分布c:極限理論d:隨機(jī)過(guò)程 (包括正態(tài)過(guò)程與平穩(wěn)過(guò)程、點(diǎn)過(guò)程等)e:馬爾可夫過(guò)程f:隨機(jī)分析g:鞅論h:應(yīng)用概率論 (具體應(yīng)用入有關(guān)學(xué)科)i:概率論其他學(xué)科18:數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)a:抽樣理論 (包括抽樣分布、抽樣調(diào)查等 )b:假設(shè)檢驗(yàn)c:非參數(shù)統(tǒng)計(jì)d:方差分析e:相關(guān)回歸分析f:統(tǒng)計(jì)推斷g:貝葉斯統(tǒng)計(jì) (包括參數(shù)估計(jì)等)h:試驗(yàn)設(shè)計(jì)i:多元分析j:統(tǒng)計(jì)判決理論k:時(shí)間序列分析l:數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)其他學(xué)科19:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)a:統(tǒng)計(jì)質(zhì)量控制b:可靠性數(shù)學(xué)c:保險(xiǎn)數(shù)學(xué)d:統(tǒng)計(jì)模擬20:應(yīng)用統(tǒng)計(jì)數(shù)學(xué)其他學(xué)科21:運(yùn)籌學(xué)a:線(xiàn)性規(guī)劃b:非線(xiàn)性規(guī)劃c:動(dòng)態(tài)規(guī)劃d:組合最優(yōu)化e:參數(shù)規(guī)劃f:整數(shù)規(guī)劃g:隨機(jī)規(guī)劃h:排隊(duì)論i:對(duì)策論亦稱(chēng)博弈論j:庫(kù)存論k:決策論l:搜索論m:圖論n:統(tǒng)籌論o:最優(yōu)化p:運(yùn)籌學(xué)其他學(xué)科22:組合數(shù)學(xué)23:模糊數(shù)學(xué)24：量子數(shù)學(xué)25:應(yīng)用數(shù)學(xué) (具體應(yīng)用入有關(guān)學(xué)科)26:數(shù)學(xué)其他學(xué)科

數(shù)學(xué)名言

外國(guó)人物

萬(wàn)物皆數(shù)．——畢達(dá)哥拉斯

幾何無(wú)王者之道．——?dú)W幾里德

數(shù)學(xué)是上帝用來(lái)書(shū)寫(xiě)宇宙的文字．——伽利略

我決心放棄那個(gè)僅僅是抽象的幾何．這就是說(shuō)，不再去考慮那些僅僅是用來(lái)練思想的問(wèn)題．我這樣做，是為了研究另一種幾何，即目的在于解釋自然現(xiàn)象的幾何．——笛卡兒（Rene Descartes 1596-1650）

數(shù)學(xué)家們都試圖在這一天發(fā)現(xiàn)素?cái)?shù)序列的一些秩序，我們有理由相信這是一個(gè)謎，人類(lèi)的心靈永遠(yuǎn)無(wú)法滲入。——?dú)W拉

數(shù)學(xué)中的一些美麗定理具有這樣的特性：它們極易從事實(shí)中歸納出來(lái), 但證明卻隱藏的極深．?dāng)?shù)學(xué)是科學(xué)之王．——高斯

這就是結(jié)構(gòu)好的語(yǔ)言的好處，它簡(jiǎn)化的記法常常是深?yuàn)W理論的源泉．——拉普拉斯(Pierre Simon Laplace 1749-1827)

如果認(rèn)為只有在幾何證明里或者在感覺(jué)的證據(jù)里才有必然，那會(huì)是一個(gè)嚴(yán)重的錯(cuò)誤．——柯西（Augustin Louis Cauchy 1789-1857）

數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于它的自由．——康托爾（Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor 1845-1918）

音樂(lè)能激發(fā)或撫慰情懷，繪畫(huà)使人賞心悅目，詩(shī)歌能動(dòng)人心弦，哲學(xué)使人獲得智慧，科學(xué)可改善物質(zhì)生活，但數(shù)學(xué)能給予以上的一切．——克萊因（Christian Felix Klein 1849-1925）

只要一門(mén)科學(xué)分支能提出大量的問(wèn)題，它就充滿(mǎn)著生命力，而問(wèn)題缺乏則預(yù)示獨(dú)立發(fā)展的終止或衰亡． ——希爾伯特（David Hilbert 1862-1943）

問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟．——保羅·哈爾莫斯（Paul Halmos 1916-2006）

時(shí)間是個(gè)常數(shù),但對(duì)勤奮者來(lái)說(shuō),是個(gè)‘變數(shù)’．用‘分’來(lái)計(jì)算時(shí)間的人比用‘小時(shí)’來(lái)計(jì)算時(shí)間的人時(shí)間多59倍．——雷巴柯夫

中國(guó)人物

事類(lèi)相推，各有攸歸，故枝條雖分而同本干知，發(fā)其一端而已．又所析理以辭，解體用圖，庶亦約而能周，通而不黷，覽之者思過(guò)半矣．——?jiǎng)⒒?/p>

遲疾之率，非出神怪，有形可檢，有數(shù)可推．——祖沖之（429-500）

新的數(shù)學(xué)方法和概念，常常比解決數(shù)學(xué)問(wèn)題本身更重要．——華羅庚

數(shù)學(xué)表達(dá)上準(zhǔn)確簡(jiǎn)潔、邏輯上抽象普適、形式上靈活多變，是宇宙交際的理想工具．——周海中

科學(xué)需要實(shí)驗(yàn)．但實(shí)驗(yàn)不能絕對(duì)精確．如有數(shù)學(xué)理論，則全靠推論，就完全正確了．這科學(xué)不能離開(kāi)數(shù)學(xué)的原因．

許多科學(xué)的基本觀念，往往需要數(shù)學(xué)觀念來(lái)表示．所以數(shù)學(xué)家有飯吃了，但不能得諾貝爾獎(jiǎng)，是自然的．?dāng)?shù)學(xué)中沒(méi)有諾貝爾獎(jiǎng)，這也許是件好事．諾貝爾獎(jiǎng)太引人注目，會(huì)使數(shù)學(xué)家無(wú)法專(zhuān)注于自己的研究．——陳省身

現(xiàn)代高能物理到了量子物理以后，有很多根本無(wú)法做實(shí)驗(yàn)，在家用紙筆來(lái)算，這跟數(shù)學(xué)家想樣的差不了多遠(yuǎn)，所以說(shuō)數(shù)學(xué)在物理上有著不可思議的力量．——丘成桐

看書(shū)和寫(xiě)作業(yè)要注意順序．我們要養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)方法，盡量回家后先復(fù)習(xí)一下當(dāng)天學(xué)習(xí)的知識(shí)，特別是所記的筆記要重點(diǎn)關(guān)照，然后再寫(xiě)作業(yè)，這樣效果更佳．

學(xué)科分布

具有數(shù)學(xué)一級(jí)學(xué)科國(guó)家重點(diǎn)學(xué)科的大學(xué)：北京大學(xué)北京協(xié)和醫(yī)學(xué)院-清華大學(xué)醫(yī)學(xué)部清華大學(xué)北京師范大學(xué)南開(kāi)大學(xué)吉林大學(xué)復(fù)旦大學(xué)南京大學(xué)浙江大學(xué)中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)山東大學(xué)四川大學(xué)（注：一級(jí)學(xué)科國(guó)家重點(diǎn)學(xué)科所覆蓋的二級(jí)學(xué)科都是國(guó)家重點(diǎn)學(xué)科．）具有數(shù)學(xué)二級(jí)學(xué)科國(guó)家重點(diǎn)學(xué)科的大學(xué)（不包括以上列表）：基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中山大學(xué)首都師范大學(xué)廈門(mén)大學(xué)華東師范大學(xué)武漢大學(xué)計(jì)算數(shù)學(xué)湘潭大學(xué)大連理工大學(xué)西安交通大學(xué)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中南大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)新疆大學(xué)運(yùn)籌學(xué)與控制論（無(wú)）

八大難題

前七大難題是公認(rèn)的七大難題，第八難題為世界三大猜想之一。一：P（多項(xiàng)式算法）問(wèn)題對(duì)NP（非多項(xiàng)式算法）問(wèn)題在一個(gè)周六的晚上，你參加了一個(gè)盛大的晚會(huì)。由于感到局促不安，你想知道這一大廳中是否有你已經(jīng)認(rèn)識(shí)的人。你的主人向你提議說(shuō)，你一定認(rèn)識(shí)那位正在甜點(diǎn)盤(pán)附近角落的女士羅絲。不費(fèi)一秒鐘，你就能向那里掃視，并且發(fā)現(xiàn)你的主人是正確的。然而，如果沒(méi)有這樣的暗示，你就必須環(huán)顧整個(gè)大廳，一個(gè)個(gè)地審視每一個(gè)人，看是否有你認(rèn)識(shí)的人。生成問(wèn)題的一個(gè)解通常比驗(yàn)證一個(gè)給定的解時(shí)間花費(fèi)要多得多。這是這種一般現(xiàn)象的一個(gè)例子。與此類(lèi)似的是，如果某人告訴你，數(shù)13，717，421可以寫(xiě)成兩個(gè)較小的數(shù)的乘積，你可能不知道是否應(yīng)該相信他，但是如果他告訴你它可以因子分解為3607乘上3803，那么你就可以用一個(gè)袖珍計(jì)算器容易驗(yàn)證這是對(duì)的。不管我們編寫(xiě)程序是否靈巧，判定一個(gè)答案是可以很快利用內(nèi)部知識(shí)來(lái)驗(yàn)證，還是沒(méi)有這樣的提示而需要花費(fèi)大量時(shí)間來(lái)求解，被看作邏輯和計(jì)算機(jī)科學(xué)中最突出的問(wèn)題之一。它是斯蒂文·考克（StephenCook）于1971年陳述的。二：霍奇(Hodge)猜想二十世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)了研究復(fù)雜對(duì)象的形狀的強(qiáng)有力的辦法。基本想法是問(wèn)在怎樣的程度上，我們可以把給定對(duì)象的形狀通過(guò)把維數(shù)不斷增加的簡(jiǎn)單幾何營(yíng)造塊粘合在一起來(lái)形成。這種技巧是變得如此有用，使得它可以用許多不同的方式來(lái)推廣；最終導(dǎo)至一些強(qiáng)有力的工具，使數(shù)學(xué)家在對(duì)他們研究中所遇到的形形色色的對(duì)象進(jìn)行分類(lèi)時(shí)取得巨大的進(jìn)展。不幸的是，在這一推廣中，程序的幾何出發(fā)點(diǎn)變得模糊起來(lái)。在某種意義下，必須加上某些沒(méi)有任何幾何解釋的部件。霍奇猜想斷言，對(duì)于所謂射影代數(shù)簇這種特別完美的空間類(lèi)型來(lái)說(shuō)，稱(chēng)作霍奇閉鏈的部件實(shí)際上是稱(chēng)作代數(shù)閉鏈的幾何部件的(有理線(xiàn)性)組合。三：龐加萊(Poincare)猜想（已被證明）如果我們伸縮圍繞一個(gè)蘋(píng)果表面的橡皮帶，那么我們可以既不扯斷它，也不讓它離開(kāi)表面，使它慢慢移動(dòng)收縮為一個(gè)點(diǎn)。另一方面，如果我們想象同樣的橡皮帶以適當(dāng)?shù)姆较虮簧炜s在一個(gè)輪胎面上，那么不扯斷橡皮帶或者輪胎面，是沒(méi)有辦法把它收縮到一點(diǎn)的。我們說(shuō)，蘋(píng)果表面是“單連通的”，而輪胎面不是。大約在一百年以前，龐加萊已經(jīng)知道，二維球面本質(zhì)上可由單連通性來(lái)刻畫(huà)，他提出三維球面(四維空間中與原點(diǎn)有單位距離的點(diǎn)的全體)的對(duì)應(yīng)問(wèn)題。這個(gè)問(wèn)題立即變得無(wú)比困難，從那時(shí)起，數(shù)學(xué)家們就在為此奮斗。四：黎曼(Riemann)假設(shè)有些數(shù)具有不能表示為兩個(gè)更小的數(shù)的乘積的特殊性質(zhì)，例如，2,3,5,7,等等。這樣的數(shù)稱(chēng)為素?cái)?shù)；它們?cè)诩償?shù)學(xué)及其應(yīng)用中都起著重要作用。在所有自然數(shù)中，這種素?cái)?shù)的分布并不遵循任何有規(guī)則的模式；然而，德國(guó)數(shù)學(xué)家黎曼(1826~1866)觀察到，素?cái)?shù)的頻率緊密相關(guān)于一個(gè)精心構(gòu)造的所謂黎曼蔡塔函數(shù)z(s$的性態(tài)。著名的黎曼假設(shè)斷言，方程z(s)=0的所有有意義的解都在一條直線(xiàn)上。這點(diǎn)已經(jīng)對(duì)于開(kāi)始的1,500,000,000個(gè)解驗(yàn)證過(guò)。證明它對(duì)于每一個(gè)有意義的解都成立將為圍繞素?cái)?shù)分布的許多奧秘帶來(lái)光明。五：楊－米爾斯(Yang-Mills)存在性和質(zhì)量缺口量子物理的定律是以經(jīng)典力學(xué)的牛頓定律對(duì)宏觀世界的方式對(duì)基本粒子世界成立的。大約半個(gè)世紀(jì)以前，楊振寧和米爾斯發(fā)現(xiàn)，量子物理揭示了在基本粒子物理與幾何對(duì)象的數(shù)學(xué)之間的令人注目的關(guān)系。基于楊－米爾斯方程的預(yù)言已經(jīng)在如下的全世界范圍內(nèi)的實(shí)驗(yàn)室中所履行的高能實(shí)驗(yàn)中得到證實(shí)：布羅克哈文、斯坦福、歐洲粒子物理研究所和筑波。盡管如此，他們的既描述重粒子、又在數(shù)學(xué)上嚴(yán)格的方程沒(méi)有已知的解。特別是，被大多數(shù)物理學(xué)家所確認(rèn)、并且在他們的對(duì)于“夸克”的不可見(jiàn)性的解釋中應(yīng)用的“質(zhì)量缺口”假設(shè)，從來(lái)沒(méi)有得到一個(gè)數(shù)學(xué)上令人滿(mǎn)意的證實(shí)。在這一問(wèn)題上的進(jìn)展需要在物理上和數(shù)學(xué)上兩方面引進(jìn)根本上的新觀念。六：納維葉－斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性與光滑性起伏的波浪跟隨著我們的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的氣流跟隨著我們的現(xiàn)代噴氣式飛機(jī)的飛行。數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家深信，無(wú)論是微風(fēng)還是湍流，都可以通過(guò)理解納維葉－斯托克斯方程的解，來(lái)對(duì)它們進(jìn)行解釋和預(yù)言。雖然這些方程是19世紀(jì)寫(xiě)下的，我們對(duì)它們的理解仍然極少。挑戰(zhàn)在于對(duì)數(shù)學(xué)理論作出實(shí)質(zhì)性的進(jìn)展，使我們能解開(kāi)隱藏在納維葉－斯托克斯方程中的奧秘。七：貝赫(Birch)和斯維訥通－戴爾(Swinnerton-Dyer)猜想數(shù)學(xué)家總是被諸如x^2+y^2=z^2那樣的代數(shù)方程的所有整數(shù)解的刻畫(huà)問(wèn)題著迷。歐幾里德曾經(jīng)對(duì)這一方程給出完全的解答，但是對(duì)于更為復(fù)雜的方程，這就變得極為困難。事實(shí)上，正如馬蒂雅謝維奇(Yu.V.Matiyasevich)指出，希爾伯特第十問(wèn)題是不可解的，即，不存在一般的方法來(lái)確定這樣的方法是否有一個(gè)整數(shù)解。當(dāng)解是一個(gè)阿貝爾簇的點(diǎn)時(shí)，貝赫和斯維訥通－戴爾猜想認(rèn)為，有理點(diǎn)的群的大小與一個(gè)有關(guān)的蔡塔函數(shù)z(s)在點(diǎn)s=1附近的性態(tài)。特別是，這個(gè)有趣的猜想認(rèn)為，如果z(1)等于0,那么存在無(wú)限多個(gè)有理點(diǎn)(解)，相反，如果z(1)不等于0,那么只存在有限多個(gè)這樣的點(diǎn)。八：哥德巴赫猜想在1742年6月7日給歐拉的信中，哥德巴赫提出了以下猜想：a) 任一不小于6之偶數(shù)，都可以表示成兩個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和；b) 任一不小于9之奇數(shù)，都可以表示成三個(gè)奇質(zhì)數(shù)之和。歐拉在回信中也提出另一等價(jià)版本，即任一大于2的偶數(shù)都可寫(xiě)成兩個(gè)質(zhì)數(shù)之和。現(xiàn)在通常把這兩個(gè)命題統(tǒng)稱(chēng)為哥德巴赫猜想。把命題"任何一個(gè)大偶數(shù)都可以表示成為一個(gè)素因子個(gè)數(shù)不超過(guò)a個(gè)的數(shù)與另一個(gè)素因子不超過(guò)b個(gè)的數(shù)之和"記作"a+b"，哥氏猜想就是要證明"1+1"成立。1966年陳景潤(rùn)證明了"1+2"成立，即"任何一個(gè)大偶數(shù)都可表示成一個(gè)素?cái)?shù)與另一個(gè)素因子不超過(guò)2個(gè)的數(shù)之和"。