二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形
前言
機器學(xué)習(xí)｜數(shù)學(xué)基礎(chǔ)｜線性代數(shù)
Mathematics for Machine Learning
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5.5 二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形
定義8：二次型
含有個變量的二次齊次函數(shù)
稱為二次型
?中的每一項的次數(shù)都是2稱為二次齊次函數(shù) 比如
?
取，則有
所以
對于二次型，尋求可逆的線性變換
也就是將上式代入，替換，使得二次型「只含有平方項」，得到
這種只含有平方項的二次型，稱為二次型的「標(biāo)準(zhǔn)形」（或法式）
如果標(biāo)準(zhǔn)型的系數(shù)只在三個數(shù)中取值，即
則稱上式為二次型的「規(guī)范形」
可以變形為
記
則二次型可記作
其中為對稱陣
例如，二次型用矩陣記號寫出來，就是
?對稱陣的求法
?注意系數(shù)就是多項式中相對應(yīng)的系數(shù)，而的系數(shù)就是多項式中相對應(yīng)的「系數(shù)的一半」
任給一個二次型，就可以惟一確定一個對稱陣；反之認(rèn)給一個對稱陣，也可以惟一地確定一個二次型。說明二次陣與對稱陣之間存在一一對應(yīng)的關(guān)系
把對稱陣叫做二次型的矩陣，也把叫做對稱陣的二次型，對稱陣的秩就叫做二次型的秩
在式子中
記，則上式可以變?yōu)?/p>
代入，得到
定義9：合同
設(shè)和是階矩陣，若存在可逆矩陣，使得，則稱矩陣與「合同」
若是對稱陣
得到也是對稱陣
在中，因為可逆 所以
由此可知，經(jīng)可逆變換后，二次型的矩陣由變?yōu)榕c合同的矩陣，且二次型的秩不變
如果要使二次型經(jīng)可逆變換變成標(biāo)準(zhǔn)形，也就是
也就是要使得成為「對角陣」
所以就是尋找一個可逆矩陣 使得變?yōu)閷顷?，這個過程就稱為對稱陣合同對角化
定理8
由定理7得，任一對稱陣，總存在正交陣，使得
將此結(jié)論運用到二次型得到
任一二次型，總有正交變換，使化為標(biāo)準(zhǔn) 形
其中是f的矩陣的特征值
推論
任給元二次型，總有可逆變換，使得為規(guī)范形
舉例
例14
求一個正交變換，把二次型
化為標(biāo)準(zhǔn)形
「思路」
需要將二次型變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形，其實就是需要找到一個可逆矩陣C，使得變成一個對角陣 又因為正交陣，可以使得 所以這道題實質(zhì)是求一個正交陣
「解答」
二次型的矩陣為
再求一個正交陣，使得
由
解得的特征值為
對應(yīng),解方程
得基礎(chǔ)解系
對進行單位化，得
對應(yīng)，解方程
得基礎(chǔ)解系
將正交化
令
再將單位化，得
將構(gòu)成正交矩陣
有
綜上，有正交變換
結(jié)語
說明：
參考于 課本《線性代數(shù)》第五版 同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系編 配合書中概念講解 結(jié)合了自己的一些理解及思考
文章僅作為學(xué)習(xí)筆記，記錄從0到1的一個過程
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