前言

機(jī)器學(xué)習(xí)｜數(shù)學(xué)基礎(chǔ)｜線性代數(shù)

Mathematics for Machine Learning

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5.7 正定二次型

二次型的標(biāo)準(zhǔn)型不是惟一的，只是標(biāo)準(zhǔn)形中所含的項(xiàng)數(shù)是確定的（即二次型的秩）

定理9：慣性定理

設(shè)有二次型，它的秩為，有兩個(gè)可逆變換

使

和

則中正數(shù)的個(gè)數(shù)與中正數(shù)的個(gè)數(shù)相等

二次型的標(biāo)準(zhǔn)型中「正系數(shù)」的個(gè)數(shù)稱為二次型的「正慣性系數(shù)」，負(fù)系數(shù)的個(gè)數(shù)稱為「負(fù)慣性系數(shù)」

若二次型的正慣性系數(shù)指數(shù)為，秩為，則的規(guī)范形可確定為

定義10

設(shè)有二次型

• 如果對(duì)任何，都有，則稱為「正定二次型」，并稱對(duì)稱陣A是正定的
• 如果對(duì)任何，都有，則稱為「負(fù)定二次型」，并稱對(duì)稱陣是負(fù)定的

定理10

元二次型為正定的充分必要條件是：它的標(biāo)準(zhǔn)型的個(gè)系數(shù)「全為正」，即它的規(guī)范形的個(gè)系數(shù)全為1，亦即它的正慣性指數(shù)等于

推論

對(duì)稱陣為正定的充分必要條件是：的特征值「全為正」

定理11：赫爾維茨定理

對(duì)稱陣為「正定」的充分必要條件是：A的「各階主子式」都為正，即

對(duì)稱正為「負(fù)定」的充分必要條件是：奇數(shù)階主子式為負(fù)，而偶數(shù)階主子式為正，即

舉例

例17

判定二次型的正定性

「解答：」

二次型的矩陣為

一階主子式

二階主子式

三階主子式

發(fā)現(xiàn)一階、三階都為負(fù)，二階為正

根據(jù)定理11：赫爾維茨定理，得到

是負(fù)定二次型

結(jié)語

說明：

• 參考于 課本《線性代數(shù)》第五版 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編
• 配合書中概念講解 結(jié)合了自己的一些理解及思考

文章僅作為學(xué)習(xí)筆記，記錄從0到1的一個(gè)過程

希望對(duì)您有所幫助，如有錯(cuò)誤歡迎小伙伴指正～