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數(shù)學(xué)算法俱樂部

日期： 2021年05月24日

正文共：11778字

來源：哆嗒數(shù)學(xué)網(wǎng)

應(yīng)用數(shù)學(xué)思想是科研當(dāng)中非常重要的一種思維方式以及研究方法。今天我們就借助戴世強(qiáng)教授的三篇有關(guān)應(yīng)用數(shù)學(xué)的文章來詳細(xì)了解一下這些問題：

什么是“應(yīng)用數(shù)學(xué)思維”？
我們?nèi)绾卧谘芯恐惺褂脩?yīng)用數(shù)學(xué)思維？
應(yīng)用數(shù)學(xué)思維如何掌握？

最后，我們給出馮卡門在1943年創(chuàng)辦美國《應(yīng)用數(shù)學(xué)季刊》時(shí)，在這本期刊卷首刊登了一篇文章，名字是《用數(shù)學(xué)武裝工程科學(xué)》。從這篇文章中可以看到哥廷根學(xué)派是如何看待工程科學(xué)以及應(yīng)用數(shù)學(xué)的。

今天這篇文章的內(nèi)容有些多。但小編希望能有一篇文章詳細(xì)的介紹應(yīng)用數(shù)學(xué)相關(guān)的思想、歷史及其在科學(xué)中的重要性。希望大家諒解。

第一篇：《應(yīng)用數(shù)學(xué)思想》

前幾天我們談了一些科研入門的注意事項(xiàng)，從今天起，我想與青年朋友一起探討自然科學(xué)研究中的常用方法和要領(lǐng)。就從闡述“應(yīng)用數(shù)學(xué)過程”開始，我認(rèn)為這是從事理工科基礎(chǔ)研究的一種常規(guī)武器，一把利劍。文中對“應(yīng)用數(shù)學(xué)過程”作一般描述，并述及若干經(jīng)常出現(xiàn)的問題。

1978年，著名應(yīng)用數(shù)學(xué)家、力學(xué)家林家翹教授（中科院外籍院士）提出了解決實(shí)際問題的“應(yīng)用數(shù)學(xué)過程”，我在1979年他到訪清華大學(xué)時(shí)第一次聽他詳細(xì)講述了相關(guān)內(nèi)容。他指出，在研究數(shù)理科學(xué)的實(shí)際問題時(shí)，經(jīng)常采用的方法為：

搜集實(shí)驗(yàn)、觀測資料→建立數(shù)學(xué)模型→發(fā)明數(shù)學(xué)工具或沿用已有方法解決模型中的問題→驗(yàn)證所得到的結(jié)果→總結(jié)出普遍規(guī)律。

這就是所謂“應(yīng)用數(shù)學(xué)過程”。自然科學(xué)中，許多基本規(guī)律的發(fā)現(xiàn)、解析和描述，都或多或少地運(yùn)用了應(yīng)用數(shù)學(xué)過程。

后來，Brown大學(xué)的謝定裕教授到我所講學(xué)，談及治學(xué)之道時(shí)，也講授了這一應(yīng)用數(shù)學(xué)過程。并用牛頓建立三大定律為例子加以闡釋，牛頓搜集伽利略關(guān)于落體運(yùn)動的實(shí)驗(yàn)結(jié)果和行星運(yùn)動的觀測數(shù)據(jù)，特別是了解了關(guān)于行星運(yùn)動的開普勒定律，對物體的運(yùn)動與作用力之間的關(guān)系有了清晰的認(rèn)識；在此基礎(chǔ)上建立了數(shù)學(xué)模型（物體運(yùn)動方程）：F=ma等；并發(fā)明了微積分，求得了運(yùn)動方程的解；這些解在實(shí)驗(yàn)、觀測中得到了驗(yàn)證，最后總結(jié)出牛頓三大定律。這是一個(gè)完美的“應(yīng)用數(shù)學(xué)過程”。1987年，謝定裕先生把上述看法寫進(jìn)了《流體力學(xué)》（南開大學(xué)出版社）的序言中了。

在此后的研究生教學(xué)和本科生教學(xué)中，我一再向?qū)W生們介紹了這一“應(yīng)用數(shù)學(xué)過程”，在關(guān)于科研方法的講座中，也包含了這方面內(nèi)容。例如，在給研究生講授流體力學(xué)時(shí)，我花費(fèi)很多時(shí)間來闡明納維-斯托克斯方程的導(dǎo)出過程，強(qiáng)調(diào)這是在流體力學(xué)中實(shí)踐應(yīng)用數(shù)學(xué)過程的絕好例子，特別是其中的數(shù)學(xué)建模的思路值得效仿。

在實(shí)施應(yīng)用數(shù)學(xué)過程中，至關(guān)重要的是：掌握了足夠的實(shí)驗(yàn)、觀測數(shù)據(jù)后，從千頭萬緒的現(xiàn)象中進(jìn)行梳理、簡化，掌握其中的本質(zhì)要旨，建立合理和可解的數(shù)學(xué)模型，這是最為艱巨的工作。因此，我們追溯牛頓的學(xué)術(shù)貢獻(xiàn)時(shí)，經(jīng)常把他建立牛頓三大定律放在最重要的地位。

經(jīng)我留意觀察，初涉科研的人們，有不少人不自覺地實(shí)施了應(yīng)用數(shù)學(xué)過程，而且做得相當(dāng)出色。如果說有不足之處，主要問題是對應(yīng)用數(shù)學(xué)過程認(rèn)識不清晰和執(zhí)行得不完整。正如謝定裕教授所指出的，“現(xiàn)代科學(xué)的迅速發(fā)展，已使一個(gè)人很難獨(dú)立完成某項(xiàng)有意義的工作的整個(gè)應(yīng)用數(shù)學(xué)過程，……，所以，一個(gè)人往往只能從事這一過程的一個(gè)或兩個(gè)環(huán)節(jié)的工作，……。然而，我們不應(yīng)忘記整個(gè)應(yīng)用數(shù)學(xué)過程，應(yīng)當(dāng)明了應(yīng)用數(shù)學(xué)過程各個(gè)環(huán)節(jié)的相對重要性?！?/span>

人們在實(shí)施應(yīng)用數(shù)學(xué)過程中所出現(xiàn)的問題主要有：

1. 沒有充分掌握所研究的問題的實(shí)驗(yàn)、觀測數(shù)據(jù)。盡管由于分工不同，我們不一定親歷親為地去作實(shí)驗(yàn)觀測，但必須通過各種調(diào)研掌握必要的實(shí)際觀測資料，并進(jìn)行仔細(xì)剖析，了解工程或科學(xué)問題的第一手材料，抓住其中的本質(zhì)性的東西，為數(shù)學(xué)建模奠定基礎(chǔ)；

2. 對于作沿用的數(shù)學(xué)模型不了解其源頭。人們在科研中常利用現(xiàn)成的模型，但不少年青人對所用模型的來龍去脈不甚了了。例如，在流體力學(xué)研究中要用納維-斯托克斯方程，但不了解這組方程賴以成立的基本假設(shè)（三個(gè)本質(zhì)的假設(shè)、三個(gè)重要的假設(shè)以及其它次要假設(shè)），不顧實(shí)際情況拿來就用，往往會岀岔子；

3. 不善于獨(dú)立建模。對有些問題，沒有現(xiàn)成的模型可供借鑒，必須自己按實(shí)際問題來建模。不少年青人的建模能力較差，需要磨練（日后細(xì)談）；

4. 不重視結(jié)果的驗(yàn)證。有些年青人給出了問題的解后就“開小差”了，沒有在結(jié)果的驗(yàn)證上下功夫，也就是說，忽視應(yīng)用數(shù)學(xué)過程的第四個(gè)環(huán)節(jié)。有些作理論分析的朋友認(rèn)為，我已經(jīng)給你解答了，結(jié)果的應(yīng)用和驗(yàn)證是別人的事情。這種想法很要不得，因?yàn)樵谇蠼膺^程中，你引進(jìn)了各種近似假設(shè)，結(jié)果是否成立？何時(shí)成立？研究者必須責(zé)無旁貸地給出明確的說法。

5. 不重視總結(jié)規(guī)律。我們不是牛頓，也許總結(jié)不出牛頓定律那樣的大規(guī)律，但總能發(fā)現(xiàn)一些小規(guī)律吧！經(jīng)常見到年青人的習(xí)作中，把公式、數(shù)據(jù)、圖表等一一列出后就“溜之乎也”，這實(shí)在是一個(gè)壞習(xí)慣，也往往會糟蹋了好工作、好結(jié)果。我在樂乎博客中已多次提及這一點(diǎn)。最近重讀《李政道傳》，我發(fā)現(xiàn)，他在得到重要問題一些基本結(jié)果后，分析、討論、總結(jié)規(guī)律的時(shí)間甚至長于演繹結(jié)果的時(shí)間。

必須指出，“應(yīng)用數(shù)學(xué)過程”是應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)界前輩學(xué)者總結(jié)出來的一種提法，實(shí)際上在其它學(xué)科門類中可能有類似的提法。我們主要領(lǐng)會其中的精神實(shí)質(zhì)。

總而言之，應(yīng)用數(shù)學(xué)過程是理工科科學(xué)研究中的一種常規(guī)武器，希望青年朋友門好好體會、運(yùn)用，而且在實(shí)踐中逐步形成良好的科研習(xí)慣。

歡迎廣泛地進(jìn)行討論。

第二篇：《如何建立數(shù)學(xué)模型（一）》

在昨天的博文中談及了“應(yīng)用數(shù)學(xué)過程”，明確指出：在實(shí)施應(yīng)用數(shù)學(xué)過程中，數(shù)學(xué)建模起了核心作用。作為數(shù)理科學(xué)的科研工作者必須學(xué)會數(shù)學(xué)建模，這是管用一輩子的本領(lǐng)。建模方法千變?nèi)f化，我這里只能講一個(gè)梗概，要學(xué)會建模本事，需要再讀一些著述，更重要的是邊干邊學(xué)，在建模中學(xué)建模。

本文概述數(shù)學(xué)建模的涵義、過程、分類和一個(gè)著名例子。

（1）數(shù)學(xué)建模的一般涵義

數(shù)學(xué)建模——根據(jù)需要針對實(shí)際問題構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過程，亦即，通過抽象和簡化，使用數(shù)學(xué)語言對實(shí)際現(xiàn)象和實(shí)際問題進(jìn)行近似刻畫，以便于更深刻地認(rèn)識所研究的對象。

數(shù)學(xué)模型不是對現(xiàn)實(shí)系統(tǒng)的簡單的復(fù)制和模擬，而是經(jīng)過對現(xiàn)實(shí)現(xiàn)象進(jìn)行分析、提煉、歸納、升華的結(jié)果，是以數(shù)學(xué)語言來正確地描繪現(xiàn)實(shí)對象的基本內(nèi)在特征，從而通過數(shù)學(xué)上的演繹推理和分析，運(yùn)用解析、實(shí)驗(yàn)（保持相似律成立）或數(shù)值求解。

整個(gè)建模過程要注意高瞻遠(yuǎn)矚、抓大放小，把握問題的內(nèi)在本質(zhì)。當(dāng)研究問題有了正確的數(shù)學(xué)描述后，尋找適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具分析求解。關(guān)于求解方法的改進(jìn)方面，要盡可能使所用的方法精確化、細(xì)致化和全面化。必須結(jié)合實(shí)例，就建模的正確性、有效性、可用性和適用范圍進(jìn)行準(zhǔn)確的界定；對所產(chǎn)生的誤差和不確定性進(jìn)行實(shí)事求是的分析；對所得的結(jié)果，必須從物理學(xué)視角和實(shí)際應(yīng)用角度進(jìn)行解讀。

（2）數(shù)學(xué)建模的一般過程

首先，基于一系列基本的簡化假設(shè)，把實(shí)際問題中的數(shù)學(xué)描繪明確地表述出來，也就是說，通過對實(shí)際問題的分析、歸納、簡化，給出用以描述該問題的數(shù)學(xué)提法；然后采用數(shù)學(xué)的理論和方法進(jìn)行求解，得出結(jié)論；最后再返回去闡釋所研究的實(shí)際問題，總結(jié)一般規(guī)律，即實(shí)現(xiàn)第一章中所述的“應(yīng)用數(shù)學(xué)過程”，在數(shù)學(xué)理論和所要解決的實(shí)際問題之間構(gòu)建一座橋梁。

具體來說，數(shù)學(xué)建模的步驟如下：

l 通過調(diào)研，掌握實(shí)際問題的背景材料。明確研究對象（如物理問題、工程問題）和研究目的，了解相關(guān)的數(shù)據(jù)資料和基本事實(shí)（包括已有理論結(jié)果、觀察結(jié)果、觀測數(shù)據(jù)、實(shí)驗(yàn)資料等），提出清晰的基本目標(biāo)，并在實(shí)際研究過程中隨時(shí)準(zhǔn)備不斷修正預(yù)期目標(biāo)；

l 辨識并列出與問題有關(guān)的各主要因素。建立基本假設(shè)，簡化所研究的問題。明確模型中必須考慮的主要因素，預(yù)測、分析它們在問題中的作用，以變量或參數(shù)的形式表示這些因素。建模之初通常應(yīng)最大限度地簡化問題，建立最簡單的模型，然后不斷調(diào)整假設(shè)，提出修正，使得模型盡可能接近實(shí)際；

l 運(yùn)用物理和數(shù)學(xué)知識和技巧建立問題中變量之間的關(guān)系。通?？梢杂秒x散的或連續(xù)的數(shù)學(xué)表達(dá)式來描述，例如：比例關(guān)系（如：牛頓粘性定律）、線性關(guān)系（如：廣義牛頓粘性定律、胡克定律等）、非線性關(guān)系（如：非牛頓流體的本構(gòu)關(guān)系、物理非線性材料的本構(gòu)方程）、經(jīng)驗(yàn)關(guān)系（如：反映非光滑管的阻力系數(shù)的尼古拉捷規(guī)律、水動力學(xué)摩阻的Manning公式等）、輸入輸出原理（如：元胞自動機(jī)模型的演進(jìn)規(guī)則）、平衡原理（如：熱動平衡規(guī)律、捕食者和獵物之間的關(guān)系等）、守恒原理（如：能量守恒、質(zhì)量守恒、動量守恒、KdV守恒律等）、牛頓運(yùn)動定律、微分方程或差分方程、矩陣關(guān)系、概率關(guān)系、統(tǒng)計(jì)分布等等（變量之間的關(guān)系不一定非要用方程來描述，只要能解決問題，可用各種方法確定問題的物理量之間的關(guān)系，例如離散映射關(guān)系），從而建立問題的數(shù)學(xué)模型。常見的表述各物理量之間的關(guān)系的有：代數(shù)方程，映射關(guān)系，差分方程，常微分方程，偏微分方程，積分方程，積分-微分方程等等；

l 進(jìn)行參數(shù)辨識或參數(shù)標(biāo)定。使用觀測數(shù)據(jù)或問題的相關(guān)背景知識，辨識出問題中的參數(shù)的估計(jì)值；設(shè)計(jì)專門實(shí)驗(yàn)，標(biāo)定參數(shù)。參數(shù)識辨和標(biāo)定經(jīng)常采用實(shí)測方法和數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法。由于問題的參數(shù)識辨較為困難，所以成功的模型應(yīng)該是簡單的，所涉及參數(shù)盡可能地少且容易識辨；

l 運(yùn)用所得的模型，進(jìn)行分析求解。采用各種有效的數(shù)學(xué)工具求解所得到的數(shù)學(xué)方程等，然后，分析、解釋模型的結(jié)果或把模型運(yùn)行的結(jié)果與實(shí)際觀測進(jìn)行比較，開展進(jìn)一步的案例分析，驗(yàn)證模型的正確性；

l 總結(jié)一般規(guī)律。對驗(yàn)證成立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行總結(jié)歸納，盡可能上升到新的理論高度。

運(yùn)作要點(diǎn)：

a. 掌握第一手資料；

b.抓住問題的主要因素；

c.建立真實(shí)合適的模型；

d.比照實(shí)際。

（3）數(shù)學(xué)模型的分類

按數(shù)學(xué)表述的形式分：

連續(xù)模型；
離散模型；

按表述的確定性分：

確定性模型；
非確定性模型（隨機(jī)模型）；
混合模型；

按問題的求解步驟分：

正問題模型；
反問題模型；

按數(shù)學(xué)物理工具分：

基于量綱分析的輪廓模型；
基于數(shù)據(jù)擬合的經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ停?/span>
基于守恒原理的方程模型；
基于平衡原理的機(jī)理模型；
基于運(yùn)籌優(yōu)化的規(guī)劃模型；
基于網(wǎng)絡(luò)分析的圖論模型；
基于復(fù)雜性研究的層次分析模型等等。

（4）數(shù)學(xué)建模的經(jīng)典范例

哥尼斯堡七橋問題——圖論模型的典范

問題：哥尼斯堡城有一條河，現(xiàn)在用七座橋來連接河的兩岸A、B和河中兩島C、D（如圖3.2所示），試問：可否一次性不重復(fù)地走過這七座橋？

模型：1734年，Euler解決了這個(gè)問題。他把問題抽象簡化為圖論中的一筆劃問題：數(shù)學(xué)上可證明：一筆劃的基本要求是各點(diǎn)要有偶數(shù)條起迄路徑，但是本題四點(diǎn)起迄路徑均為奇數(shù)條，從而不可實(shí)現(xiàn)一筆劃。即不能一次性不重復(fù)走過這七座橋。

以上對數(shù)學(xué)建模給出了一個(gè)概論，日后將繼續(xù)予以深化敘述。

第三篇：《如何建立數(shù)學(xué)模型（二）》

我現(xiàn)在問朋友們一個(gè)問題：我們什么時(shí)候開始接觸數(shù)學(xué)建模的？如果我說，凡是上過一點(diǎn)學(xué)的人都或多或少地學(xué)過數(shù)學(xué)建模，你信嗎？想一想，我們上小學(xué)時(shí)，在做稍稍復(fù)雜一點(diǎn)的數(shù)學(xué)應(yīng)用題時(shí)，例如，著名的“雞兔同籠”問題，就得通過較為簡單的數(shù)學(xué)建模來求解。到了中學(xué)，這樣的例子就更多了。所以，我們對數(shù)學(xué)建模不必有神秘感?，F(xiàn)在國內(nèi)每年要舉行各種數(shù)學(xué)建模比賽，也使這種神秘感大大減少。目前欠缺的是：在本科和研究生教學(xué)中，老師對數(shù)學(xué)建模的關(guān)注和引導(dǎo)不足。

這里，引述錢偉長先生的一段話：“教學(xué)的過程，就在于讓學(xué)生搞清‘模型’的意義。因?yàn)椤Ｐ汀从车氖鞘挛锏谋举|(zhì)，是對客觀事物的近似描述。我們要引導(dǎo)學(xué)生提出‘模型’，通過抓‘模型’，教給學(xué)生一種提出問題、分析問題、解決問題的方法?！保ㄥX偉長，跨越世紀(jì)，上海大學(xué)出版社，2002，165頁）

隨著現(xiàn)代科學(xué)的發(fā)展，各個(gè)學(xué)科領(lǐng)域相互交叉、融合，特別是數(shù)理科學(xué)不斷滲透到化學(xué)、生物學(xué)領(lǐng)域，科研中的建模顯得越來越重要。

昨天的博文中，概略地講述了自然科學(xué)研究中的數(shù)學(xué)建模問題。今天想舉一個(gè)實(shí)際例子，來體會數(shù)學(xué)建模的過程。應(yīng)博友的要求，試圖簡述流體力學(xué)中的基本方程——納維-斯托克斯（以下簡稱為NS方程）的導(dǎo)出過程，這一過程本身就是一個(gè)絕好的建模過程。我瀏覽過不少流體力學(xué)教材，尤其是一些工程流體力學(xué)的教科書，其中往往把這一過程略過不提，或者未做重點(diǎn)介紹，這實(shí)際上是放棄了一個(gè)進(jìn)行建模教學(xué)的良好機(jī)會，也會使學(xué)生難以掌握流體力學(xué)的精髓，更糟糕的是養(yǎng)成 “知其然，不知其所以然”的不良學(xué)習(xí)習(xí)慣。

大體說來，推導(dǎo)NS方程可采取宏觀演繹方法和微觀-介觀演繹方法，前者采用連續(xù)介質(zhì)假設(shè)，通過控制體積或流體微團(tuán)的分析，建立一個(gè)完整的體系；微觀-介觀演繹方法采用統(tǒng)計(jì)物理手段，從速度分布密度所滿足的波耳茲曼方程，通過對這一方程的各種形式的取矩來導(dǎo)得NS方程。本文主要討論前者。

NS方程的孕育

我們先來簡要地回顧流體力學(xué)的發(fā)展史，主要為了了解NS方程的孕育過程。

公元前3世紀(jì)，阿基米德（287－212BC）發(fā)現(xiàn)浮力定律（阿基米德原理），標(biāo)志著流體靜力學(xué)的發(fā)端；1644年托里拆里（E. Torricell，1608-1647）制成氣壓計(jì)；導(dǎo)出小孔出流公式；1650年帕斯卡（B. Pascal，1623-1662）提出液體中壓力傳遞的帕斯卡原理；1668年，馬略特（E. Mariotte，1620－1684），出版專著《論水和其它流體的運(yùn)動》奠定流體靜力學(xué)和流體運(yùn)動學(xué)的基礎(chǔ)。

這時(shí)，社會發(fā)展產(chǎn)生了發(fā)展流體動力學(xué)的需求。馬略特首次研究了流體產(chǎn)生的阻力；接著，1678年，牛頓（I. Newton，1642-1727）研究在流體中運(yùn)動物體所受的阻力，并建立牛頓粘性定律；1738年，丹尼爾·伯努利（D. Bernoulli， 1700-1782）出版《流體動力學(xué)》，將力學(xué)中的活力（能量）守恒原理引入流體力學(xué)，建立伯努利定理（伯努利方程）；1752年，達(dá)朗貝爾（J. le R. D′Alembert，1717-1783）提出理想流體運(yùn)動的達(dá)朗貝爾佯謬（即在無粘性流體中運(yùn)動的物體不受阻力；1755年，歐拉（L. Euler，1707-1783）導(dǎo)出流體平衡方程和無粘性流體的運(yùn)動方程，即歐拉方程，從而建立了理想流體動力學(xué)。此時(shí)，粘性流體動力學(xué)已呼之欲出。

1763年，玻爾達(dá)（J-C. Borda，1733-1799）進(jìn)行流體阻力試驗(yàn)，給出阻力公式，開了粘性流體動力學(xué)研究的先河；1777年玻素（C. Bossut，1730-1814）等完成第一個(gè)船池模型試驗(yàn)，完全確認(rèn)了流體中運(yùn)動物體與速度的平方成正比的結(jié)論；接著，迪比阿（P. L. G. Du Buat，1734-1809）做了更細(xì)致的研究，寫成《水力學(xué)原理》。

以上工作為NS方程的導(dǎo)出在實(shí)驗(yàn)上和理論上奠定了基礎(chǔ)。1822年，納維（C-L-M-H. Navier，1785-1836）引進(jìn)連續(xù)介質(zhì)假設(shè)，采用流體分子運(yùn)動的觀點(diǎn)，考慮了分子間的相互作用（宏觀地表現(xiàn)為粘性），導(dǎo)出粘性流體動力學(xué)的動量方程；1845年，斯托克斯（G. G. Stokes，1819-1903）建立了更為準(zhǔn)確的粘性流體的連續(xù)介質(zhì)模型，引進(jìn)了兩個(gè)粘性系數(shù)，更簡潔嚴(yán)謹(jǐn)?shù)貙?dǎo)出粘性流體動力學(xué)的動量方程（納維－斯托克斯方程）。現(xiàn)今的流體力學(xué)教科書就基本上采用了斯托克斯的表述形式。

有關(guān)上述歷史的詳情可參看武際可：《力學(xué)史》（上海辭書出版社，2010，231～244頁）。

導(dǎo)出NS方程的基本假設(shè)

經(jīng)過梳理之后，我們知道，導(dǎo)出NS方程采用了如下基本假設(shè)：

1）牛頓力學(xué)假設(shè)成立。只討論流速遠(yuǎn)小于光速和特征長度遠(yuǎn)大于原子尺度的情形（Einstein數(shù)遠(yuǎn)小于1，V為特征速度，c為真空中的光速），即不考慮相對論效應(yīng)和量子效應(yīng)；相對論流體力學(xué)和量子流體力學(xué)分別計(jì)及這兩種效應(yīng)，不在這里討論；

2）連續(xù)介質(zhì)假設(shè)成立。僅考慮Knudsen數(shù)（即流體的分子平均自由程遠(yuǎn)與問題的特征長度之比）遠(yuǎn)小于1的情形，每一宏觀小、微觀大的流體微團(tuán)里含有足夠多的流體分子，微團(tuán)緊密地排列著。稀薄氣體動力學(xué)考慮Knudsen數(shù)近于或大于1的情形；在微流動問題中也會出現(xiàn)這一問題；這里不予研究。

3）熱動平衡假設(shè)成立。認(rèn)為運(yùn)動的流體微團(tuán)處于熱平衡，即分子運(yùn)動趨于平衡的弛豫時(shí)間遠(yuǎn)小于問題的特征時(shí)間；

4）熱力學(xué)第一、第二定律成立（即能量守恒律和熵增定律成立）；

5） Helmboltz速度分解定理成立（速度=平動速度+轉(zhuǎn)動速度+變形速度）；

6）廣義牛頓粘性定律成立。假設(shè)運(yùn)動流體中的剪切應(yīng)力等于流體應(yīng)變率分量的齊次線性組合（含廣義粘性系數(shù)81個(gè)）?？紤]此定律不成立的情形屬于非牛頓流體力學(xué)范疇；

7）流體各向同性假設(shè)成立。于是，廣義粘性系數(shù)從81個(gè)縮減為2個(gè)；

8） Stokes假設(shè)成立。即假設(shè)流體的第二粘性系數(shù)（體積粘性系數(shù)）為零，不考慮流體壓縮或膨脹中的粘性阻滯效應(yīng)；

9）運(yùn)動流體中溫度不是很高且無急劇變化。可近似地認(rèn)為流體的粘性系數(shù)與溫度無關(guān)?？梢哉J(rèn)為溫度不太高，不會產(chǎn)生電離和離解現(xiàn)象；

10）流體均質(zhì)假設(shè)成立。不考慮分層流體、異重流及隨之而來的浮力等效應(yīng)。

以上各假設(shè)中，前五個(gè)是本質(zhì)的，第六、七個(gè)假設(shè)經(jīng)常是必需的，后三個(gè)假設(shè)則是非本質(zhì)的，視情況需要，可以丟掉（即存在體積膨脹、存在高溫區(qū)或電離區(qū)、流體非均質(zhì)——分層流體）。一言以蔽之，納維-斯托克斯方程適用于非相對論性的、密度足夠高的、各向同性牛頓流體運(yùn)動的描述。在忽略體積粘性系數(shù)，假定溫度無劇變（即可假定粘性系數(shù)為常數(shù)）且流體為均質(zhì)時(shí)，方程的形式較為簡單。

因此，我們在科研中要應(yīng)用NS方程時(shí)，首先應(yīng)考慮其成立的假設(shè)是否成立。比方說，在研究微電子器件相關(guān)的流體力學(xué)問題，就需要慎之又慎。

還應(yīng)注意，狹義地說，NS方程指的是粘性流體運(yùn)動的動量方程；廣義地說，也可包括質(zhì)量守恒方程（連續(xù)性方程）、能量守恒方程（能量方程），這里采用廣義說法，實(shí)際上討論的是流體動力學(xué)的基本方程。

NS方程的宏觀推導(dǎo)

我們應(yīng)該知道，推導(dǎo)NS方程的出發(fā)點(diǎn)是物質(zhì)的基本守恒律——質(zhì)量守恒、動量守恒、能量守恒定律；為了使方程簡約、可解，還必須輔以流體的本構(gòu)方程，NS方程通常采用廣義牛頓粘性定律為本構(gòu)方程，這是基于實(shí)驗(yàn)的牛頓粘性定律的推廣形式。當(dāng)然，為了使方程組有封閉形式，還要輔以熱力學(xué)中關(guān)于流體的狀態(tài)方程。這里只談連續(xù)性方程、動量方程和能量方程的宏觀推導(dǎo)。

如所周知，科學(xué)方法論中的推理形式主要有兩種：歸納推理和演繹推理。前者從特殊到一般，后者從一般到特殊。力學(xué)工作者更習(xí)慣于歸納推理。

先說歸納推理形式。基本思路是：從流體某個(gè)體積中質(zhì)量、力和能量的動平衡。當(dāng)這一體積很小時(shí)（即取為體積元時(shí)），相應(yīng)的方法就是微元法；當(dāng)這一體積為有限大小時(shí)，相應(yīng)的方法就是控制體積法。若所取的體積是固定的，就對應(yīng)于流體力學(xué)中的歐拉表述思路；若所取的體積隨流體運(yùn)動時(shí)，就對應(yīng)于流體力學(xué)中的拉格朗日描述。因此，每個(gè)方程有四種推導(dǎo)方法。

在寫得好的工程流體力學(xué)教科書中，通常采用與直角坐標(biāo)的坐標(biāo)面平行的小立方體做體積元。以推導(dǎo)動量方程為例。采用如下的動平衡方程：

體積元內(nèi)的動量變化率＝從各個(gè)表面流出的動量＋體積力＋面力（壓力梯度與剪切應(yīng)力）

這是流體力學(xué)中運(yùn)用牛頓第二定律的表示。

按上述思路，可以導(dǎo)出連續(xù)性方程、動量方程和能量方程。它可以有微分形式和積分形式；可以在直角坐標(biāo)來表示，也可用曲線坐標(biāo)來表示。（詳見吳望一：《流體力學(xué)》（上冊），北大出版社，1989）。

再說演繹推理形式。先建立一個(gè)抽象的量在某個(gè)運(yùn)動體積的變化和輸運(yùn)過程，建立一個(gè)一般的定理，現(xiàn)在通稱為雷諾輸運(yùn)定理，然后以單位體積的質(zhì)量（即密度）、動量和能量代入，分別導(dǎo)出各個(gè)守恒方程。（詳見劉應(yīng)中、繆國平：《高等流體力學(xué)》，上海交大出版社，2002，第一章）。

進(jìn)一步建模的“減法”和“加法”

有了NS方程或流體力學(xué)基本方程組之后，若碰到更簡單的情況，就可采取“減法”來建模。例如，NS方程中去掉粘性項(xiàng)之后，就成了歐拉方程。如此等等。

如果碰到更復(fù)雜的情況，則采用“加法”，例如，要研究地球流體力學(xué)問題，考慮到地球是一個(gè)非慣性系，必須在動量方程中加上科氏力項(xiàng)；再如，若要研究湍流，由于存在脈動項(xiàng)，經(jīng)過雷諾平均后，就可導(dǎo)得RANS方程。這時(shí)出現(xiàn)了方程不封閉性問題，就得引入別的假設(shè)和方程實(shí)質(zhì)封閉。

從NS方程導(dǎo)出得到的啟示

限于篇幅，這里無法涉及細(xì)節(jié)，甚至來不及說到NS方程的微觀-介觀推導(dǎo)，不過我們已可得到一些啟示：

——數(shù)學(xué)建模應(yīng)建立在已有知識的基礎(chǔ)上；

——建模須從第一原理出發(fā)；

——對于復(fù)雜問題的建模必須提出合理的假設(shè)，這些假設(shè)大多有可靠的實(shí)驗(yàn)和理論依據(jù)；

——可以采用多種推理凡是和數(shù)學(xué)形式來建模。

這篇博文的內(nèi)容稍稍專業(yè)一點(diǎn)。看不懂也沒有關(guān)系，可以略過不讀。

我注意到，這一系列博文的讀者中不僅有青年朋友，而且有一些資深學(xué)者，歡迎大家補(bǔ)充、指正。

寫于2010年10月4日

第四篇：馮卡門《用數(shù)學(xué)武裝工程科學(xué)》

人們常說，研究數(shù)學(xué)的主要目的之一是為物理學(xué)家和工程師們提供解決實(shí)際問題的工具。從數(shù)學(xué)的發(fā)展史看來，事實(shí)很清楚，許多重大的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)是在了解自然規(guī)律的迫切要求下應(yīng)運(yùn)而生的，許多數(shù)學(xué)方法是由主要對實(shí)際應(yīng)用感興趣的人創(chuàng)立的。然而，每個(gè)純粹數(shù)學(xué)家都會感到，把數(shù)學(xué)研究局限于考察那些有直接應(yīng)用的問題，對這位“科學(xué)的皇后”來說未免有點(diǎn)不公道，事實(shí)上，這位“皇后”的虔誠的膜拜者對于把他們的女主人貶黜為她的比較注重實(shí)際的、一時(shí)較為顯赫的姐妹的“侍女”，經(jīng)常感到忿忿不平。

這就不難理解為什么數(shù)學(xué)家和工程師持有爭論不休的分歧意見了。兩種職業(yè)的代表人物不止一次地表示了這種分歧意見。

數(shù)學(xué)家：我在堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)上建造了一座大廈——建立在明確的公設(shè)上的定理體系。我深入分析了邏輯思維過程，確定是否存在可以認(rèn)為是正確的（至少是可能正確的）的論述。我所關(guān)心的是，由我自己的思維確切定義的事物之間的函數(shù)關(guān)系，以及使我得以探索這種函數(shù)關(guān)系的種種方法，如果你們發(fā)現(xiàn)我所建立的概念、邏輯過程或方法能用于你們的日常工作，那我自然感到欣慰。我得到的所有結(jié)果任憑你們處置，但是得讓我按自己的方式來追求自己的目標(biāo)。

工程師：你們的老前輩，那些偉大的數(shù)學(xué)家，他們的意見同你們可不一樣。難道歐拉不是既致力于純粹數(shù)學(xué)方面的發(fā)現(xiàn)，又從事工程裝置的理論研究嗎？渦輪機(jī)、柱的屈曲和打樁的基本理論方面，都有著歐拉的貢獻(xiàn)。數(shù)學(xué)分析的發(fā)展是同物理學(xué)的發(fā)展特別是力學(xué)的發(fā)展分不開的。很難設(shè)想，要是沒有為計(jì)算運(yùn)動物體軌跡尋找數(shù)學(xué)工具的迫切要求，人們的頭腦中會孕育有關(guān)微分方程的概念。倘若我們假定運(yùn)動由某些基本的力學(xué)關(guān)系和幾何關(guān)系確定，而這些關(guān)系在運(yùn)動的每一瞬間都成立，就會自然而然地產(chǎn)生微分方程的概念。還有，變分法也主要是為解決物理問題而創(chuàng)立的，有時(shí)解決這些問題本身就是目的，有時(shí)是為了實(shí)際應(yīng)用。十八世紀(jì)和十九世紀(jì)的前幾十年也許是數(shù)學(xué)科學(xué)突飛猛進(jìn)的黃金時(shí)代，那時(shí)，純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)之間沒有明確的界線。大師們把邏輯思維和直觀創(chuàng)造力結(jié)合起來，創(chuàng)立了一系列方法和定理；大功告成之后，進(jìn)行抽象思維的數(shù)學(xué)家著手致力于彌補(bǔ)邏輯推理方面的某些不足之處，把前一時(shí)期大師們的豐碩成果加以編纂，使之系統(tǒng)化。

數(shù)學(xué)家：我覺得你低估了你所說的系統(tǒng)編纂工作的重要性。為了保證正確地應(yīng)用微積分學(xué)和微分方程理論，絕對有必要精確地定義我們所說的極限過程，給出像無窮小、無窮大這樣的術(shù)語的真正涵義，你說對不對呢？你大概不能把伽利略稱為抽象數(shù)學(xué)家或純粹數(shù)學(xué)家吧！也許你還記得，正是伽利略指出了把相等和不等的觀念應(yīng)用于無窮量時(shí)必然會出現(xiàn)的矛盾。他注意到，你可以說整數(shù)比其平方數(shù)的個(gè)數(shù)多，因?yàn)槊總€(gè)平方數(shù)都是整數(shù)，但整數(shù)不全是平方數(shù)；你也可以說，平方數(shù)和整數(shù)的個(gè)數(shù)相同，這同樣也是合理的，因?yàn)槊恳粋€(gè)整數(shù)對應(yīng)著一個(gè)平方數(shù)。可公度性、可數(shù)性、連續(xù)統(tǒng)的邏輯分析、集合論以及近代的拓?fù)鋵W(xué)，這些觀念的建立是人類思維發(fā)展的關(guān)鍵步驟；其中有許多是沒有自覺地考慮物理應(yīng)用而獨(dú)立地構(gòu)想出來的。但是，即使從應(yīng)用的角度看來，也有必要加固我們自己的大廈的基礎(chǔ)，也就是說，改善數(shù)學(xué)的邏輯結(jié)構(gòu)。對級數(shù)收斂性條件（即允許進(jìn)行逐項(xiàng)微分和積分的條件）不作精確的分析，誰也不可能有把握正確無誤地運(yùn)用級數(shù)。在具有想象力和直觀天賦的人們完成主要工作之后，再開始尋求新發(fā)現(xiàn)的牢固基礎(chǔ)，這是一種不正確的傾向。達(dá)朗貝爾就已經(jīng)要求把微積分學(xué)建立在極限論的基礎(chǔ)上了；按你的看法，柯西，勒讓德和高斯無疑在富有創(chuàng)造性的數(shù)學(xué)天才之列，他們?yōu)閿?shù)學(xué)從直觀到嚴(yán)格的過渡做出了卓有成效的貢獻(xiàn)。十九世紀(jì)后半葉，數(shù)學(xué)繼續(xù)朝著當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家（或許是樂觀地）認(rèn)定的完全合乎邏輯和絕對嚴(yán)格的偉大目標(biāo)向前發(fā)展。然而，除了闡明基本原理之外，那個(gè)時(shí)期也為應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展開辟了新的道路。比如說，你提到了微分方程，你們工程師從這一數(shù)學(xué)分支得益非淺。復(fù)變函數(shù)理論、微分方程按奇性的分類以及對這些奇性的研究，都是在你所說的系統(tǒng)編纂時(shí)期內(nèi)發(fā)展起來的，難道你不認(rèn)為這些正是建立微分方程這一數(shù)學(xué)分支的非常重要的步驟嗎？這些理論把通過試湊求解微分方程的原始方式變成了全面了解整個(gè)領(lǐng)域的系統(tǒng)的方法。

工程師：我同意你的觀點(diǎn)，尤其是關(guān)于復(fù)變函數(shù)論的觀點(diǎn)。確實(shí)，保角變換是解決無數(shù)物理問題的一種最有效、最優(yōu)美的方法。我也同意你關(guān)于奇性分析具有根本重要性的看法。事實(shí)上，在非正則奇點(diǎn)附近，我們所用的圖解法和數(shù)值解法肯定會失效或不便于使用，從而必須求助于解析方法。不過遺憾的是，你們數(shù)學(xué)家有點(diǎn)像對人體疾病比對人體正常功能規(guī)律更感興趣的醫(yī)生，或者像關(guān)注人類思維病理失常而不去研究正常思維過程規(guī)律的心理學(xué)家。大多數(shù)情況下，我們必須研究“性質(zhì)良好的函數(shù)”，希望有實(shí)用的方法相當(dāng)有效地確定它們在某些待定情形中的性質(zhì)。

數(shù)學(xué)家：難道你們不會應(yīng)用我們提出的求解微分方程和積分方程的一般方法嗎？如果它們的解由如你所說的“性質(zhì)良好的函數(shù)”給出，那么我看不出還有什么了不得的困難，也不明白你們還要我們干些什么。

工程師：你們的一般定理處理的多數(shù)是解的存在姓和解法的收斂性，你可能記得亥維賽說過的俏皮話：“按照數(shù)學(xué)家的意見，這個(gè)級數(shù)是發(fā)散的；因此，我們或許可以拿它來派點(diǎn)用場?！蹦銈儎趲熧M(fèi)功、絞盡腦汁來證明解的存在性，而我們從物理上看來，這一點(diǎn)是一目了然的。你們很少花費(fèi)精力來尋找和討論實(shí)際有用的解；即使這樣做了，多數(shù)也只是局限于簡單情形，比方說，討論涉及幾何形狀簡單的物體的問題。我來談?wù)勊^特殊函數(shù)。我承認(rèn)數(shù)學(xué)家研究過很多種特殊函數(shù)，把它們的數(shù)值列成了表，對它們的級數(shù)展開式和定積分表示式已經(jīng)作了詳盡研究?？上В@種函數(shù)在工程中應(yīng)用范圍有限。物理學(xué)家在探索基本定律時(shí)可以選擇幾何形狀簡單的試件作實(shí)驗(yàn)研究；工程師卻不得不直接處理形狀復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，他不能僅僅因?yàn)橐环N結(jié)構(gòu)幾何形狀簡單，應(yīng)力分布可用特殊函數(shù)算出，就退而采用這種結(jié)構(gòu)。而且，大多數(shù)特殊函數(shù)僅適用于線性問題。過去，為了簡單起見，物理學(xué)家和工程師往往把他們的問題加以線性化。數(shù)學(xué)家喜歡這種簡化，因?yàn)樗箖?yōu)美的數(shù)學(xué)方法大有用武之地。遺憾的是，隨著工程科學(xué)向前發(fā)展，人們需要得到較為精確的數(shù)據(jù)和進(jìn)一步接近物理真實(shí)性，這就迫使我們想方設(shè)法去解決許多非線性問題。

數(shù)學(xué)家：嗯，很多現(xiàn)代數(shù)學(xué)家對于非線性問題極感興趣。看來，你們迫切需要的是發(fā)展適當(dāng)?shù)慕品椒?。不過，你對我們證明存在性的批評是不正確的，現(xiàn)代數(shù)學(xué)中許多存在性的證明遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了直觀的范圍。我也知道，你們工程師非常成功地使用了各種迭代方法，譬如說，要證明一個(gè)邊值問題的存在性，我們也經(jīng)常采用迭代法，換句話說，我們跟你們一樣，確實(shí)也構(gòu)造了一系列近似解，唯一的區(qū)別在于你們只是假定迭代過程可以產(chǎn)生唯一的解，而我們證明了這一點(diǎn)。還有，在我看來，你們用于解彈性力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)問題的所謂“能量法”，與變分學(xué)中的直接方法密切相關(guān)，我指的是，不解歐拉－拉格朗日微分方程，而直接構(gòu)造有給定邊值的極小化函數(shù)的方法。我覺得，在純粹數(shù)學(xué)分析與應(yīng)用數(shù)學(xué)之間畢竟存在許多共同之處。

工程師：我并不否認(rèn)這一點(diǎn)，事實(shí)上，我一向認(rèn)為，分析是應(yīng)用數(shù)學(xué)的支柱。不過，要是你真正著手把分析應(yīng)用到實(shí)際情形中去，你就會看到，從掌握一種近似方法的一般概念到成功地應(yīng)用這種方法，還有很多工作要做。比方說，存在著可資利用的時(shí)間和人力的問題。做某些類型工作時(shí)，我們可以用精巧的機(jī)械裝置或電動裝置，像微分分析儀或電動計(jì)算機(jī)之類。然而，在大多數(shù)場合下，我們必須不借助于這種手段進(jìn)行計(jì)算，這時(shí)，光知道近似過程的收斂性就不夠了，我們還得確定用哪一種方法能在最短的時(shí)間內(nèi)得到具有給定近似程度的解，必須對逐次近似所改進(jìn)的準(zhǔn)確度做出恰當(dāng)?shù)墓烙?jì)，所有這些實(shí)際問題要求我們進(jìn)行艱苦的實(shí)際研究。我認(rèn)為，我們確實(shí)需要數(shù)學(xué)家的幫助，來改進(jìn)我們的直觀方法，或許不妨說，對我們的直觀方法加以評論和系統(tǒng)化。事實(shí)上，要把數(shù)學(xué)成功地應(yīng)用到于工程問題，需要數(shù)學(xué)家和工程師的密切合作。在表面上截然不同的領(lǐng)域里找出作為它們基礎(chǔ)的共同的數(shù)學(xué)關(guān)系，這決不是一件輕而易舉的事。打算搞應(yīng)用數(shù)學(xué)研究的數(shù)學(xué)家必須對所涉及的物理過程有相當(dāng)透徹的了解。另一方面，為了適當(dāng)?shù)乩脭?shù)學(xué)工具，工程師必須深入鉆研數(shù)學(xué)分析的基本原理，并達(dá)到相當(dāng)高的水平。把一堆機(jī)床雜亂無章地拼湊起來，成不了一個(gè)高效率的金工車間。我們知道，在你們的數(shù)學(xué)寶庫里有著非常管用的機(jī)床，擺在我們面前的任務(wù)是要懂得如何調(diào)整、使用它們。

數(shù)學(xué)家：我覺得你的話有點(diǎn)道理。把你的譬喻引伸一步，為了成批解決工程問題，你們還需要機(jī)床設(shè)計(jì)師——真正的應(yīng)用數(shù)學(xué)家。他們的原有經(jīng)歷可以是各種各樣的：可以來自純粹數(shù)學(xué)界、物理學(xué)界或工程科學(xué)界，但他們的共同目標(biāo)是為工程科學(xué)提供數(shù)學(xué)工具。

— THE END —

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