統(tǒng)計學(xué)的一百年
近日，統(tǒng)計學(xué)知名期刊《International Statistical Review》發(fā)表了Nandini Kannan和Debasis Kundu撰寫的《C. Radhakrishna Rao: A Century in Statistical Science》。說起C.R.Rao，學(xué)過統(tǒng)計的應(yīng)該都知道C-R不等式和Rao-Blackwell定理。而在中文世界里，他的“在終極的分析中，一切知識都是歷史；在抽象的意義下，一切科學(xué)都是數(shù)學(xué)；在理性的世界里，所有的判斷都是統(tǒng)計學(xué)”這段話也非常出名。今天我們就跟隨這篇文章一起品讀C.R.Rao所經(jīng)歷的統(tǒng)計學(xué)一百年。
這篇文章概述了C. R. Rao這位百歲老人的傳奇人生。他的一生經(jīng)歷了Pearson，F(xiàn)isher也經(jīng)歷了大數(shù)據(jù)和人工智能。他的一生就是統(tǒng)計學(xué)的一百年。Rao現(xiàn)在還健在，他將繼續(xù)見證統(tǒng)計學(xué)的第二個一百年！
1. Rao的早期時光
Rao出生于1920年9月10日，是家中的第八個孩子。他的父親是一名巡警，很快認(rèn)識到Rao在數(shù)學(xué)方面的天賦并鼓勵他從事研究工作。他的母親在Rao小時候每天四點喊他起床讀書。這對他的非凡事業(yè)產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。在20歲時，Rao獲得了數(shù)學(xué)碩士學(xué)位。由于戰(zhàn)爭的緣故，很難找到和數(shù)學(xué)相關(guān)的工作，Rao申請了軍方調(diào)查局的一個職位。在這個過程中，他前往Calcutta，而這次旅行徹底改變了他的職業(yè)生涯。
在機(jī)緣巧合下，Rao和一個曾到Calcutta參加統(tǒng)計學(xué)培訓(xùn)項目的年輕人進(jìn)行了一次交談。在認(rèn)識了印度統(tǒng)計研究所(ISI)的一些研究人員同時了解了一些正在進(jìn)行的項目后，Rao確信這個統(tǒng)計學(xué)培訓(xùn)項目不僅能夠提高他的就業(yè)前景還能提供一個繼續(xù)做研究的機(jī)會。就這樣，Rao帶著媽媽給的每月30盧比在1941年1月1日進(jìn)入了ISI。
傳奇科學(xué)家、數(shù)學(xué)家和統(tǒng)計學(xué)家Prasanta Chandra Mahalanobis對Rao的一生產(chǎn)生了非常重要和深遠(yuǎn)的影響。Mahalanobis在ISI被特指為“Professor”。在劍橋讀物理學(xué)時，Mahalanobis偶然看到了Biometrika的一期復(fù)印本（Biometrika是由Karl Pearson，F(xiàn)rancis Galton和Raphael Weldon一起創(chuàng)建的，現(xiàn)仍是統(tǒng)計學(xué)領(lǐng)域最頂尖的四個期刊之一。）統(tǒng)計學(xué)在當(dāng)時正逐漸成長為一門新的學(xué)科，而Mahalanobis很快就意識到統(tǒng)計學(xué)在很多應(yīng)用領(lǐng)域的潛在顯著影響。Mahalanobis回到印度之后在1931年創(chuàng)建了ISI。
Rao在這里結(jié)識了當(dāng)時ISI非常杰出的研究人員，比如R. C. Bose, S. N. Roy, K. R. Nair,和A. Bhattacharya等。在剛剛加入ISI幾個月后，Rao和K.R.Nair就發(fā)表了關(guān)于混淆設(shè)計的論文！在此期間，Rao以87%的最高得分記錄獲得了Calcutta大學(xué)的統(tǒng)計學(xué)碩士學(xué)位。
對于一個23歲的年輕人來講，無論從哪個角度，Rao的碩士論文都是一個非凡的工作。這篇碩士論文有三部分，第一部分關(guān)于實驗設(shè)計共有119頁，第二部分的28頁關(guān)于多元檢驗，最后一部分42頁關(guān)于二元分布。實際上，他的碩士論文完全達(dá)到了博士學(xué)位論文的水準(zhǔn)。他的論文有很多原創(chuàng)性的貢獻(xiàn)，比如給出了挪威經(jīng)濟(jì)學(xué)家Ragnar Frisch所提問題的一個解決方案。而這部分成果在1947年發(fā)表在Econometrica！
2. 1945-創(chuàng)造傳奇的突破性文章！
Rao在1945年發(fā)表的文章"Information and accuracy attainable in the estimation of statistical parameters" Bulletin of the Calcutta Mathematical Society, Vol.37, No.3, pp.81-91, 1945為他的傳奇人生增添了重重的一筆。這篇只有10頁的論文表述簡潔論證優(yōu)美，卻呈現(xiàn)了統(tǒng)計推斷中兩個基礎(chǔ)性的結(jié)果并且孕育了信息幾何這個領(lǐng)域。
2.1 Cramer-Rao不等式-信息界
在20世紀(jì)20年代早期，R.A.Fisher引入了Fisher信息這一概念。Fisher信息可用來測量一個隨機(jī)樣本包含未知參數(shù)的信息量。它測量對數(shù)似然函數(shù)的期望曲率；對數(shù)似然彎曲程度越大，數(shù)據(jù)就能提供更多關(guān)于參數(shù)的信息。Fisher證明對于極大似然估計的漸近方差存在一個下界。
在1945年的文章里，Rao證明對于任意無偏估計，它的方差都大于等于Fisher信息的倒數(shù)。這個結(jié)果通過巧妙地利用Cauchy-Schwarz不等式進(jìn)行了論證。同一時期，瑞典數(shù)學(xué)家Harold Cramer也獨立地建立了信息不等式并把該結(jié)果收錄在他于1946年發(fā)表的書籍《統(tǒng)計學(xué)的數(shù)學(xué)方法》當(dāng)中。
Cramer-Rao下界(CRLB)在幾乎所有科學(xué)和工程領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用。文獻(xiàn)當(dāng)中有很多推廣比如量子CRLB和貝葉斯CRLB。Dembo, Cover和Thomas(1991)綜述了信息理論中的各種不等式及其和數(shù)學(xué)和物理等領(lǐng)域中的不等式的聯(lián)系。他們進(jìn)一步展示了Weyl-Heisenberg不確定性準(zhǔn)則可以從Cramer-Rao不等式得到。
2.2 Rao-Blackwell定理
在1945年所著文章當(dāng)中建立的第二個基礎(chǔ)性結(jié)果涉及利用充分統(tǒng)計量來提高估計量的效率。Rao在文章中指出“如果對于參數(shù)，存在一個充分統(tǒng)計量及一個無偏估計，那么最優(yōu)無偏估計量一定是充分統(tǒng)計量的一個函數(shù)"。嚴(yán)格地，這個結(jié)果表明，如果是未知參數(shù)的一個估計，那么將對充分統(tǒng)計量取條件期望能夠有更小的均方誤差。在1947年的一篇文章中，David Blackwell證明了同樣的結(jié)果。這一結(jié)果被稱為Rao-Blackwell定理，而將一個估計替換為相應(yīng)的條件期望這一過程被稱為Rao-Blackwell化。這一經(jīng)典結(jié)果也有很多現(xiàn)代化的應(yīng)用。Doucet et al. (2000)利用Rao-Blackwell化來提高不同動態(tài)貝葉斯網(wǎng)絡(luò)粒子濾波的效率。Robert and Roberts(2021)則討論了Rao-Blackwell化在Gibbs抽樣以及更一般化的MCMC中的應(yīng)用。
2.3 微分幾何和統(tǒng)計：信息幾何的開端
Rao在1945的文章提出了不同概率分布之間距離或者散度的概念。這是早期少數(shù)一篇利用微分幾何來研究概率模型并創(chuàng)建了信息幾何這一新的領(lǐng)域。Rao將參數(shù)族視為黎曼流形同時把Fisher信息矩陣看作是相應(yīng)的黎曼度量張量。他提出用黎曼度量所誘導(dǎo)的測地線距離作為兩個概率分布差異性的度量。黎曼測地線度量也被稱為Fisher-Rao距離。
Efron(1975)關(guān)于統(tǒng)計曲率的研究使得微分幾何方法在主流統(tǒng)計學(xué)研究中開始起到越來越重要的作用。而在近些年，信息幾何在優(yōu)化、機(jī)器學(xué)習(xí)和深度學(xué)習(xí)等領(lǐng)域的作用越來越大。
在此期間，劍橋大學(xué)的一位人類學(xué)家J. C Trevor向Mahalanobis詢問能否委派ISI的一名專家到英國進(jìn)行一些人類學(xué)方面的數(shù)據(jù)分析。由此命運(yùn)的另一個轉(zhuǎn)折將開啟Rao的人生新篇章。
3. 劍橋——和Fisher一起的歲月
Rao于1946年到達(dá)英格蘭并入讀劍橋大學(xué)國王學(xué)院，跟隨現(xiàn)代統(tǒng)計學(xué)的創(chuàng)始人Ronald Aylmer Fisher攻讀博士學(xué)位。Fisher在1925的文章”統(tǒng)計估計的理論“構(gòu)建了統(tǒng)計推斷的基石。這篇文章當(dāng)中引入了大量基礎(chǔ)性的概念比如相合性、充分性、有效性、Fisher信息、極大似然估計和最優(yōu)性。Efron (2003)在他的文章”統(tǒng)計世紀(jì)“中寫道：”我把1925年看作是統(tǒng)計從巧妙的技術(shù)運(yùn)用變成連貫的學(xué)科的一年"。
到了20世紀(jì)40年代，F(xiàn)isher已到劍橋工作并被冠名為遺傳學(xué)的Balfour講座教授。Fisher同意作Rao博士論文的指導(dǎo)老師，但前提是Rao需要到Fisher的遺傳實驗室工作。于是Rao的一天被排滿了：早上到考古學(xué)和民族學(xué)博物館分析骨骼數(shù)據(jù)，晚上待在遺傳學(xué)實驗室，其他時間則用來攻讀博士學(xué)位。
3.1 1948：得分檢驗——第二篇突破性文章！
在Fisher的遺傳學(xué)實驗室工作過程中，Rao意識到同質(zhì)性檢驗的必要性，而他同時也引入了一個新的基于得分函數(shù)和信息矩陣的統(tǒng)計量。
Rao回憶起當(dāng)時的情景：他給Fisher看他寫得得分統(tǒng)計量的手稿，但Fisher堅持要求Rao必須在實際數(shù)據(jù)上展示統(tǒng)計量的表現(xiàn)才行。根據(jù)Fisher的建議，Rao將得分統(tǒng)計量應(yīng)用于報春花的關(guān)聯(lián)數(shù)據(jù)當(dāng)中并將文章投稿到Fisher所創(chuàng)辦的期刊Heredity。而另一篇發(fā)展得分統(tǒng)計量的理論基礎(chǔ)和性質(zhì)的文章則在1948年發(fā)表于Proceedings of the Cambridge Philosophical Society。
Rao所提的得分統(tǒng)計量現(xiàn)今已成為每一個統(tǒng)計學(xué)家和實際工作者的工具。Neyman和Pearson的似然比，Wald統(tǒng)計量以及Rao的得分統(tǒng)計量經(jīng)常被稱為統(tǒng)計學(xué)的三位一體。
Rao在劍橋過得非常充實，不僅跟隨Fisher學(xué)習(xí)遺傳學(xué)，還從Bartlett學(xué)習(xí)隨機(jī)過程，研習(xí)馮·紐曼和摩根斯坦的“博弈論與經(jīng)濟(jì)行為”，也參加辯論會。
盡管Fisher較少直接參與Rao的工作，他對Rao事業(yè)的影響僅次于Mahalanobis。和Mahalanobis一樣，F(xiàn)isher意識到數(shù)據(jù)和實際應(yīng)用在統(tǒng)計方法發(fā)展中的重要性。Efron (2003)曾寫到：“沒人能比Fisher在統(tǒng)計學(xué)的內(nèi)涵（數(shù)學(xué)基礎(chǔ)）和外延（統(tǒng)計方法）以及它們的融合方面做得更好。他的理論框架總能天衣無縫地和重要的應(yīng)用銜接起來。在Rao的100歲誕辰紀(jì)念文稿中，Efron寫到”Rao在延續(xù)Fisher的統(tǒng)計傳統(tǒng)方面，的確是Fisher的學(xué)生"。
Mahalanobis和Fisher都是非凡的人物，對工作極度熱情，但又經(jīng)常不知妥協(xié)。他們堅信統(tǒng)計研究應(yīng)當(dāng)受實際應(yīng)用所驅(qū)動，他們理解應(yīng)用是如何催生新的理論的發(fā)展，同時他們意識到數(shù)據(jù)質(zhì)量的重要性。Rao認(rèn)為他們是他人生道路上的引導(dǎo)力量。
Rao在1948年8月回到ISI并在1949年7月被授予教授職位。當(dāng)時他還不到29歲！
4. 1950-1978: Rao和印度統(tǒng)計研究所
1947年印度從英國獨立之后面臨很多經(jīng)濟(jì)和社會挑戰(zhàn)。Mahalanobis相信數(shù)據(jù)和統(tǒng)計方法是解決這些挑戰(zhàn)的關(guān)鍵，能夠幫助政府做出更合理的決策。印度第一任總理同時是Mahalanobis的朋友，尼赫魯也這樣認(rèn)為并任命Mahalanobis擔(dān)任印度政府的統(tǒng)計顧問。尼赫魯?shù)闹С謱τ谟《冉y(tǒng)計研究所ISI成為一個全國性重要研究所是非常重要的。
在Mahalanobis的領(lǐng)導(dǎo)下，ISI逐漸成為一個世界級組織。他能夠識別人才并促使他們來ISI工作。同時他明確國際合作的價值，經(jīng)常邀請知名專家來訪問ISI。R. C. Bose和S. N. Roy前往美國之后，Rao已成為ISI實際上的第二號人物。
Rao回國后的第一個工作是完成他的著作“生物學(xué)研究中的高級統(tǒng)計方法“。這是一本關(guān)于多元統(tǒng)計方法及其應(yīng)用的入門書籍。同時Rao開始指導(dǎo)博士生。他的第一個博士生是Basu。Basu從1950年開始讀博士，1953年獲得博士學(xué)位。在后來的歲月里，Basu將對統(tǒng)計推斷做出基礎(chǔ)性的貢獻(xiàn)，其中包括眾所周知的Basu定理。
在ISI期間，Rao基本保持同時指導(dǎo)5-6個博士生，而且涉及統(tǒng)計學(xué)完全不同的領(lǐng)域。其中包括抽樣調(diào)查(A.C. Das, Des Raj)，多元分析(J. Roy)，質(zhì)量控制(A. Mathai),特征化(R. G. Laha), 實驗設(shè)計 (I. M. Chakraborti), 方向性數(shù)據(jù) (J.S. Rao), 組合和圖理論(U.S. R. Murthy, S. B. Rao)。基于他在劍橋所習(xí)得的知識和見解，他同時還指導(dǎo)學(xué)生從事統(tǒng)計遺傳學(xué)(D. C. Rao, K. Dronamraju, Ranajit Chakraborty), 概率論和隨機(jī)過程(S. R. S. Varadhan, V. Varadarajan, K. R. Parthasarathy)以及博弈論 (T. Parthasarathy, T.E.S. Raghavan)。在對他而言相對較新的領(lǐng)域，他會讓學(xué)生仔細(xì)閱讀相關(guān)文獻(xiàn)并撰寫綜述。他非常善于在不同領(lǐng)域之間建立符合直覺的聯(lián)系并提供獨特的解決途徑。
在以ISI為中心的印度統(tǒng)計學(xué)，1930-1960這段時期經(jīng)常被指為統(tǒng)計學(xué)的”黃金年代“。ISI邀請了一系列知名學(xué)者來訪，其中包括Norbert Weiner, Ragnar Frisch, John Kenneth Galbraith, J. B. S. Haldane, Walter Shewhart, A. N. Kolmogorov以及J. L. Doob。Rao鼓勵研究所的老師和博士生要抓住這些難得的機(jī)會，去主動了解統(tǒng)計學(xué)和相關(guān)學(xué)科的新領(lǐng)域。這段時期的學(xué)術(shù)氛圍可以說是非?；钴S的。
為了滿足政府和工業(yè)界的需求，Rao更新了ISI的培訓(xùn)項目，增加了關(guān)于統(tǒng)計質(zhì)量控制和工業(yè)統(tǒng)計的課程。在1953年，ISI增加了一個新的統(tǒng)計質(zhì)量控制的分會來給工業(yè)界提供咨詢服務(wù)。這段時期的一位訪問人員是日本的一位工程師和統(tǒng)計學(xué)家Genichi Taguchi。在二戰(zhàn)后，他和Edward Deming一起幫助日本的公司采用了質(zhì)量控制的原理。Rao關(guān)于正交表的工作對于穩(wěn)健設(shè)計的發(fā)展以及工業(yè)試驗標(biāo)準(zhǔn)的制定起到了非常關(guān)鍵的作用。
Rao同時還主導(dǎo)了國際統(tǒng)計教育中心的培訓(xùn)項目。他還參與了全國抽樣調(diào)查的設(shè)計和規(guī)程的制定。
為了促進(jìn)計量經(jīng)濟(jì)學(xué)和數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的教學(xué)和研究，在1960年成立了印度計量經(jīng)濟(jì)協(xié)會。Rao是其中一個首創(chuàng)者。Ragnar Frisch是挪威經(jīng)濟(jì)學(xué)家，他在1969年和Jan Tinbergen共享了第一屆的諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)家。同時他也是計量經(jīng)濟(jì)學(xué)在20世紀(jì)30年代創(chuàng)立時的其中一位創(chuàng)立者。Rao發(fā)表在Econometrica的文章對Frisch關(guān)于結(jié)構(gòu)方程所提出的一個特征化問題提出了一個解決思路。Rao的很多工作都對經(jīng)濟(jì)學(xué)的發(fā)展起到了很大影響。
在1953年，Rao前往University of Illinois at Urbana- Champaign (UIUC)做了為期一年的訪問研究教授。在此期間，Rao參加了編程課程。返回ISI后，Rao開始推廣計算機(jī)在印度的使用。但由于很多人擔(dān)心自動化會導(dǎo)致失業(yè)從而極大地延緩了計算機(jī)的使用。多年后，Rao說：“我們失去了基于復(fù)雜計算來發(fā)展統(tǒng)計方法的大好機(jī)會”。
盡管有很重的行政事務(wù)，Rao仍然堅持科研工作。他開始寫一本統(tǒng)計學(xué)基礎(chǔ)的新書。這本發(fā)表于1965年的書籍“線性統(tǒng)計推斷及其應(yīng)用”現(xiàn)今已成為統(tǒng)計學(xué)專業(yè)學(xué)生的必讀書籍。同時Rao在Mahalanobis之后擔(dān)任Sankhya期刊的主編。
Mahalanobis在1972去世后，Rao開始擔(dān)任ISI的領(lǐng)導(dǎo)者。之后Rao被任命為“尼赫魯教授”。在匹茲堡的另一次機(jī)遇將再次改變他的職業(yè)生涯。
5. 在美國的歲月
在1978年，Rao在匹茲堡大學(xué)擔(dān)任Mellon冠名教授，后來又在俄亥俄州立大學(xué)擔(dān)任訪問教授。這兩所大學(xué)都提供給他永久職位。Rao當(dāng)時已接近60歲，而60歲在印度大多數(shù)機(jī)構(gòu)是強(qiáng)制退休的年齡。接受美國大學(xué)的邀請能夠使他精力集中在研究方面，并書寫他的事業(yè)的新篇章。
碰巧，Rao的兒子Veerendra決定轉(zhuǎn)學(xué)到匹茲堡大學(xué)去完成工程學(xué)士學(xué)位。于是Rao接受了匹茲堡大學(xué)的邀請，并于1979年秋天成為了數(shù)學(xué)和統(tǒng)計學(xué)系的教授。
盡管該系當(dāng)時有很多頂尖的數(shù)學(xué)家，但在20世紀(jì)70年代統(tǒng)計學(xué)方面的教師卻很少。為增強(qiáng)統(tǒng)計學(xué)方面教學(xué)和科研的實力，該系在1976年聘請了P. R. Krishnaiah。Krishnaiah是多元統(tǒng)計分析方面的權(quán)威。他在榮特-帕特松空軍基地以數(shù)理統(tǒng)計學(xué)家的身份工作了多年。他是Journal of Multivariate Analysis (JMVA)的創(chuàng)刊主編，是統(tǒng)計手冊叢書的主編，同時組織了多個國際會議。
在美國?？哲姷馁Y助下，多元統(tǒng)計分析中心在1982年成立。Krishnaiah和Rao能夠拿到美國空軍的很多大型研究基金來資助多元分析、模式識別和信號處理等領(lǐng)域的基礎(chǔ)和應(yīng)用研究。他在匹茲堡大學(xué)吸引了大批學(xué)者前往匹茲堡進(jìn)行交流訪問。
Krishnaiah在1987年因為癌癥去世。Krishnaiah去世后，Rao開始主持中心的事務(wù)以及JMVA的編輯工作。賓州州立大學(xué)統(tǒng)計系說服Rao作為第一個Eberly講座教授加入統(tǒng)計系。Rao在1988年到了賓州州立大學(xué)統(tǒng)計系工作。
Rao從1988年一直到2001年退休一直擔(dān)任統(tǒng)計系的Eberly講座教授，并于2009年擔(dān)任榮休教授。退休后，Rao擔(dān)任Buffalo大學(xué)生物統(tǒng)計系的研究教授。
6. Rao的研究貢獻(xiàn)
Rao開創(chuàng)性的貢獻(xiàn)涉獵理論和應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)幾乎所有領(lǐng)域以及很多包括經(jīng)濟(jì)學(xué)、電子工程、人類學(xué)和遺傳學(xué)等眾多學(xué)科。這里對Rao的一些工作進(jìn)行概述。
6.1 概率分布的刻畫
在某一天他偶然讀到了H. V. Allen撰寫了一篇文章，Rao開始對特征化問題產(chǎn)生興趣。這篇文章對以下由Ragnar Frisch所提的問題給出了一個解決方案。該問題如下：若兩個隨機(jī)變量滿足
在什么條件下，對的回歸是線性的。這里是獨立變量而是未知常數(shù)。Rao的結(jié)果建立了允許方差無窮的充分必要條件。這部分結(jié)果是Rao碩士論文的一部分，并于1947年發(fā)表在Econometrica。他在這方面的研究給出了Poisson, gamma, 一元多元正態(tài)，無窮方差穩(wěn)定分布的重要刻畫。
6.2 廣義逆
Rao考慮了在正則方程中的矩陣奇異時最小二乘的一般性理論。在1955年的文章中，Rao提出了奇異矩陣偽逆的概念。同一年，Roger Penrose在Proceedings of the Cambridge Philosophical Society發(fā)表了”矩陣的廣義逆“。Roger Penrose在2020年獲得了諾貝爾物理學(xué)獎。盡管Rao所提偽逆不滿足Moore-Penrose的限制，但Rao的偽逆對于最小二乘在一般情形下提供了一個答案。
6.3 多元統(tǒng)計分析
在Mahalanobis距離的計算中，涉及協(xié)方差矩陣的逆。在矩陣較大時，在當(dāng)時是不易求解的。Rao對此提出了一種簡化求解的方法。在跟隨Fisher攻讀博士學(xué)位期間，Rao將Fisher對分類問題的工作進(jìn)行了推廣。
在1948年，Rao將一元方差分析推廣到多元情形。Rao發(fā)展了多元方差分析當(dāng)中常用統(tǒng)計量Wilk的近似方法。
在分析一些二元數(shù)據(jù)時，Rao發(fā)現(xiàn)不管基于Mahalanobis距離還是Hotelling 統(tǒng)計量都沒有顯著性，但邊際檢驗卻有顯著性。Healy將這種現(xiàn)象稱為Rao悖論。這也反映了維數(shù)詛咒問題。
Rao將方差分析進(jìn)行了推廣，提出了多樣性分析，在生態(tài)學(xué)、社會學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科有很多應(yīng)用。
Rao還研究了如何確定因子個數(shù)。
除此之外，Rao還對生長曲線分析、主成分分析、方差成分估計等都有很多基礎(chǔ)性的貢獻(xiàn)。由于在多元統(tǒng)計分析方面的貢獻(xiàn)，Rao在1989年被授予Samuel S. Wilks紀(jì)念獎。
6.4 統(tǒng)計信號處理
在匹斯堡大學(xué)工作期間，Rao和Krishnaiah從美國空軍獲批了很多項目來從事信號處理方面的理論和方法研究。美國空軍感興趣于如何提出有效的統(tǒng)計方法來分析來自多個傳感器的含噪音的信號。Rao帶領(lǐng)他的團(tuán)隊發(fā)展了相應(yīng)的參數(shù)估計、假設(shè)檢驗、模型選擇以及有效算法等。
Rao的遠(yuǎn)見：大數(shù)據(jù)時代的統(tǒng)計
在長達(dá)接近80年的職業(yè)生涯中,Rao不僅見證了統(tǒng)計學(xué)逐漸發(fā)展成一門獨立的科學(xué)學(xué)科，而且是為數(shù)不多的統(tǒng)計學(xué)基石的建立者之一。他明白，對于統(tǒng)計學(xué)來講，要想維持一個有影響的學(xué)科，統(tǒng)計學(xué)必須適應(yīng)不斷變化的世界。
在二十世紀(jì)的前半部分，統(tǒng)計學(xué)的基礎(chǔ)是通過運(yùn)用強(qiáng)大的數(shù)學(xué)和概率論工具發(fā)展的。Efron在他的文章”統(tǒng)計世紀(jì)“中，把這段時期稱為統(tǒng)計學(xué)理論的黃金年代。在這篇文章里面，Efron還寫到”具有像Fisher, Neyman, Pearson, Hotelling, Wald, Cramer和Rao那樣才智的人將統(tǒng)計學(xué)理論引向成熟“。
在和Mahalanobis以及Fisher的工作中，Rao意識到由實際應(yīng)用驅(qū)動的研究的重要性。到了二十世紀(jì)50年代，Rao開始體會到計算機(jī)和計算方法在統(tǒng)計方法發(fā)展中的關(guān)鍵作用。作為一個具有極端預(yù)見性的科學(xué)家，Rao預(yù)見了大數(shù)據(jù)革命以及由數(shù)學(xué)、統(tǒng)計學(xué)和計算機(jī)科學(xué)所構(gòu)成的交叉學(xué)科。在2007年，他建立了C.R. Rao數(shù)學(xué)、統(tǒng)計學(xué)和計算機(jī)科學(xué)前沿研究所(AIMSCS)。Rao持續(xù)拓展統(tǒng)計學(xué)的邊界來解決大數(shù)據(jù)時代和人工智能中的挑戰(zhàn)問題。版權(quán)屬于原作者，如有侵權(quán)必刪除
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