Nature 最新封面：兩大數(shù)學難題被 AI 突破！DeepMind yyds！
來自量子位
現(xiàn)在，AI 不僅能參與數(shù)學研究，甚至還快人一步，開始幫助人類提出數(shù)學猜想了。
就在今天，這只由 DeepMind 與頂級數(shù)學家合作研發(fā)的 AI，登上了最新一期 Nature 封面。
有多頂級呢？這些數(shù)學家全部都來自牛津大學、悉尼大學，其中還不乏英國皇家學會史上最年輕的院士。
就是這位，曾在兩年內(nèi)斬獲謝瓦萊獎、克雷研究獎等 4 項數(shù)學大獎的 Geordie Williamson：
對于這項研究，DeepMind 官方自稱其?“首次證明了人工智能可以走在純數(shù)學研究的前沿”。
為什么這次的研究被 Nature 評價為「AI 與人類合作」甚至是「AI 指引人類直覺」，與「人類使用 AI 工具」有何不同？
首先我們要知道，證偽一個猜想相對簡單，只需要找出一個反例即可。
但從零開始提出一個全新猜想這種工作，AI 還是首次參與進來。
猜想本身是推動數(shù)學發(fā)展的一大動力，世界近代三大數(shù)學難題都是猜想：費馬猜想、四色猜想和哥德巴赫猜想。
此前提出猜想主要靠少數(shù)科學家的洞察力和個人經(jīng)驗積累，比如歷史上兩位天才，物理學家愛因斯坦和數(shù)學家拉馬努金。
但隨著科學不斷發(fā)展，需要研究的問題復雜程度逐漸超出人類能力極限。
有的問題涉及的數(shù)據(jù)規(guī)模，是一個人一輩子也研究不完的。
有的研究對象復雜程度之高，甚至可以有幾千個維度，超出了一般人類大腦從直覺上可以理解的能力。
除此之外，這次研究也幫忙搞了搞數(shù)學領域內(nèi)存在了 40 年的陳年老題，得到了不小進展。
參與這次研究的數(shù)學家之一，牛津大學的 Marc Lackenby 說：
我很震驚機器學習在直覺指引上的作用這么大，也沒想到我過去先入為主的一些觀念被 AI 給顛覆了。
沒有參與這次研究的另一位數(shù)學家，以色列特拉維夫大學的 Adam Zsolt Wagner 也很羨慕：
如果沒有這個工具，我們數(shù)學工作者可能會花上數(shù)周至數(shù)月的時間，最終發(fā)現(xiàn)證明的公式或定理是錯誤的 。”
那么，AI 這次到底幫助數(shù)學家們解決了哪些問題？下面來一探究竟。
AI 發(fā)現(xiàn)代數(shù)和幾何間的聯(lián)系
第一個問題關于紐結理論（Knot Theory），是拓撲學的一個分支。
用數(shù)學語言來講，紐結是一個圓在三維實歐氏空間中的嵌入。
呃…… 還是看圖吧。
假設你有一根繩子，打上一個結。
再把兩端粘起來，這就是一個紐結?（Knot）了。
結可以多打幾個，比如這樣：
或者，這樣？
數(shù)學家倒是不關心紐結到底是用鞋帶還是面包做的，他們最關心一件事：
一個復雜的紐結能不能被還原成簡單的紐結，如果能就說明這兩種紐結在拓撲上是等價的。
以此為依據(jù)給紐結分類，才能理解它們的性質(zhì)，進一步與實際應用問題建立聯(lián)系。
紐結理論在現(xiàn)實世界中，可以用來確定一個化學分子是否有手性，還有希望靠拓撲量子計算模型構建出量子計算機。
數(shù)學家們從幾何特征和代數(shù)特征兩個角度去研究紐結，分別定義了紐結的幾個屬性。
但問題難就難在紐結的種類太多，自 19 世紀以來人類已經(jīng)收集了無數(shù)種，如果用上計算機自動生成，現(xiàn)在每天都能生成幾十億種。
普通人難以從海量數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)隱藏的模式，AI 這次卻做到了。
AI 的貢獻是發(fā)現(xiàn)了紐結的幾何特征和代數(shù)特征之間存在直接的關聯(lián)。
數(shù)學家由此發(fā)現(xiàn)提出猜想，再給出嚴格證明，為紐結問題研究開辟了新的方向。
40 年難題終于有望得證
除了解決了扭結問題之外，另一個則與表示論?（Representation theory）相關。
表示論是數(shù)學中抽象代數(shù)的一支，表示的所有構件都不可約。
而這種不可約表示（Irreducible representations）的結構主要受 Kazhdan-Lusztig（KL）多項式的影響。
組合不變性猜想（Combinatorial Invariance Conjecture）就是與 KL 多項式相關的一個重要猜想。
它指出，對稱群 SN?中兩個元素的 KL 多項式可以從它們的無標記 Bruhat 區(qū)間，即一個有向圖中計算出來：
△Bruhat 區(qū)間及其 KL 多項式的例子
這一猜想已經(jīng)存在了 40 年，卻只有部分進展。
兩位科學家將這個猜想作為初始假設，通過 AI 中的監(jiān)督學習模型從 Bruhat 區(qū)間預測 KL 多項式。
通過計算與確定的歸因技術（Attribution Techniques）相關的代表性子圖，并分析這些圖與原始圖的邊緣分布，他們發(fā)現(xiàn)了進一步的結構證據(jù)：
如下圖，KL 多項式可以通過一個公式直接從超立方體和 SN-1?部分計算出來。
因此，科學家們提出猜想：
一個無標記的 Bruhat 區(qū)間的 KL 多項式可以用上述的方法，并通過任何超立方體分解（hypercube decomposition）進行計算。
雖然還沒有進行嚴格證明，但目前他們已能在 300 萬個測試例子上驗證這一方法。
如果驗證成立，那么對稱群（Symmetric Group）的組合不變性猜想問題將得到解決。
AI 引導數(shù)學家直覺
那么整體來說，數(shù)學家們到底是怎么與 AI 合作解決問題的？
或者說 AI 到底是如何幫助引導數(shù)學家的直覺的呢？
簡單來說，這篇論文中提出了一種框架，用來快速驗證對兩個量之間關系的猜想（直覺）是否值得繼續(xù)探索，如果是的話，則指導如何進一步研究。
△框架流程圖
具體的，先通過監(jiān)督學習來驗證數(shù)學對象中的某一結構 / 模式的假設是存在的。
然后，再使用歸因技術來深入理解這些模式。
在這個過程中，AI 能夠以人類無法比擬的規(guī)模輸出數(shù)據(jù)，并從數(shù)據(jù)中挑選出人類無法檢測到的模式。
這正是 AI 和人類合作與傳統(tǒng)的數(shù)學研究方法的不同。
其實，數(shù)學在很大程度上是一門對關系和模式進行研究的學科。
比如我們小學時就學過的勾股定理，如果將平面上的三角形擴展到八維空間中的 900 邊多面體，還能輕易找到 a2+b2=c2?的等價形式嗎？
答案是：數(shù)學家們可以找到，但他們能做的工作量有限。
因為一個人必須評估許多例子，然后才能確定觀察到的公式是普遍通用而非偶然。
當然，這篇論文也并不打算創(chuàng)造一個 “通用的純數(shù)學助手”，而是讓 AI 去幫助數(shù)學家更有效地發(fā)現(xiàn)和識別數(shù)學中的新模式。
論文的作者之一，牛津大學的 Juhász 教授表示：
任何可以生成足夠大數(shù)據(jù)集的數(shù)學領域都可以使用這種方法，而生物、經(jīng)濟學等領域也將從其中收益。
除了 Nature 論文外，研究人員還在 Arxiv 上發(fā)布了數(shù)學角度解釋兩個研究的論文，將來會投到合適的數(shù)學期刊。
另外還為兩個問題提供了 Colab 代碼，讓你體驗一下與 AI 合作搞科研是什么感覺。
論文鏈接：
https://www.nature.com/articles/d41586-021-03593-1
https://arxiv.org/abs/2111.15323
https://arxiv.org/abs/2111.15161
Colab 地址：
https://colab.research.google.com/github/deepmind/mathematics_conjectures/blob/main/knot_theory.ipynb
https://colab.research.google.com/github/deepmind/mathematics_conjectures/blob/main/representation_theory.ipynb
參考鏈接：
[1]https://deepmind.com/blog/article/exploring-the-beauty-of-pure-mathematics-in-novel-ways
[2]https://techcrunch.com/2021/12/01/ai-does-pure-mathematics-and-protein-hallucination/
[3]https://www.nature.com/articles/d41586-021-03593-1