泰勒級數(shù)的物理意義

數(shù)學(xué)算法俱樂部

日期：2020年05月15日

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來源：漫談高數(shù)

高等數(shù)學(xué)干嗎要研究級數(shù)問題?

是為了把簡單的問題弄復(fù)雜來表明自己的高深? No，是為了把各種簡單的問題/復(fù)雜的問題，他們的求解過程用一種通用的方法來表示。

提一個問題，99*99 等于多少? 相信我們不會傻到列式子去算，口算也太難了而是會做一個迂回的方法，99*(100-1)，這樣更好算。那么 995*998 呢? 問題更復(fù)雜了，(1000-5)*(1000-2)，式子比直接計算要復(fù)雜，但是口算卻成為了可能。歸納一下，x*y 這樣的乘法運算或者冪次運算，如何直接計算很麻煩的話，我們可以用因式分解的方法(中學(xué)生都能理解)來求解。但是因式分解仍然不夠通用，因為我們總是需要通過觀察"特定"的待求解式子，找到一種規(guī)律，然后才能因式分解，這是我們從小學(xué)到中學(xué)數(shù)學(xué)方法的全部: 特定問題特定的解答方法。那么，到了高等數(shù)學(xué)，怎么辦? 研究一種方之四海皆準(zhǔn)的，通用的方法。

泰勒級數(shù)的物理意義是什么? 就是把方程 g(x)=0 的解，寫成曲線方程的形式看看和 x 軸有什么交點。例如 f(x)=x^2=5 等價于 g(x)=x^2-5=0 和 x 軸的交點。而這個曲線交點可以用直線切線的逼近方法(牛頓迭代法)來實現(xiàn)，這就是泰勒級數(shù)的物理意義: 點+一次切線+2 次切線+...+N 次切線。每次切線公式的常數(shù)，就是泰勒級數(shù)第 N 項的常數(shù)。OK，從泰勒級數(shù)的式子可以看到，為了保證兩邊相等，且取 N 次導(dǎo)數(shù)以后仍然相等，常數(shù)系數(shù)需要除以 n!，因為 x^n 取導(dǎo)數(shù)會產(chǎn)生 n!的系數(shù)。泰勒級數(shù)，就是切線逼近法的非跌代的，展開式。泰勒公式怎么來的，其實根據(jù)牛頓逼近法就可以得到從 1 階一直可以推導(dǎo)到 N 階。假設(shè)f1(x)=f(x)-f(a) ，由牛頓逼近法有

f1(x)=f'(a)(x-a)+o(x-a)^2 ，

所以

f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+o(x-a)^2

同理，假設(shè)

f2(x)=f(x)-f(a)-f'(x)(x-a)，

兩邊求導(dǎo),

f2'(x)=f'(x)-f'(x)-f''(x)(x-a)=-f''(a)(x-a)

再求不定積分

f2(x)=-(1/2)f''(a)(x-a)^2+C，

C 就是那個高階無窮小(需要證明)

所以 f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+f''(a)(x-a)^2+o(x-a)^3 依次類推，最后就有了泰勒公式。另一種證明過程干脆就是先寫出來g(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+...+an(x-a)^n ，然后從等式序列，g(a)=f(a),g'(a)=f'(a),...g'''''(a)=f'''''(a)......就得到所有的 a0-an 的泰勒展示系數(shù)了。

泰勒級數(shù)展開函數(shù)，能做什么？對于特定的 x 取值，可以求它附近的函數(shù)。y=x^100 展開以后可以求 x=1 附近的 0.9999 的 100 次方等于多少，計算過程和結(jié)果不但更直觀，而且可以通過舍棄一些高階項的方法來避免不必要的精度計算，簡化了計算，節(jié)省了計算時間(如果是計算機計算復(fù)雜數(shù)字的話)。

在圖像處理的計算機軟件中，經(jīng)常要用到開方和冪次計算，而 Quake III 的源代碼中就對于此類的計算做了優(yōu)化，采用泰勒技術(shù)展開和保留基本項的辦法，比純粹的此類運算快了 4 倍以上。

還可以做什么呢? 對于曲線交點的問題，用方程求解的辦法有時候找不到答案，方程太復(fù)雜解不出來，那么用泰勒級數(shù)的辦法求這個交點，那么交點的精度要提高，相當(dāng)于泰勒級數(shù)的保留項要增加，而這個過程對應(yīng)于牛頓--萊布尼茨的迭代過程，曲線交點的解在精度要求確定的情況下，有了被求出的可能。

看到了吧，泰勒技術(shù)用來求解高方程問題，是一種通用的方法，而不是像中學(xué)時代那樣一種問題一種解決辦法，高等數(shù)學(xué)之所以成為"高等"，就是它足夠抽象，抽象到外延無窮大。那么，更感興趣的一個問題是，對于高階的微分方程表達(dá)的問題，怎么求解呢? 泰勒級數(shù)不行了，就要到傅立葉級數(shù)-傅立葉變換-拉普拉斯變化。這幾個工具廣泛用于各個領(lǐng)域的數(shù)學(xué)分析，從信號與系統(tǒng)到數(shù)理方程的求解。

中學(xué)數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)最大的區(qū)別是什么? 中學(xué)數(shù)學(xué)研究的是定解問題，例如根號 4 等于 2。高等數(shù)學(xué)研究什么呢----它包含了不定解問題的求解，例如用一個有限小數(shù)位的實數(shù)來表示根號 5 的值。我們用泰勒級數(shù)展開求出的根號 5 的近似值，無論保留多少位小數(shù)，它都嚴(yán)格不等于根號 5，但是實際應(yīng)用已經(jīng)足夠了。不可解的問題，用高等數(shù)學(xué)的通解辦法，可以求出一個有理數(shù)的近似解，它可以無限接近于上帝給出的那個無理數(shù)的定解。通解可行性的前提是，我們要證明這種接近的收斂性，所以我們會看到高等數(shù)學(xué)上冊的課本里面，不厭其煩的，一章接一章，一遍又一遍的講，一個函數(shù)，在某個開區(qū)間上，滿足某個條件，就能被證明收斂于某種求和式子。初等數(shù)學(xué)求的是定解，那么如果沒有定解呢? 高等數(shù)學(xué)可以求近似解。牛頓萊布尼茨就是切線逼近法的始祖。例如求解一般的 3 次方程的根，求解公式可以是定解形:(http://baike.baidu.com/view/1382952.htm)。但是問題是根號內(nèi)的無理數(shù)仍然無法表示出來。

那么逼近法求一個數(shù)的N次方根就派上用場了。

f{m}=m(k+1)=m(K)+{A/m^2.(k)-m(k)}1/n.

n 是方次，A 被開方數(shù)。

例如，A=5，5 介于 1 的 3 次方至 2 的 3 次方之間。我們可以隨意代入一個數(shù) m，例如 2，那么：

第一步，2+[5/（2×2）-2]×1/3=1.7;

第二步，1.7+[5/(1.7×1.7)-1.7]×1/3=1.71;

第三步，1.71+[5/(1.71×1.71)-1.71]×1/3=1.709;

每次多取一位數(shù)。公式會自動反饋到正確的數(shù)值。

具體的求解過程：先說說泰勒級數(shù)：一個方程，f(x)=0，求解 x，它唯一對應(yīng) x-f(x)二維圖像上的一條曲線。那么 x 的求解過程可以用牛頓-萊布尼茨逼近法求得(迭代)。例如 x^2=5 可以看成f(x)=x^2-5=0 的求曲線和 X 軸的交點。牛頓迭代法可以用來求解線性方程的近似解。那么如何求解非線性方程呢? f(x)用泰勒級數(shù)展開，取前 N 項(通常 N=2)，得到一個線性的方程，這個方程相當(dāng)于是原來的曲線在求解點附近做了一條切線，其求解過程和牛頓迭代法等價。迭代次數(shù)越多，越接近非線性。用泰勒級數(shù)來分解 sin(t)，把一個光滑的函數(shù)變成一些列有楞有角的波形的疊加。用傅立葉級數(shù)來分解方波，把有楞有角的波形變成一些光滑曲線的集合。但是傅立葉級數(shù)舍棄項的時候，會產(chǎn)生高頻的吉布斯毛刺(上升下降的邊沿，迪利赫里條件不符合)。局部的收斂性不如泰勒級數(shù)展開----因為泰勒級數(shù)展開有逐項衰減的常數(shù)因子。

舉個例子，用泰勒級數(shù)求解歐拉公式。沒有歐拉公式，就沒有傅立葉變換，就沒有拉普拉斯變化，就不能把高階導(dǎo)數(shù)映射到 e 的倒數(shù)上面，也就無法把微分方程等價為一個限行方程。歐拉公式有什么用? 它把實數(shù)的三角運算變成了復(fù)數(shù)的旋轉(zhuǎn)運算，把指數(shù)運算變成了乘積運算，把純微分方程的求解過程變成了指數(shù)方程的求解過程，大大簡化了運算。推廣一下。怎么分析一個函數(shù)?怎么分析一個幾何的相交問題?怎么解決一個多維的問題? 初等的方法是根據(jù)函數(shù)或者圖形的幾何性質(zhì)，去湊答案----當(dāng)然大部分情況是湊不到答案的，因為能湊到答案是因為問題/題目給出了一些特殊的數(shù)學(xué)關(guān)系以使得我們恰好能湊到答案! 例如一個圓球在正方體里面，求通過某個頂點的切面方程或者距離什么的，我們可以通過做輔助面求得。但是這個求解太特殊了，對于普通的點，例如切面方程13x+615y+72z-2=0 這樣的，初等方法就無能為力了。說白了初等方法就是牛頓在<<自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理>>提到的幾何方法，牛頓并沒有把微積分上升到解析的思想。普通數(shù)學(xué)分析則提出了解析的代數(shù)運算思想，把具體的問題用通用的方式來求得，而問題的題設(shè)只是一種把函數(shù)的實際參數(shù)帶入形式參數(shù)的過程，使得問題可以形式化了----如果數(shù)學(xué)問題不能形式化就不能通過狀態(tài)機來求解，試想，計算機怎么會畫輔助線呢? 幾何圖形是有意義的，但是形式求解本身沒有意義，它必須把實際的"意義"問題變成代數(shù)運算，例如求最大值最小值變成導(dǎo)數(shù)=0。電路分析當(dāng)中的模型是什么? 就是數(shù)學(xué)建模。因為電壓和電流是可以測量的量，那么我們就要看什么量是不變量/變量，什么量是自變量/因變量。如果電壓是不變量，我們認(rèn)為是理想電壓源；如果電流是不變量就是理想電流源，如果電壓電流的比例不變就是恒定電阻；如果電壓電流乘積不變就是理想功率源。把控制電路作為一個整體，那么電壓/電流控制電壓/電流，作為一個黑盒，對外的特性就是電壓轉(zhuǎn)移系數(shù)，電流轉(zhuǎn)移系數(shù)，轉(zhuǎn)移電阻和轉(zhuǎn)移電抗。在物理學(xué)的電場分析當(dāng)中電壓/電勢是一個矢量，但是到了集總電路分析的領(lǐng)域就退化成了一個標(biāo)量。對于復(fù)雜問題的分析，好比物理學(xué)當(dāng)中的動量/能量守恒，電路分析是以電流守恒為基礎(chǔ)的，于是就有了節(jié)電電流法和環(huán)路電壓法的概念。這些概念的建立都是為了分析的目的而存在的，是分析工具。我們首先得到一個工具，當(dāng)直接分析很困難的時候，我們采用逼近的方法來解決----因為極限就是我們所求的。正是因為解析的思想是一種通用的求解方式，愛因斯坦在晚年才會追求 4 大場的統(tǒng)一理論，當(dāng)然他忽略了這個"解析"的形式系統(tǒng)本身在量子的尺度上失效了，忽略了不確定性和概率的影響，令人惋惜。說的太遠(yuǎn)了，高數(shù)里面為什么有那么多種正交展開? 泰勒級數(shù)，傅立葉級數(shù)，羅朗級數(shù)----其實就是因為初等的方法無法精確分析出定解，那么就去尋找一種"不斷逼近"的方法來求解。復(fù)變函數(shù)研究的就是如何用冪級數(shù)不斷的逼近原函數(shù)這個基本命題。

泰勒是怎么想出來的?

為什么泰勒級數(shù)，傅立葉級數(shù)，這些展開式都可以寫成某個通項公式的和呢? 是不是真理都是簡單的美的，就像畢達(dá)哥拉斯所設(shè)想的一樣? 這個觀點也許搞反了因果的方向。我們看一下泰勒級數(shù)是怎么得到的。泰勒假設(shè)f(x)=f(a)+f'(x)(x-a)+o(x-a)^2，這個是牛頓萊布尼茨公式可以推出來的，那么有了一次項以后，如何繼續(xù)逼近? 方法類似，一次的求解是g1(x)=f(x)-f(a)=f'(x)(x-a)，那么可以寫出g2(x)=f(x)-f(a)-f'(x)(x-a)兩邊對 x 求導(dǎo)再求不定積分，就得到了 2 階的泰勒級數(shù)。依次類推，可以得到 N 階的泰勒級數(shù)。由于每一階的推導(dǎo)過程是"相似"的，所以泰勒項數(shù)的子項肯定也就具有了某種形式意義上的相似性。說白了，不是因為客觀存在某種規(guī)律使得函數(shù)可以展開成具有通項公式的冪級數(shù)，而是為了把函數(shù)展開成具有通項公式的冪級數(shù)再去看每個子項應(yīng)該等于什么，然后為了保證嚴(yán)格再給出收斂以及一致收斂的條件。

不是客觀存在某種"簡單而且美"的真理，而是主體把某種"簡單而且美"的形式強加給客觀，再看客觀在"強加"語境下的特性如何。傅立葉級數(shù)的思想，頻率分析的思想，和這個相似，是把我們心中的某個概念賦予外界的實在，按主管意識的想法來拆借外界----只有這樣，思想才能被理解。當(dāng)然，實數(shù)范圍的泰勒級數(shù)和傅立葉級數(shù)展開的條件仍然比較嚴(yán)格，復(fù)變函數(shù)引入了對應(yīng)的洛朗級數(shù)和傅立葉/拉普拉斯變換，通用性強多了。說白了，復(fù)變函數(shù)就是函數(shù)逼近論。為了解決初等思想沒法解決的不可能想明白的問題而引入的高等方法。逼近思想的一個應(yīng)用就是理解曲率的公式A=|y''|/sqrt(1+y'^2)。畫出逼近圖形就可以理解了，用兩個相似三角形就可以證明這個公式。

復(fù)變函數(shù)說白了就是 2 維正交元素組成的數(shù)域。

(1+i)^i=exp(iLn(1+i))=exp(i[Ln|1+i|+i(arg(1+i)+2kPi])=exp(-Pi)

(1/4+2k)*(cos[ln2/2]+isin[ln2/2])，是一個正交的表達(dá)式，它保留了兩個方向上的分量，使得 2 維分析變得可能。這樣一來，高等數(shù)學(xué)當(dāng)中的曲線積分，積分的變量不再是 x 和 y 而是只剩下了 z，形式上簡單多了。

假設(shè)曲線積分 S1=S(Pdx+Qdy)其中Q=x^2-2xy-y^2,P=x^2-y^2+2xy，顯然滿足格林公式。然后負(fù)數(shù)積分 S(z^2)dz=S(x^2+2xyi-y^2)d(x+yi)=S( (x^2-2xy)dx+(y^2-2xy)dy )。而S(x^2+2xyi-y^2)d(x+yi)實部=S(x^2-y^2)dx-2xy^2dy，虛部=S(2xydx+(x^2- y^2)dy)，實部和虛部相加就是 S1，也就是說，S 是 S1(曲線積分和路徑無關(guān))的復(fù)數(shù)形式。我們可以驗證 S(z^2)dz

沿不同積分路線從起點到終點的積分結(jié)果。z^2=(x^2-y^2)+i2xy，顯然滿足柯西-黎曼條件。于是它和實數(shù)積分的格林公式統(tǒng)一了。

實際的模型總是難以精確的解釋的,所以我們創(chuàng)造一些理想模型去逼近現(xiàn)實。當(dāng)然，兩者不會相等，但是只要誤差在容許的范圍之內(nèi)，我們認(rèn)為數(shù)學(xué)的分析就成功了。這就是一切數(shù)學(xué)建模的思想。工科電子類的專業(yè)課，第一門數(shù)學(xué)建模的課程就是電路分析。這里傳輸線的問題被一個等效電路替代了。實際電源

被一個理想的電壓源加上一個電阻替代了，三級管放大電路的理論模型就是電流控制的電流源。一切都是為了分析的方便。只要結(jié)果足夠近似，我們就認(rèn)為自己的理論是有效的。出了這個邊界，理論就需要修正。理論反映的不是客觀實在，而是我們"如何去認(rèn)識"的水平，理論是一種主觀的存在，當(dāng)實際情況可以影射到同一種理論的時候，我們說理論上有了一種主觀的"普遍聯(lián)系"，就像電路分析和網(wǎng)絡(luò)流量的拓?fù)浞治鲇泻芏喙餐c。這種普遍聯(lián)系不是客體的屬性，只和主體的觀點有關(guān)。

說點題外話，對于工科電子類/計算機類的學(xué)生來說，我們學(xué)習(xí)了太多了經(jīng)過精簡壓縮貫通的課程，以至于不知道了這些理論原有的面貌。有一種趨勢就是把重要的思想性的原理性的東西去掉只留下工程實用性的內(nèi)容下來。于是工科學(xué)生學(xué)到的都是"閹割"過的科學(xué)與技術(shù)----缺少靈魂的學(xué)問是無法用來做研究的。

沒有強大的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，所謂的"科研"，只能是某種一邊發(fā)明數(shù)學(xué)一邊湊答案的抓狂，只能是空談。還是老老實實的做項目，搞軟硬件研發(fā)，開發(fā)市場，做技術(shù)支持，寫報告，等等。

—?THE END —

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