英文原文：https://www.statisticalconsultants.co.nz/blog/benfords-law-and-accounting-fraud-detection.html

大家好，我是小伍哥，今天給大家分享一個好像有用，好像又沒啥用的奇奇怪怪的知識，風控嘛，就是玩兒。

〇、“本福特定律”是什么？

“本福特定律”（Benford's law），也稱“本福特法則”，它說明一堆從實際生活得出的數據中，以1為首位數字的數（如12、135、1083首位數字均為1）的出現概率約為總數的三成，接近人們主觀直覺得出的期望值1/9的3倍。

推廣來說，越大的數，以它為首位數字甚至是首幾位數字出現的概率就越低。在十進制首位數字的出現概率中，1最高（30.1%），逐漸遞減，9最低（4.6%）。

在美國大選中，有人就使用了該定律質疑拜登選票異常，在統(tǒng)計了特朗普和拜登在威斯康星州密爾沃基縣470多個選區(qū)的得票數首位數字后發(fā)現，特朗普的這一曲線較為符合“本福特定律”的曲線，而拜登的曲線形狀則出現異常。拜登在包括威斯康星州密爾沃基、伊利諾伊州芝加哥和賓夕法尼亞州阿勒格尼的曲線均不滿足“本福特定律”，而與此同時，特朗普在多個地區(qū)的曲線卻又正好滿足或基本滿足該定律。

一、基本概念

本福特定律（也稱為第一位數法或本福特分布）是一種概率分布，許多統(tǒng)計學的（但不是全部）數據集的第一個數字符合。例如，


15435 首位是 156    首位是 59001  首位是 9199   首位是 19     首位是 9

本福特定律通常可用作欺詐性數據的指標，并可協(xié)助審計會計數據。本福特的分布是一種不均勻的分布，較小的數字比較大的數字有更大的出現j可能。

二、數位分布概率
第1位數字
出現概率
1
0.301
2
0.176
3
0.125
4
0.097
5
0.079
6
0.067
7
0.058
8
0.051
9
0.046

三、本福特分布圖

四、本福特分布公式

六、本福特定律適用于哪類數據？

需要注意的是，“本福特定律”也有一定的使用條件。首先，數據樣本需要盡可能的多，至少要在3000個以上；其次，數據樣本跨度要大，比如人的身高就不滿足“本福特定律”，因為大多數人身高在1米至2米這一區(qū)間；最后，數據樣本應是自然的，不能有人為操控，例如手機號碼和郵政編碼不滿足“本福特定律”，因為這些都是1開頭或特定數字開頭。

也正是因為有特定使用條件，“本福特定律”可用于檢查各項數據是否存在造假行為，因為若有人為因素影響數據，所得首位數字的概率及概率曲線圖將不符合“本福特定律”。

在大部分情況下，本福特定律可以適用于具有以下特征的數據：

具有通過來自多個分布的數字的數學組合形成的值的數據。
具有多種數字的數據，例如具有數百，數千，數萬等數值的數據。
數據集相當大。
數據是右傾斜的，即平均值大于中值，并且分布具有長的右尾而不是對稱的。
數據沒有預定義的最大值或最小值（最小值為零）。

雖然有以上的限制，但實際上在會計中，符合上述特征的數據非常普遍。

七、會計欺詐檢測與取證分析

應收賬款，應付賬款，銷售和費用數據均基于兩種類型的變量相乘的值，即價格和數量。單獨，價格和數量不太可能符合本福特定律，但很可能會成倍增加。這種會計數據也可能是正確的。大公司的交易級會計數據幾乎總是會有大量的觀察結果。

如果某些會計數據預計符合本福特定律但不符合，則并不一定意味著數據是欺詐性的。然而，這將為進一步調查提供充分的理由。

以下是如何對會計數據執(zhí)行本福特分布分析的一些示例。

1）大型企業(yè)的應付賬款數據

分析顯示，大型企業(yè)的應付幾款的數據的數字第一位數字中有很大比例的1。經過仔細檢查后發(fā)現，與上一個會計期間相比，還有更多的支付支票略高于1000美元。前一期的大部分支票金額低于100美元。

在一起財務調查中，負責的財務官隨后受到質疑，他們回答稱他們決定匯總金額以試圖減少支票。低數字金額的合并是偏離本福特定律的常見解釋，使財務官的解釋變得合情合理。

經過進一步調查，據透露，該官員正在向他們創(chuàng)建的虛假殼公司寫支票。

2）本福特的分析應用于組織的費用數據

最初的本福特分析顯示，數據的第一位數字中“非常大”的比例非常大。經過仔細檢查，特定費用的許多條目達到45美元。發(fā)現費用對于運營組織至關重要，必須經常支付。調查了這筆特殊費用，然后被認為是合法的。

然后將Benford的分析應用于費用數據的副本，但省略了特定的頻繁費用。發(fā)現排除該特定費用的數據與本福特的分布非常接近。

超越第一個數字推廣本福特定律通過查看第一個數字以外的數字，可以增強Benford的分析。

八、廣義本福特的分布表

本表的作用是表示分布規(guī)則還可以作用在不同的數位上。比如，0出現在第2位的概率是 11.97%，要高于平均值10%。

數位	第1位	第2位	第3位	第4位	第5位
0	NA	0.11968	0.10178	0.10018	0.10002
1	0.30103	0.11389	0.10138	0.10014	0.10001
2	0.17609	0.10882	0.10097	0.1001	0.10001
3	0.12494	0.10433	0.10057	0.10006	0.10001
4	0.09691	0.10031	0.10018	0.10002	0.1
5	0.07918	0.09668	0.09979	0.09998	0.1
6	0.06695	0.09337	0.0994	0.09994	0.09999
7	0.05799	0.09035	0.09902	0.0999	0.09999
8	0.05115	0.08757	0.09864	0.09986	0.09999
9	0.04576	0.085	0.09827	0.09982	0.09998

注意：由以上數據可以看出，在廣義分布中，數字的出現概率要比第一個數字更加均勻。

九、一般分布公式

根據上面的數據，我們可以得到一般的分布公式

十、上市公司年報凈利潤數據驗證本福特定律

我們用上市公司的利潤數據來驗證下本福特定律。

我們采用tushare接口獲取2019、2020年年報（第4季度）數據，取其中的凈利潤數據，然后我們只考慮凈利潤為正的情況。

# 驗證本福特定律import tushare as ts # 股票數據獲取的一個包import mathimport matplotlib.pyplot as pltimport pandas as pdfrom functools import reducefrom pylab import *# 這一句讓pyplot支持中文顯示mpl.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']# 獲取首位的函數def firstDigital(x):    x= round(x)    while x >= 10:        x //= 10    return x# 首位概率累加def addDigit(lst, digit):    lst[digit-1]+=1    return lst# 理論值：每位概率理論值用于對比th_freq=[math.log((x+1)/x, 10) for x in range(1,10)]#分別獲得2019，2020年報數據df=?ts.get_report_data(2019,?4)# 只取凈利潤>0的數據，首先進行次數統(tǒng)計freq= reduce(addDigit, map(firstDigital, filter(lambda x:x>0, df['net_profits'])), [0]*9)# 再計算實際概率pr_freq= [x/sum(freq) for x in freq]print(th_freq)print(pr_freq)# 作圖plt.title('用上市公司2019年報凈利潤數據驗證本福特定律')plt.xlabel("首位數字")plt.ylabel("概率")plt.xticks(range(9), range(1,10))plt.plot(pr_freq,"r-",linewidth=2, label= '實際值')plt.plot(pr_freq, "go", markersize=5)plt.plot(th_freq,"b-",linewidth=1, label= '理論值')plt.grid(True)plt.legend()plt.show()

從圖形上看，兩者擬合度還是比較高的。據說有些上市公司數據造假就是被用本福特定律查出來的。所以不認真學習的話，造假都造不好。

END

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第1位數字	出現概率
1	0.301
2	0.176
3	0.125
4	0.097
5	0.079
6	0.067
7	0.058
8	0.051
9	0.046

本福特定律和統(tǒng)計中的造假檢測