π里包含了所有可能的數(shù)字組合嗎？

數(shù)學(xué)算法俱樂部

日期?：?2021年10月13日?? ? ??

正文共?：1532字

來源?：?果殼

“π，圓周長與其直徑之比，這是開始。后面一直有，無窮無盡。永不重復(fù)。就是說在這串?dāng)?shù)字中，包含每種可能的組合。你的生日，儲物柜密碼，你的社保號碼，都在其中某處。如果把這些數(shù)字轉(zhuǎn)換為字母，就能得到所有的單詞，無數(shù)種組合。你嬰兒時(shí)發(fā)出的第一個(gè)音節(jié)，你心上人的名字，你一輩子從始至終的故事，我們做過或說過的每件事，宇宙中所有無限的可能，都在這個(gè)簡單的圓中。用這些信息做什么，它有什么用，取決于你們?！?br data-darkmode-bgcolor-15959400464991="rgb(25, 25, 25)" data-darkmode-original-bgcolor-15959400464991="rgb(255, 255, 255)" data-darkmode-color-15959400464991="rgb(62, 62, 62)" data-darkmode-original-color-15959400464991="rgb(62, 62, 62)" data-darkmode-bgimage-15959400464991="1" data-darkmode-bgcolor="rgb(36, 36, 36)" data-darkmode-original-bgcolor="rgb(255, 255, 255)" data-darkmode-color="rgb(62, 62, 62)" data-darkmode-original-color="rgb(62, 62, 62)" data-darkmode-bgimage="1" style="visibility: visible;">

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在《疑犯追蹤》S02E11里，“宅總”哈羅德·芬奇說了這段話

很多觀眾看到這一段之后十分感動，還有人感慨：為什么我們的數(shù)學(xué)老師沒有這么教我們呢？

之所以我們的老師不講，是因?yàn)檫@段話在數(shù)學(xué)上是不對的。

無理

宅總的前兩句話正確地描述了π的一個(gè)屬性：無窮無盡且永不重復(fù)——換句話說，π是個(gè)“無限不循環(huán)小數(shù)”，也就是“無理數(shù)”。

但是，一個(gè)無理數(shù)并不一定能包含“每種可能的數(shù)字組合”。

舉個(gè)簡單的反例：0.909009000900009000009……

（除非特別聲明，所有數(shù)字都是10進(jìn)制的，下同。）

這個(gè)數(shù)的特點(diǎn)是，兩個(gè)“9”之間的距離會越來越長，每次多一個(gè)0，直到無限。它是無窮無盡的，也是不循環(huán)的，因此是無理的；但別說“每種可能的數(shù)字組合”了，它連0到9這十個(gè)數(shù)字都湊不齊呢！

合取

包含所有數(shù)字組合的數(shù)，叫做“合取數(shù)”。無理數(shù)并不都是合取數(shù)。

一個(gè)典型的合取數(shù)是這樣的：0.10200300040000500000600……000110000000000012000……

在越來越長的0串中間，夾雜著從1開始的所有自然數(shù)，直到無限。既然包含了所有自然數(shù)，當(dāng)然也就包含了所有的數(shù)字組合。

正規(guī)

但是寫這么多0，多費(fèi)紙費(fèi)電啊。如果把這些零去掉呢？

得到的數(shù)就是這樣：0.123456789101112131415……

這個(gè)數(shù)不但是合取的，還是“正規(guī)”的——從0到9的每一個(gè)數(shù)字，出現(xiàn)的頻率都趨向于一樣的值。

隨機(jī)

如果我們再進(jìn)一步，連生成規(guī)律都不要了，而是用某種真隨機(jī)生成器（比如哥本哈根解釋下的量子隨機(jī)性）造出一個(gè)每位都隨機(jī)的數(shù)，那么它當(dāng)然就是“隨機(jī)”的了——不光每一個(gè)數(shù)字的長期頻率趨于一致，任何位置出現(xiàn)的概率也都一樣。

那pi是什么？

非常遺憾的是，目前為止我們只證明了pi是個(gè)無理數(shù)。pi是合?。ò锌赡埽┑膯?？是正規(guī)（所有數(shù)字出現(xiàn)頻率趨于一致）的嗎？是隨機(jī)（每一位上的數(shù)字都隨機(jī)）的嗎？

答案是：全都不知道。

我們很容易構(gòu)造出一個(gè)合取數(shù)或者正規(guī)數(shù)，甚至能證明“幾乎所有”實(shí)數(shù)都是合取而且正規(guī)的，但是隨便拿一個(gè)具體的數(shù)字，要想判斷它是否合取、是否正規(guī)，卻極其困難。我們甚至都不知道pi里面是不是有無限個(gè)數(shù)字2。至于隨機(jī)？別跟我提什么隨機(jī)。

合取數(shù)和正規(guī)數(shù)有另一個(gè)有趣的性質(zhì)：和進(jìn)制有關(guān)。有個(gè)常數(shù)叫斯通漢姆數(shù)（Stoneham number），在二進(jìn)制、四進(jìn)制、八進(jìn)制……下已經(jīng)證明全都是正規(guī)的了，可是在六進(jìn)制下卻能證明它不是正規(guī)的。如果一個(gè)數(shù)在任何進(jìn)制下都正規(guī)，可以稱之為“絕對正規(guī)”。不幸的是，pi在任何進(jìn)制下都沒能證明正規(guī)——離得最近的是2，有論文證明，假如某個(gè)猜想是對的，那么pi就是二進(jìn)制正規(guī)；但那個(gè)猜想本身也只是“很可能正確”，還沒有得到嚴(yán)格證明。

當(dāng)然，我們都已經(jīng)計(jì)算出pi的幾百億位了，可以看看它們的分布來猜規(guī)律；也可以通過一些其他數(shù)學(xué)方法拐彎抹角地試圖推斷。從已知事實(shí)來看，pi和正規(guī)性吻合得非常之好，換做任何別的人文、社科、自然科學(xué)，都可以當(dāng)做定論來用了，因此幾乎所有人都“覺得”它該是正規(guī)的?？上?，這是數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)是靠證明說話的，只要拿不出證明，數(shù)學(xué)家就不能安心睡好覺。

平面上的一個(gè)隨機(jī)行走路線，每一步隨機(jī)選擇上下左右四個(gè)方向之一。本組行

David H. Bailey and Jonathan Borwein，下同。

用四進(jìn)制pi前1000億位生成的行走路線，0123分別對應(yīng)上下左右。看起來和隨機(jī)的很像。但只是看起來。

—?THE END —

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