趣文 | π里包含了所有可能的數字組合嗎？

數學算法俱樂部

日期 ： 2021年08月13日       

正文共 ：1812字

來源 ： 網絡

在《疑犯追蹤》S02E11里，“宅總”哈羅德·芬奇說了這樣一段話：

“π，圓周長與其直徑之比，這是開始。后面一直有，無窮無盡。永不重復。就是說在這串數字中，包含每種可能的組合。你的生日，儲物柜密碼，你的社保號碼，都在其中某處。如果把這些數字轉換為字母，就能得到所有的單詞，無數種組合。你嬰兒時發(fā)出的第一個音節(jié)，你心上人的名字，你一輩子從始至終的故事，我們做過或說過的每件事，宇宙中所有無限的可能，都在這個簡單的圓中。用這些信息做什么，它有什么用，取決于你們。”

很多觀眾看到這一段之后十分感動，還有人感慨：為什么我們的數學老師沒有這么教我們呢？

之所以我們的老師不講，是因為這段話在數學上是不對的。

無理

宅總的前兩句話正確地描述了π的一個屬性：無窮無盡且永不重復——換句話說，π是個“無限不循環(huán)小數”，也就是“無理數”。

但是，一個無理數并不一定能包含“每種可能的數字組合”。

舉個簡單的反例：0.909009000900009000009……

（除非特別聲明，所有數字都是10進制的，下同。）

這個數的特點是，兩個“9”之間的距離會越來越長，每次多一個0，直到無限。它是無窮無盡的，也是不循環(huán)的，因此是無理的；但別說“每種可能的數字組合”了，它連0到9這十個數字都湊不齊呢！

合取

包含所有數字組合的數，叫做“合取數”。無理數并不都是合取數。

一個典型的合取數是這樣的：0.10200300040000500000600……000110000000000012000……

在越來越長的0串中間，夾雜著從1開始的所有自然數，直到無限。既然包含了所有自然數，當然也就包含了所有的數字組合。

正規(guī)

但是寫這么多0，多費紙費電啊。如果把這些零去掉呢？

得到的數就是這樣：0.123456789101112131415……

這個數不但是合取的，還是“正規(guī)”的——從0到9的每一個數字，出現(xiàn)的頻率都趨向于一樣的值。

隨機

如果我們再進一步，連生成規(guī)律都不要了，而是用某種真隨機生成器（比如哥本哈根解釋下的量子隨機性）造出一個每位都隨機的數，那么它當然就是“隨機”的了——不光每一個數字的長期頻率趨于一致，任何位置出現(xiàn)的概率也都一樣。

那pi是什么？

非常遺憾的是，目前為止我們只證明了pi是個無理數。pi是合?。ò锌赡埽┑膯?？是正規(guī)（所有數字出現(xiàn)頻率趨于一致）的嗎？是隨機（每一位上的數字都隨機）的嗎？

答案是：全都不知道。

我們很容易構造出一個合取數或者正規(guī)數，甚至能證明“幾乎所有”實數都是合取而且正規(guī)的，但是隨便拿一個具體的數字，要想判斷它是否合取、是否正規(guī)，卻極其困難。我們甚至都不知道pi里面是不是有無限個數字2。至于隨機？別跟我提什么隨機。

合取數和正規(guī)數有另一個有趣的性質：和進制有關。有個常數叫斯通漢姆數（Stoneham number），在二進制、四進制、八進制……下已經證明全都是正規(guī)的了，可是在六進制下卻能證明它不是正規(guī)的。如果一個數在任何進制下都正規(guī)，可以稱之為“絕對正規(guī)”。不幸的是，pi在任何進制下都沒能證明正規(guī)——離得最近的是2，有論文證明，假如某個猜想是對的，那么pi就是二進制正規(guī)；但那個猜想本身也只是“很可能正確”，還沒有得到嚴格證明。

當然，我們都已經計算出pi的幾百億位了，可以看看它們的分布來猜規(guī)律；也可以通過一些其他數學方法拐彎抹角地試圖推斷。從已知事實來看，pi和正規(guī)性吻合得非常之好，換做任何別的人文、社科、自然科學，都可以當做定論來用了，因此幾乎所有人都“覺得”它該是正規(guī)的?？上?，這是數學，數學是靠證明說話的，只要拿不出證明，數學家就不能安心睡好覺。

平面上的一個隨機行走路線，每一步隨機選擇上下左右四個方向之一。本組行

David H. Bailey and Jonathan Borwein，下同。

用四進制pi前1000億位生成的行走路線，0123分別對應上下左右?？雌饋砗碗S機的很像。但只是看起來。

— THE END —

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