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什么是回歸分析？

回歸分析是一種預(yù)測性的建模技術(shù)，它研究的是因變量（目標(biāo)）和自變量（預(yù)測器）之間的關(guān)系。這種技術(shù)通常用于預(yù)測分析，時間序列模型以及發(fā)現(xiàn)變量之間的因果關(guān)系。例如，司機(jī)的魯莽駕駛與道路交通事故數(shù)量之間的關(guān)系，最好的研究方法就是回歸。

回歸分析是建模和分析數(shù)據(jù)的重要工具。在這里，我們使用曲線/線來擬合這些數(shù)據(jù)點(diǎn)，在這種方式下，從曲線或線到數(shù)據(jù)點(diǎn)的距離差異最小。我會在接下來的部分詳細(xì)解釋這一點(diǎn)。

我們?yōu)槭裁词褂没貧w分析？

如上所述，回歸分析估計(jì)了兩個或多個變量之間的關(guān)系。下面，讓我們舉一個簡單的例子來理解它：

比如說，在當(dāng)前的經(jīng)濟(jì)條件下，你要估計(jì)一家公司的銷售額增長情況。現(xiàn)在，你有公司最新的數(shù)據(jù)，這些數(shù)據(jù)顯示出銷售額增長大約是經(jīng)濟(jì)增長的2.5倍。那么使用回歸分析，我們就可以根據(jù)當(dāng)前和過去的信息來預(yù)測未來公司的銷售情況。

使用回歸分析的好處良多。具體如下：

它表明自變量和因變量之間的顯著關(guān)系；
它表明多個自變量對一個因變量的影響強(qiáng)度。

回歸分析也允許我們?nèi)ケ容^那些衡量不同尺度的變量之間的相互影響，如價(jià)格變動與促銷活動數(shù)量之間聯(lián)系。這些有利于幫助市場研究人員，數(shù)據(jù)分析人員以及數(shù)據(jù)科學(xué)家排除并估計(jì)出一組最佳的變量，用來構(gòu)建預(yù)測模型。

我們有多少種回歸技術(shù)？

有各種各樣的回歸技術(shù)用于預(yù)測。這些技術(shù)主要有三個度量（自變量的個數(shù)，因變量的類型以及回歸線的形狀）。我們將在下面的部分詳細(xì)討論它們。

對于那些有創(chuàng)意的人，如果你覺得有必要使用上面這些參數(shù)的一個組合，你甚至可以創(chuàng)造出一個沒有被使用過的回歸模型。但在你開始之前，先了解如下最常用的回歸方法：

1.Linear Regression線性回歸

它是最為人熟知的建模技術(shù)之一。線性回歸通常是人們在學(xué)習(xí)預(yù)測模型時首選的技術(shù)之一。在這種技術(shù)中，因變量是連續(xù)的，自變量可以是連續(xù)的也可以是離散的，回歸線的性質(zhì)是線性的。

線性回歸使用最佳的擬合直線（也就是回歸線）在因變量（Y）和一個或多個自變量（X）之間建立一種關(guān)系。

用一個方程式來表示它，即Y=a+b*X+e，其中a表示截距，b表示直線的斜率，e是誤差項(xiàng)。這個方程可以根據(jù)給定的預(yù)測變量（s）來預(yù)測目標(biāo)變量的值。

一元線性回歸和多元線性回歸的區(qū)別在于，多元線性回歸有（>1）個自變量，而一元線性回歸通常只有1個自變量。現(xiàn)在的問題是“我們?nèi)绾蔚玫揭粋€最佳的擬合線呢？”。

如何獲得最佳擬合線（a和b的值）？

這個問題可以使用最小二乘法輕松地完成。最小二乘法也是用于擬合回歸線最常用的方法。對于觀測數(shù)據(jù)，它通過最小化每個數(shù)據(jù)點(diǎn)到線的垂直偏差平方和來計(jì)算最佳擬合線。因?yàn)樵谙嗉訒r，偏差先平方，所以正值和負(fù)值沒有抵消。

我們可以使用R-square指標(biāo)來評估模型性能。想了解這些指標(biāo)的詳細(xì)信息，可以閱讀：模型性能指標(biāo)Part 1,Part 2.

要點(diǎn)：
1.自變量與因變量之間必須有線性關(guān)系
2.多元回歸存在多重共線性，自相關(guān)性和異方差性。
3.線性回歸對異常值非常敏感。它會嚴(yán)重影響回歸線，最終影響預(yù)測值。
4.多重共線性會增加系數(shù)估計(jì)值的方差，使得在模型輕微變化下，估計(jì)非常敏感。結(jié)果就是系數(shù)估計(jì)值不穩(wěn)定
5.在多個自變量的情況下，我們可以使用向前選擇法，向后剔除法和逐步篩選法來選擇最重要的自變量。

2.Logistic Regression邏輯回歸

邏輯回歸是用來計(jì)算“事件=Success”和“事件=Failure”的概率。當(dāng)因變量的類型屬于二元（1 / 0，真/假，是/否）變量時，我們就應(yīng)該使用邏輯回歸。這里，Y的值從0到1，它可以用下方程表示。

odds= p/ (1-p) = probability of event occurrence / probability of not event occurrenceln(odds) = ln(p/(1-p))logit(p) = ln(p/(1-p)) = b0+b1X1+b2X2+b3X3....+bkXk

上述式子中，p表述具有某個特征的概率。你應(yīng)該會問這樣一個問題：“我們?yōu)槭裁匆诠街惺褂脤?shù)log呢？”。

因?yàn)樵谶@里我們使用的是的二項(xiàng)分布（因變量），我們需要選擇一個對于這個分布最佳的連結(jié)函數(shù)。它就是Logit函數(shù)。在上述方程中，通過觀測樣本的極大似然估計(jì)值來選擇參數(shù)，而不是最小化平方和誤差（如在普通回歸使用的）。

要點(diǎn)：
1.它廣泛的用于分類問題。
2.邏輯回歸不要求自變量和因變量是線性關(guān)系。它可以處理各種類型的關(guān)系，因?yàn)樗鼘︻A(yù)測的相對風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)OR使用了一個非線性的log轉(zhuǎn)換。
3.為了避免過擬合和欠擬合，我們應(yīng)該包括所有重要的變量。有一個很好的方法來確保這種情況，就是使用逐步篩選方法來估計(jì)邏輯回歸。
4.它需要大的樣本量，因?yàn)樵跇颖緮?shù)量較少的情況下，極大似然估計(jì)的效果比普通的最小二乘法差。
5.自變量不應(yīng)該相互關(guān)聯(lián)的，即不具有多重共線性。然而，在分析和建模中，我們可以選擇包含分類變量相互作用的影響。
6.如果因變量的值是定序變量，則稱它為序邏輯回歸。
7.如果因變量是多類的話，則稱它為多元邏輯回歸。

3.Polynomial Regression多項(xiàng)式回歸

對于一個回歸方程，如果自變量的指數(shù)大于1，那么它就是多項(xiàng)式回歸方程。如下方程所示：y=a+b*x^2

在這種回歸技術(shù)中，最佳擬合線不是直線。而是一個用于擬合數(shù)據(jù)點(diǎn)的曲線。

重點(diǎn)：
雖然會有一個誘導(dǎo)可以擬合一個高次多項(xiàng)式并得到較低的錯誤，但這可能會導(dǎo)致過擬合。你需要經(jīng)常畫出關(guān)系圖來查看擬合情況，并且專注于保證擬合合理，既沒有過擬合又沒有欠擬合。

下面是一個圖例，可以幫助理解：

明顯地向兩端尋找曲線點(diǎn)，看看這些形狀和趨勢是否有意義。更高次的多項(xiàng)式最后可能產(chǎn)生怪異的推斷結(jié)果。

4.Stepwise Regression逐步回歸

在處理多個自變量時，我們可以使用這種形式的回歸。在這種技術(shù)中，自變量的選擇是在一個自動的過程中完成的，其中包括非人為操作。

這一壯舉是通過觀察統(tǒng)計(jì)的值，如R-square，t-stats和AIC指標(biāo)，來識別重要的變量。逐步回歸通過同時添加/刪除基于指定標(biāo)準(zhǔn)的協(xié)變量來擬合模型。

下面列出了一些最常用的逐步回歸方法：

標(biāo)準(zhǔn)逐步回歸法做兩件事情。即增加和刪除每個步驟所需的預(yù)測。
向前選擇法從模型中最顯著的預(yù)測開始，然后為每一步添加變量。
向后剔除法與模型的所有預(yù)測同時開始，然后在每一步消除最小顯著性的變量。

這種建模技術(shù)的目的是使用最少的預(yù)測變量數(shù)來最大化預(yù)測能力。這也是處理高維數(shù)據(jù)集的方法之一。

5.Ridge Regression嶺回歸

嶺回歸分析是一種用于存在多重共線性（自變量高度相關(guān)）數(shù)據(jù)的技術(shù)。在多重共線性情況下，盡管最小二乘法（OLS）對每個變量很公平，但它們的差異很大，使得觀測值偏移并遠(yuǎn)離真實(shí)值。嶺回歸通過給回歸估計(jì)上增加一個偏差度，來降低標(biāo)準(zhǔn)誤差。

上面，我們看到了線性回歸方程。還記得嗎？它可以表示為：

y=a+b*x這個方程也有一個誤差項(xiàng)。完整的方程是：

y=a+b*x+e (error term), [error term is the value needed to correct for a prediction error between the observed and predicted value]

=> y=a+y= a+ b1x1+ b2x2+....+e, for multiple independent variables.

在一個線性方程中，預(yù)測誤差可以分解為2個子分量。一個是偏差，一個是方差。預(yù)測錯誤可能會由這兩個分量或者這兩個中的任何一個造成。在這里，我們將討論由方差所造成的有關(guān)誤差。

嶺回歸通過收縮參數(shù)λ（lambda）解決多重共線性問題。看下面的公式

在這個公式中，有兩個組成部分。第一個是最小二乘項(xiàng)，另一個是β2（β-平方）的λ倍，其中β是相關(guān)系數(shù)。為了收縮參數(shù)把它添加到最小二乘項(xiàng)中以得到一個非常低的方差。

要點(diǎn)：
1.除常數(shù)項(xiàng)以外，這種回歸的假設(shè)與最小二乘回歸類似；
2.它收縮了相關(guān)系數(shù)的值，但沒有達(dá)到零，這表明它沒有特征選擇功能
3.這是一個正則化方法，并且使用的是L2正則化。

6.Lasso Regression套索回歸

它類似于嶺回歸，Lasso （Least Absolute Shrinkage and Selection Operator）也會懲罰回歸系數(shù)的絕對值大小。此外，它能夠減少變化程度并提高線性回歸模型的精度。看看下面的公式：

Lasso 回歸與Ridge回歸有一點(diǎn)不同，它使用的懲罰函數(shù)是絕對值，而不是平方。這導(dǎo)致懲罰（或等于約束估計(jì)的絕對值之和）值使一些參數(shù)估計(jì)結(jié)果等于零。使用懲罰值越大，進(jìn)一步估計(jì)會使得縮小值趨近于零。這將導(dǎo)致我們要從給定的n個變量中選擇變量。

要點(diǎn)：
1.除常數(shù)項(xiàng)以外，這種回歸的假設(shè)與最小二乘回歸類似；
2.它收縮系數(shù)接近零（等于零），這確實(shí)有助于特征選擇；
3.這是一個正則化方法，使用的是L1正則化；
如果預(yù)測的一組變量是高度相關(guān)的，Lasso 會選出其中一個變量并且將其它的收縮為零。

7.ElasticNet回歸

ElasticNet是Lasso和Ridge回歸技術(shù)的混合體。它使用L1來訓(xùn)練并且L2優(yōu)先作為正則化矩陣。當(dāng)有多個相關(guān)的特征時，ElasticNet是很有用的。Lasso 會隨機(jī)挑選他們其中的一個，而ElasticNet則會選擇兩個。

Lasso和Ridge之間的實(shí)際的優(yōu)點(diǎn)是，它允許ElasticNet繼承循環(huán)狀態(tài)下Ridge的一些穩(wěn)定性。

要點(diǎn)：
1.在高度相關(guān)變量的情況下，它會產(chǎn)生群體效應(yīng)；
2.選擇變量的數(shù)目沒有限制；
3.它可以承受雙重收縮。

除了這7個最常用的回歸技術(shù)，你也可以看看其他模型，如Bayesian、Ecological和Robust回歸。

如何正確選擇回歸模型？

當(dāng)你只知道一個或兩個技術(shù)時，生活往往很簡單。我知道的一個培訓(xùn)機(jī)構(gòu)告訴他們的學(xué)生，如果結(jié)果是連續(xù)的，就使用線性回歸。如果是二元的，就使用邏輯回歸！然而，在我們的處理中，可選擇的越多，選擇正確的一個就越難。類似的情況下也發(fā)生在回歸模型中。

在多類回歸模型中，基于自變量和因變量的類型，數(shù)據(jù)的維數(shù)以及數(shù)據(jù)的其它基本特征的情況下，選擇最合適的技術(shù)非常重要。以下是你要選擇正確的回歸模型的關(guān)鍵因素：

1.數(shù)據(jù)探索是構(gòu)建預(yù)測模型的必然組成部分。在選擇合適的模型時，比如識別變量的關(guān)系和影響時，它應(yīng)該首選的一步。

2. 比較適合于不同模型的優(yōu)點(diǎn)，我們可以分析不同的指標(biāo)參數(shù)，如統(tǒng)計(jì)意義的參數(shù)，R-square，Adjusted R-square，AIC，BIC以及誤差項(xiàng)，另一個是Mallows’ Cp準(zhǔn)則。這個主要是通過將模型與所有可能的子模型進(jìn)行對比（或謹(jǐn)慎選擇他們），檢查在你的模型中可能出現(xiàn)的偏差。

3.交叉驗(yàn)證是評估預(yù)測模型最好額方法。在這里，將你的數(shù)據(jù)集分成兩份（一份做訓(xùn)練和一份做驗(yàn)證）。使用觀測值和預(yù)測值之間的一個簡單均方差來衡量你的預(yù)測精度。

4.如果你的數(shù)據(jù)集是多個混合變量，那么你就不應(yīng)該選擇自動模型選擇方法，因?yàn)槟銘?yīng)該不想在同一時間把所有變量放在同一個模型中。

5.它也將取決于你的目的。可能會出現(xiàn)這樣的情況，一個不太強(qiáng)大的模型與具有高度統(tǒng)計(jì)學(xué)意義的模型相比，更易于實(shí)現(xiàn)。

6.回歸正則化方法（Lasso，Ridge和ElasticNet）在高維和數(shù)據(jù)集變量之間多重共線性情況下運(yùn)行良好。

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