5 個(gè)牛逼的算法設(shè)計(jì)，你知道幾個(gè)？
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1、分治法
概念：
將一個(gè)難以直接解決的大問題，分割成一些規(guī)模較小的相同問題，以便各個(gè)擊破，分而治之。
思想策略：
對(duì)于一個(gè)規(guī)模為n的問題，若該問題可以容易地解決（比如說規(guī)模n較小）則直接解決，否則將其分解為k個(gè)規(guī)模較小的子問題，這些子問題互相獨(dú)立且與原問題形式相同，遞歸地解這些子問題，然后將各子問題的解合并得到原問題的解。
特征：
該問題的規(guī)模縮小到一定的程度就可以容易地解決 該問題可以分解為若干個(gè)規(guī)模較小的相同問題，即該問題具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)性質(zhì)。 利用該問題分解出的子問題的解可以合并為該問題的解； 該問題所分解出的各個(gè)子問題是相互獨(dú)立的，即子問題之間不包含公共的子子問題。
第一條特征是絕大多數(shù)問題都可以滿足的，因?yàn)閱栴}的計(jì)算復(fù)雜性一般是隨著問題規(guī)模的增加而增加；
第二條特征是應(yīng)用分治法的前提它也是大多數(shù)問題可以滿足的，此特征反映了遞歸思想的應(yīng)用；
第三條特征是關(guān)鍵，能否利用分治法完全取決于問題是否具有第三條特征，如果具備了第一條和第二條特征，而不具備第三條特征，則可以考慮用貪心法或動(dòng)態(tài)規(guī)劃法。
第四條特征涉及到分治法的效率，如果各子問題是不獨(dú)立的則分治法要做許多不必要的工作，重復(fù)地解公共的子問題，此時(shí)雖然可用分治法，但一般用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法較好。
基本步驟：
1 分解：將原問題分解為若干個(gè)規(guī)模較小，相互獨(dú)立，與原問題形式相同的子問題；
2 解決：若子問題規(guī)模較小而容易被解決則直接解，否則遞歸地解各個(gè)子問題?
3 合并：將各個(gè)子問題的解合并為原問題的解。
適用分治法求解的經(jīng)典問題：
1）二分搜索 2）大整數(shù)乘法 3）Strassen矩陣乘法 4）棋盤覆蓋 5）合并排序 6）快速排序 7）線性時(shí)間選擇 8）最接近點(diǎn)對(duì)問題 9）循環(huán)賽日程表 10）漢諾塔
2、動(dòng)態(tài)規(guī)劃
概念：
每次決策依賴于當(dāng)前狀態(tài)，又隨即引起狀態(tài)的轉(zhuǎn)移。一個(gè)決策序列就是在變化的狀態(tài)中產(chǎn)生出來的，所以，這種多階段最優(yōu)化決策解決問題的過程就稱為動(dòng)態(tài)規(guī)劃。
思想策略：
將待求解的問題分解為若干個(gè)子問題（階段），按順序求解子階段，前一子問題的解，為后一子問題的求解提供了有用的信息。
在求解任一子問題時(shí)，列出各種可能的局部解，通過決策保留那些有可能達(dá)到最優(yōu)的局部解，丟棄其他局部解。
依次解決各子問題，最后一個(gè)子問題就是初始問題的解。
特征：
能采用動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解的問題的一般要具有3個(gè)性質(zhì)：
(1) 最優(yōu)化原理：如果問題的最優(yōu)解所包含的子問題的解也是最優(yōu)的，就稱該問題具有最優(yōu)子結(jié)構(gòu)，即滿足最優(yōu)化原理。
(2) 無后效性：即某階段狀態(tài)一旦確定，就不受這個(gè)狀態(tài)以后決策的影響。也就是說，某狀態(tài)以后的過程不會(huì)影響以前的狀態(tài)，只與當(dāng)前狀態(tài)有關(guān)。
(3)?有重疊子問題：即子問題之間是不獨(dú)立的，一個(gè)子問題在下一階段決策中可能被多次使用到。（該性質(zhì)并不是動(dòng)態(tài)規(guī)劃適用的必要條件，但是如果沒有這條性質(zhì)，動(dòng)態(tài)規(guī)劃算法同其他算法相比就不具備優(yōu)勢）
基本步驟：
（1）分析最優(yōu)解的性質(zhì)，并刻畫其結(jié)構(gòu)特征。
（2）遞歸的定義最優(yōu)解。
（3）以自底向上或自頂向下的記憶化方式（備忘錄法）計(jì)算出最優(yōu)值?
（4）根據(jù)計(jì)算最優(yōu)值時(shí)得到的信息，構(gòu)造問題的最優(yōu)解
適用動(dòng)態(tài)規(guī)劃求解的經(jīng)典問題：
矩陣連乘， 走金字塔 最長公共子序列(LCS) ， 最長遞增子序列(LIS) ， 凸多邊形最優(yōu)三角剖分 ， 背包問題 ， 雙調(diào)歐幾里得旅行商問題
3、貪心法
概念：
在對(duì)問題求解時(shí)，總是做出在當(dāng)前看來是最好的選擇。也就是說，不從整體最優(yōu)上加以考慮，他所做出的僅是在某種意義上的局部最優(yōu)解。
思想策略：
貪心算法沒有固定的算法框架，算法設(shè)計(jì)的關(guān)鍵是貪心策略的選擇。必須注意的是，貪心算法不是對(duì)所有問題都能得到整體最優(yōu)解，選擇的貪心策略必須具備無后效性，即某個(gè)狀態(tài)以后的過程不會(huì)影響以前的狀態(tài)，只與當(dāng)前狀態(tài)有關(guān)。所以對(duì)所采用的貪心策略一定要仔細(xì)分析其是否滿足無后效性。
基本步驟：
建立數(shù)學(xué)模型來描述問題。
把求解的問題分成若干個(gè)子問題。
對(duì)每一子問題求解，得到子問題的局部最優(yōu)解。
把子問題的解局部最優(yōu)解合成原來解問題的一個(gè)解。
適用貪心法求解的經(jīng)典問題：
4、回溯法
概念：
回溯算法實(shí)際上一個(gè)類似枚舉的搜索嘗試過程，主要是在搜索嘗試過程中尋找問題的解，當(dāng)發(fā)現(xiàn)已不滿足求解條件時(shí)，就“回溯”返回，嘗試別的路徑。回溯法是一種選優(yōu)搜索法，按選優(yōu)條件向前搜索，以達(dá)到目標(biāo)。
但當(dāng)探索到某一步時(shí)，發(fā)現(xiàn)原先選擇并不優(yōu)或達(dá)不到目標(biāo)，就退回一步重新選擇，這種走不通就退回再走的技術(shù)為回溯法，而滿足回溯條件的某個(gè)狀態(tài)的點(diǎn)稱為“回溯點(diǎn)”。
許多復(fù)雜的，規(guī)模較大的問題都可以使用回溯法，有“通用解題方法”的美稱。
思想策略：
在包含問題的所有解的解空間樹中，按照深度優(yōu)先搜索的策略，從根結(jié)點(diǎn)出發(fā)深度探索解空間樹。當(dāng)探索到某一結(jié)點(diǎn)時(shí)，要先判斷該結(jié)點(diǎn)是否包含問題的解，如果包含，就從該結(jié)點(diǎn)出發(fā)繼續(xù)探索下去，如果該結(jié)點(diǎn)不包含問題的解，則逐層向其祖先結(jié)點(diǎn)回溯。（其實(shí)回溯法就是對(duì)隱式圖的深度優(yōu)先搜索算法）。若用回溯法求問題的所有解時(shí)，要回溯到根，且根結(jié)點(diǎn)的所有可行的子樹都要已被搜索遍才結(jié)束。
特征：
（1）針對(duì)所給問題，確定問題的解空間：首先應(yīng)明確定義問題的解空間，問題的解空間應(yīng)至少包含問題的一個(gè)（最優(yōu)）解。
（2）確定結(jié)點(diǎn)的擴(kuò)展搜索規(guī)則?
（3）以深度優(yōu)先方式搜索解空間，并在搜索過程中用剪枝函數(shù)避免無效搜索。
適用回溯法求解的經(jīng)典問題：
5、分支限界法
概述：
類似于回溯法，也是一種在問題的解空間樹T上搜索問題解的算法。但在一般情況下，分支限界法與回溯法的求解目標(biāo)不同。
回溯法的求解目標(biāo)是找出T中滿足約束條件的所有解，而分支限界法的求解目標(biāo)則是找出滿足約束條件的一個(gè)解，或是在滿足約束條件的解中找出使某一目標(biāo)函數(shù)值達(dá)到極大或極小的解，即在某種意義下的最優(yōu)解。
策略：
在擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)處，先生成其所有的兒子結(jié)點(diǎn)（分支），然后再從當(dāng)前的活結(jié)點(diǎn)表中選擇下一個(gè)擴(kuò)展對(duì)點(diǎn)。為了有效地選擇下一擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，以加速搜索的進(jìn)程，在每一活結(jié)點(diǎn)處，計(jì)算一個(gè)函數(shù)值（限界），并根據(jù)這些已計(jì)算出的函數(shù)值，從當(dāng)前活結(jié)點(diǎn)表中選擇一個(gè)最有利的結(jié)點(diǎn)作為擴(kuò)展結(jié)點(diǎn)，使搜索朝著解空間樹上有最優(yōu)解的分支推進(jìn)，以便盡快地找出一個(gè)最優(yōu)解。
與回溯法的區(qū)別：
回溯法：【方式不同】深度優(yōu)先搜索堆棧活結(jié)點(diǎn)的所有可行子結(jié)點(diǎn)被遍歷后才被從棧中彈出找出滿足約束條件的所有解【目標(biāo)不同】。
分支限界法：【方式不同】廣度優(yōu)先或最小消耗優(yōu)先搜索隊(duì)列、優(yōu)先隊(duì)列每個(gè)結(jié)點(diǎn)只有一次成為活結(jié)點(diǎn)的機(jī)會(huì)找出滿足約束條件的一個(gè)解或特定意義下的最優(yōu)解【目標(biāo)不同】。
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