這一篇講講方差分析。

1.背景：

假如你們現(xiàn)在針對用戶提出了三種提高客單價(jià)的策略A、B、C，現(xiàn)在想看一下這三種策略最后對提高客單價(jià)的效果有什么不同，那我們怎么才能知道這三種策略效果有什么不同？最簡單的方法就是做一個(gè)實(shí)驗(yàn)，我們可以隨機(jī)挑選一部分用戶，然后把這些用戶分成三組A、B、C組，A組用戶使用A策略、B組用戶使用B策略、C組用戶使用C策略，等策略實(shí)施一段時(shí)間以后，我們來看一下這三組分別的客單價(jià)是什么水平？哪組平均客單價(jià)高，就說明哪組策略有效果。真的可以得出這的結(jié)論嗎？是可以，但是不夠嚴(yán)謹(jǐn)。

為什么說不夠嚴(yán)謹(jǐn)呢？是因?yàn)槲覀冇脕碜鰧?shí)驗(yàn)的用戶是隨機(jī)挑選的，有可能客單價(jià)高的那部分用戶(比如高價(jià)值用戶)本身就要比其他用戶群體的客單價(jià)高，那為了避免這種可能是因?yàn)殡S機(jī)抽樣造成的結(jié)果不一致問題，我們就需要去證明下，到底是不是因?yàn)殡S機(jī)挑選的原因，如果不是，我們就可以去比較各組的平均客單價(jià)，哪組客單價(jià)較高，就說明哪組策略更有效果。

我們的最終目的其實(shí)就是為了比較各組的平均客單價(jià)，但是在比較均值之前，我們需要先證明下各組之間的結(jié)果不同是因?yàn)椴呗缘脑蜻€是隨機(jī)挑選的原因，我們把這個(gè)過程叫做方差分析。

2.三個(gè)假設(shè)：

方差分析有三個(gè)假設(shè)：

1.每組樣本數(shù)據(jù)對應(yīng)的總體應(yīng)該服從正態(tài)分布；
2.每組樣本數(shù)據(jù)對應(yīng)的總體方差要相等，方差相等又叫方差齊性；
3.每組之間的值是相互獨(dú)立的，就是A、B、C組的值不會(huì)相互影響。

正態(tài)檢驗(yàn)主要有兩種大的方法，一種是統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)的方法：主要有基于峰度和偏度的SW檢驗(yàn)、基于擬合度的KS、CVM、AD檢驗(yàn)；另一種是用描述的方法：Q-Q圖和P-P圖、莖葉圖，利用四分位數(shù)間距和標(biāo)準(zhǔn)差來判斷。

方差齊性的主要判斷方法有：方差比、Hartley檢驗(yàn)、Levene檢驗(yàn)、BF法。

由于篇幅問題，關(guān)于上面涉及到的方法以后專門來講，有興趣的同學(xué)可以先自行查閱。

3.方差分析流程

3.1建立假設(shè)

H0：各組的客單價(jià)均值相等；
H1：各組的客單價(jià)均值不相等或不全等。

檢驗(yàn)水準(zhǔn)為0.05。

3.2計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F值

F值 = 組間方差/組內(nèi)方差。我們主要是通過比較F值的大小來判斷各組之間是否存在顯著差異。

所謂的組間方差就是用來反映組與組之間的差異程度，組內(nèi)方差就是用來反映各組內(nèi)部數(shù)據(jù)的差異程度。

如果各組之間的客單價(jià)相等，即假設(shè)H0成立，也就意味著各組之間是沒啥區(qū)別的，也就是組間方差會(huì)很小甚至為0，與之對應(yīng)的方差很大的概率會(huì)很低，所以如果F值越大，表明在假設(shè)H0成立的前提下出現(xiàn)出現(xiàn)這一結(jié)果的概率越小，相當(dāng)于我們前面提到的小概率事件，如果一旦小概率事件發(fā)生了，我們就有理由去拒絕原假設(shè)。

要來計(jì)算方差，我們需要先計(jì)算平方和。為了讓大家能夠更加理解，我們來舉個(gè)例子來講解各個(gè)指標(biāo)怎么計(jì)算。

現(xiàn)在有兩組數(shù)據(jù)：

第一組：80、85、96
第二組：110、125、130、145、160

第一組和第二組的總算術(shù)平均值為：
(80+85+96+110+125+130+145+160)/8 = 116.375。

第一組的算術(shù)平均值：(80+85+96)/3 = 87

第二組的算術(shù)平均值：

(110+125+130+145+160)/5 = 134

組間平方和(SSA)：
= 第一組平均值與總體平均值的平方和×第一組樣本數(shù)+第二組平均值與總體平均值的平方和×第二組樣本數(shù)
= (87-116.375)^2×3 + (134-116.375)^2×5 = 4141.875

組內(nèi)平方和(SSE)：
= 第一組平方和 + 第二組平方和
=(80-87)^2+(85-87)^2+(96-87)^2

+(110-134)^2+(125-134)^2+(130-134)^2

+(145-134)^2+(160-134)^2
=134+1470=1604

總體平方和(SST)：
=所有樣本數(shù)據(jù)與總體平均值之間的平方和
=(80-116.375)^2+(85-116.375)^2+(96-116.375)^2

+(110-116.375)^2+(125-116.375)^2+(130-116.375)^2

+(145-116.375)^2+(160-116.375)^2
=5745.875

通過以上數(shù)據(jù)，我們可以看出 SST = SSA + SSE。

總平方和會(huì)有一個(gè)問題，就是隨著數(shù)據(jù)量越大，這個(gè)值會(huì)越大，所以我們引入另外一個(gè)概念：均方。均方=平方和/自由度，其中自由度是樣本數(shù)-1。

組間均方(MSA) = SSA/自由度 = 4141.875/(2-1) = 4141.875
組內(nèi)均方(MSE) = SSE/自由度 = 1604/(8-2) = 267.333

MSA又稱為組間方差，MSE稱為組內(nèi)方差。

F = MSA/MSE = 4141.875/267.333 = 15.4933

3.3確定邊界值并做出決策

此時(shí)我們就可以通過查F表，來獲得置信度為95%時(shí)的F邊界值：

如果F<F邊界值表面各組數(shù)據(jù)之間沒有顯著差異，接受H0假設(shè)；
如果F≥F邊界值表面各組數(shù)據(jù)之間存在明顯差異，拒絕H0假設(shè)，接受H1假設(shè)。

如果我們證實(shí)了各組數(shù)據(jù)之間是存在明顯差異的，這個(gè)時(shí)候就可以去拿各組的均值來進(jìn)行比較，均值越大，可以說明策略效果越好。

F值表：
https://wenku.baidu.com/view/3165819af71fb7360b4c2e3f5727a5e9846a2743.html

一般最后我們都可以得到下面這么一個(gè)表：

以上就是簡單的方差分析的基本原理與流程，也是單因素方差分析(單因素，就是只有策略這一個(gè)維度)，還有雙因素方差分析，就是不止考慮策略這一個(gè)維度，還需要?jiǎng)e的維度，比如時(shí)間、地域之類的，還有交叉作用的雙因素分析，就是不止策略和地域分別的影響，這兩者結(jié)合在一起可能會(huì)產(chǎn)生第三種影響。關(guān)于方差分析的更多內(nèi)容，我們之后再來分享。

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