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數(shù)學(xué)算法俱樂部

日期： 2022年04月10日

正文共：9022字

來源：文匯教育

【導(dǎo)讀】陶哲軒是世界著名天才數(shù)學(xué)家，未滿13歲即獲得國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽金牌，是數(shù)學(xué)領(lǐng)域最高獎(jiǎng)“菲爾茲獎(jiǎng)”獲得者，被稱為“數(shù)學(xué)莫扎特”。他在此文中總結(jié)了給數(shù)學(xué)愛好者和研究人員的25條建議或忠告，大師真知灼見，值得收藏。

陶哲軒：華裔數(shù)學(xué)家，任教于美國加州大學(xué)洛杉磯分校（UCLA）數(shù)學(xué)系。數(shù)學(xué)最高榮譽(yù)“菲爾茨獎(jiǎng)”獲得者。是調(diào)和分析、偏微分方程、組合數(shù)學(xué)、解析數(shù)論、算術(shù)數(shù)論等接近10個(gè)重要數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域里的大師級(jí)數(shù)學(xué)家，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)界莫扎特”。未滿13歲時(shí)已獲得國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽金牌，至今仍保持著該競賽最年輕獲獎(jiǎng)?wù)叩募o(jì)錄。

作為一個(gè)天才數(shù)學(xué)家，陶哲軒教授幾乎每隔一段時(shí)間就會(huì)收到一堆咨詢，例如應(yīng)該怎樣研究數(shù)學(xué)、怎樣寫數(shù)學(xué)論文、怎樣開始大學(xué)學(xué)習(xí)、怎樣增加自己被名校錄取的機(jī)會(huì)……他說：我沒有“秘方”或其他一個(gè)放之四海而皆準(zhǔn)的處方，告訴年輕人如何獲得成功。但我可以給出一些忠告。細(xì)讀這些忠告，你會(huì)發(fā)現(xiàn)它們真的很有用，遠(yuǎn)遠(yuǎn)不止在于學(xué)術(shù)研究領(lǐng)域。

下面是陶哲軒的25條Career advice。

1、數(shù)學(xué)不僅是分?jǐn)?shù)、考試和方法

作為一個(gè)大學(xué)生，需要重視成績和考試，這些考試經(jīng)常更強(qiáng)調(diào)記住技術(shù)和理論，而不是對實(shí)際概念的理解，或是智力以及直覺。然而，當(dāng)你進(jìn)入研究所學(xué)習(xí)之后，你會(huì)發(fā)現(xiàn)一種更高層次的學(xué)習(xí)（另外更重要的是——做）數(shù)學(xué)，它要求的能力超過緊緊會(huì)記憶和學(xué)習(xí)，或摹仿一個(gè)已有的論證或處理過的例子。這經(jīng)常要求你拋棄（或至少修改）很多大學(xué)時(shí)期的學(xué)習(xí)習(xí)慣；比起簡單的關(guān)注于智力測試如考試，更多的需要主動(dòng)地學(xué)習(xí)和實(shí)踐來提高你自己的理解。

同樣，在大學(xué)及以下的階段主要教授成熟和優(yōu)美的數(shù)學(xué)理論，大部分是幾十年或幾百年以前做出的，而在研修生階段你將開始接觸前沿，正在發(fā)展的東西——它也許會(huì)與你在大學(xué)時(shí)習(xí)慣的東西顯著不同，同時(shí)更有趣。

2、數(shù)學(xué)不僅是嚴(yán)格和證明

對大學(xué)生，老師經(jīng)常首先以非正規(guī)、直觀的方式教授數(shù)學(xué)（比如按照斜率和面積的方式描述導(dǎo)數(shù)和積分），然后才說到要恰當(dāng)?shù)奶幚磉@些東西，需要一種精確和正式得多的方式來處理和思考這個(gè)問題（比如使用epsilon delta來描述導(dǎo)數(shù)）。

知道如何嚴(yán)密的思考當(dāng)然極其重要，因?yàn)檫@給了你避免很多常犯錯(cuò)誤的規(guī)范，同時(shí)消除很多誤解。不幸的是，這無意中使得“模糊的”或“直覺的”思考（例如啟發(fā)性的推理，從例子中判斷性的推斷，或其他背景如物理的類比），因?yàn)椤胺菄?yán)格”而遭到輕視。人們時(shí)常最終放棄開始的直覺，而只能從正式的層面上處理數(shù)學(xué)。

嚴(yán)格的要點(diǎn)并非消滅全部的直覺；而是應(yīng)該被用來消滅有害的直覺，同時(shí)澄清和提高好的直覺。只有結(jié)合嚴(yán)格的形式化和好的直覺，人們才可以處理復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題；人們需要前者來正確地處理細(xì)節(jié)，后者來正確處理大的圖像。缺乏其中一者，你將費(fèi)盡時(shí)間踉蹌?dòng)诤诎抵校赡苡薪逃饬x，但是得不償失）。所以當(dāng)你完全適應(yīng)了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)思維，你應(yīng)該重新嘗試在這個(gè)問題上使用直覺，並且使用新的思維技能來測試和提煉這些直覺而不是拋棄他們。

理想的情況是每個(gè)啟發(fā)性的論證都能自然地暗示它對應(yīng)的嚴(yán)格證明，反之亦然。3、努力工作

只依賴于聰明在最后時(shí)刻完成事情也許會(huì)暫時(shí)有效，但總體說來在研修生以及更高層次上這不會(huì)有用。

為了在數(shù)學(xué)上達(dá)到一定水準(zhǔn)，你不僅需要思考，還需要讀和寫大量的東西。與輿論相反，數(shù)學(xué)突破不僅（或主要）靠天才的“我發(fā)現(xiàn)了！”瞬間的推動(dòng)，而實(shí)際上很大程度是辛勤工作的產(chǎn)物。當(dāng)然這些工作由經(jīng)驗(yàn)和直覺指引。困難經(jīng)常藏匿在細(xì)節(jié)之中，如果你覺得理解了一個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域，那你應(yīng)該已經(jīng)閱讀了所有相關(guān)的文獻(xiàn)，至少寫出了這個(gè)領(lǐng)域的狀況的概要，并且最終寫出這個(gè)主題的完整和詳細(xì)的處理方法。

如果你可以僅僅構(gòu)思出主要的思路而讓次要的凡人來補(bǔ)充細(xì)節(jié)，那就太舒服了，但是，相信我，數(shù)學(xué)中決無此事。

經(jīng)驗(yàn)表明，只有細(xì)心集合了大量細(xì)節(jié)和其他論據(jù)（或至少證明思路）以支持你的“主要的思路” 的文章，才值得人們花時(shí)間關(guān)注。如果創(chuàng)造者都不愿意干這個(gè)，那么很可能沒人會(huì)愿意做。

4、享受工作

某方面上這是上一條的推論。如果你不喜歡你的工作，那就很難投入足夠的精力，從長期看持續(xù)投入精力是必要的。只因?yàn)闀r(shí)髦而從事一個(gè)領(lǐng)域遠(yuǎn)不如從事你歡喜的數(shù)學(xué)領(lǐng)域。

5、不要依據(jù)熱門或聞名程度而作職業(yè)決定

進(jìn)入一個(gè)領(lǐng)域或一個(gè)系，只因?yàn)樗鼰衢T并非好主意，關(guān)注領(lǐng)域中的最著名的問題（或數(shù)學(xué)家），只因?yàn)樗麄兊拿麣庖喾橇疾摺拱渍f，就數(shù)學(xué)整體而言沒有那么著名或者熱門的東西，也不值得把追求這些當(dāng)作你的首要目標(biāo)。任何熱門都很可能競爭激烈，只有擁有最堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)（特別的，大量領(lǐng)域中不那么熱門方面的經(jīng)驗(yàn)）的人才能夠有所成就。

未解的著名問題幾乎不可能“ab nihilo”解決。你需要先花很多時(shí)間在簡單的（同時(shí)不著名）模型問題上，獲取一些技術(shù)，直覺，中間結(jié)論，背景，和文獻(xiàn)，從而找到有效的方法剔除無效的方法，然后才可能有機(jī)會(huì)解決領(lǐng)域內(nèi)真正的大問題。（有時(shí)候，有些著名問題較容易的解決了，那只是因?yàn)閾碛羞m當(dāng)工具的合適的人以前沒有注意到這個(gè)問題，但是対于研究很透徹的問題一般不會(huì)這樣——尤其是那些已經(jīng)有很多“不行”理論和反例的問題，這些理論和反例完全排除了一些著手的策略。）

因?yàn)轭愃频脑颍憬^不應(yīng)該以得獎(jiǎng)或受到賞識(shí)為從事數(shù)學(xué)的主要原因。從長期來看，更好的方式是去做好的數(shù)學(xué)和對你的領(lǐng)域有所貢獻(xiàn)，最終獎(jiǎng)勵(lì)和賞識(shí)自然會(huì)來的（實(shí)至名歸）。

6、學(xué)習(xí)和再學(xué)習(xí)你的領(lǐng)域

數(shù)學(xué)研究中（包括你選擇的專業(yè)）學(xué)無止境。

例如我仍然在學(xué)習(xí)基礎(chǔ)調(diào)和分析中的驚人之處，而我寫出此領(lǐng)域的論文已經(jīng)十年之久了。只因?yàn)槟阒酪粭l基本引理X及其證明，你不應(yīng)低估這條引理的價(jià)值——你能找到替代證明嗎？你知道為何需要那些假設(shè)？已有了哪種推廣，或是作為猜想的推廣，抑或推廣的思路？對某些應(yīng)用，X是否有較弱的或是簡單的形式？X在模型例子中起到何種作用？何時(shí)適合使用X？X能解決何種問題，而對哪些無能為力？在其他領(lǐng)域有哪些相似的引理？X是否可以歸入一個(gè)更廣泛的綱領(lǐng)？對你的領(lǐng)域作講演尤其有用，或者寫下講稿或其他的說明材料，即使只為你個(gè)人服務(wù)。

通過內(nèi)心的速記，你最終能夠吸收即使是很難的結(jié)果，這不僅是你能夠輕松使用它們，而且可以省下精力來學(xué)習(xí)更多的東西。

7、不要害怕學(xué)習(xí)你的領(lǐng)域外的東西

人們普遍有數(shù)學(xué)恐懼癥。不幸的是，有時(shí)專業(yè)數(shù)學(xué)家也有數(shù)學(xué)恐懼癥。如果為了在你的問題中取得進(jìn)展需要學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)領(lǐng)域，這是件好事——你將拓寬掌握的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，同時(shí)你的工作將変得更有吸引力，不論是對你領(lǐng)域內(nèi)的人還是對其他領(lǐng)域的人。

如果一個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域很活躍，那就值得去了解它為何如此引人，人們都在做些什么問題，有些什么棒的或者令人驚訝的見解（insight）、現(xiàn)象、結(jié)果。那樣的話，如果你碰到了類似的問題、障礙或現(xiàn)象，你就知道從哪去找解決方法。

8、了解你的工具的局限性

數(shù)學(xué)教育（和研究論文）很自然地傾向于關(guān)注有效的技術(shù)。但是同等重要的是，知道你的工具何時(shí)失效，從而避免在從開始就注定失敗的方法上浪費(fèi)時(shí)間，轉(zhuǎn)而尋找解決問題的新手段（或?qū)ふ倚聠栴}）。因而，知道一些反例，或容易分析的典型狀況，就非常重要，同樣重要的是知道你的工具能夠處理的障礙和沒希望解決的障礙。同樣，你也應(yīng)知道在什么情況下其他方法可以替代你選擇的工具，而各種方法之間的優(yōu)劣各是什么。

如果你把最喜歡的工具視為一種“魔杖”，一點(diǎn)就把問題神奇地給解了，可你卻沒有別的解法或其他方法來理解這個(gè)解答，這就表示你需要更好的理解這種工具（及其局限性）。

9、了解其他數(shù)學(xué)工具的能力

這是上一條的推論。當(dāng)聽報(bào)告或讀論文時(shí)，你會(huì)發(fā)現(xiàn)，有一些你感興趣的問題是用你不熟悉的工具解決的，而你有的工具好像對著些問題無能為力。這時(shí)候，你一方面應(yīng)該考慮你的方法是否確實(shí)能夠解決類似的問題，另一方面應(yīng)該了解那種工具為何有效——例如，尋找那種工具有不凡效力的最簡單例子。

一旦你比較了新舊工具間各自的長處和不足，以后當(dāng)新工具可能有效的時(shí)候，你就能想起它來。如果做了足夠的聯(lián)系，你就將把它永久裝入你的口袋。

10、默默問自己問題——并解答這些問題

你學(xué)數(shù)學(xué)的時(shí)候，不論從書還是報(bào)告中，通常只看到最后結(jié)果——非常聰明、優(yōu)美無暇的表述了一個(gè)數(shù)學(xué)主題。然而，發(fā)現(xiàn)新數(shù)學(xué)的過程遠(yuǎn)為凌亂，充滿朝著幼稚的、徒勞的或沒有意義的方向的追尋。雖然我們更愿意忽略這些失敗的探索，但實(shí)際上它們是人們獲得更深理解必經(jīng)的過程，並且（通過排除的過程）最終對準(zhǔn)正確道路前進(jìn)。

所以你不要怕問自己“愚蠢的”問題，質(zhì)疑一個(gè)領(lǐng)域的傳統(tǒng)觀念。偶爾回答這些問題會(huì)帶來驚人的結(jié)論，但更多會(huì)說明傳統(tǒng)觀念存在的道理，這也很值得了解。例如，對某個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的引理，你可以問去掉某個(gè)假設(shè)會(huì)發(fā)生什么，或試圖加強(qiáng)結(jié)論；如果經(jīng)常用方法X證明一個(gè)簡單的結(jié)論，你可以看看是否用方法Y替代證明；新的證明也許沒有原來的漂亮，或根本不行，但卻可以反映X和Y相對的能力，這也許有助于證明不那么標(biāo)準(zhǔn)的引理。

11、懷疑你自己的成果

如果你出乎意料不費(fèi)力氣的解了一個(gè)問題，而且你也不明就里，那你應(yīng)該以懷疑的眼光來分析這個(gè)解法。特別的，這個(gè)方法也許能夠證明更強(qiáng)的結(jié)論，而這個(gè)結(jié)論已知是錯(cuò)誤的，那就說明此方法有問題。類似的，當(dāng)你想去證明某個(gè)很強(qiáng)的斷言，你也許應(yīng)該先去找一下反例；不論是找到一個(gè)，這就節(jié)約了大量時(shí)間也許還有發(fā)表它的價(jià)值，還是遇到了一些障礙，這會(huì)提示你需要做什么來證明這個(gè)斷言（特別的，它可以“找到需要消滅的敵人”）。

實(shí)際上，你也應(yīng)該用這種懷疑主義對待其他數(shù)學(xué)斷言；至少它們有助于你理解為什么這個(gè)斷言成立和它有多強(qiáng)。

12、要有遠(yuǎn)見，Think ahead

人們很容易陷入工作中的細(xì)節(jié)而忘記正在做的工作的目的；所以人們應(yīng)該常常停下來回想為什么自己在追求這個(gè)特定的目標(biāo)。例如，如果你正試圖證明一條引理，問問你自己——如果證出來的話，那可以怎么用這條引理呢？引理的哪個(gè)部分對你最重要？較弱的引理是否足夠？引理是否有更簡單的形式？是否值得嘗試去掉引理中的一個(gè)假設(shè)，應(yīng)用中這條假設(shè)是否難以滿足？

通常，在證明引理之前，你並不準(zhǔn)確清楚引理的具體描述，但是即使還沒證明所有的細(xì)節(jié)，你也應(yīng)該能從引理的形式中了解一些有關(guān)引理具體描述的東西。這些問題可以幫助你在花費(fèi)過多時(shí)間證明引理前，先把引理陳述為最優(yōu)形式，從而更有效地利用時(shí)間。

類似的原則也可應(yīng)用到更小的尺度（如證明小的斷言，或做冗長的計(jì)算）和更大的尺度（如證明一個(gè)定理，解一個(gè)問題，或探索一個(gè)研究目標(biāo)）。

13、積極參加報(bào)告會(huì)和學(xué)術(shù)會(huì)議，包括那些不與你的工作直接相關(guān)的

現(xiàn)代科學(xué)更多的是協(xié)作行為，而不是個(gè)體行為。你需要知道其他領(lǐng)域的發(fā)展?fàn)顩r，和其他數(shù)學(xué)家的興趣所在；這經(jīng)常帶給你的工作有價(jià)值的觀點(diǎn)。

你還需要知道那些領(lǐng)域內(nèi)和相鄰領(lǐng)域的名人，並且向同事們介紹你自己。這樣當(dāng)你發(fā)現(xiàn)自己的工作與其他領(lǐng)域有新的聯(lián)系時(shí)，或者需要同其他數(shù)學(xué)家合作時(shí)，就能夠有所準(zhǔn)備。

是的，有人可以用多年時(shí)間獨(dú)自解決一個(gè)大問題——但他必須先與其他數(shù)學(xué)家討論，學(xué)習(xí)所有解決這些問題所必需的技術(shù)、直覺和其他背景。不要期望能夠100%理解任何報(bào)告，尤其是你不熟悉的領(lǐng)域；只要你學(xué)到了一些東西，沒有白白費(fèi)力，那么下回你去聽那個(gè)領(lǐng)域的報(bào)告就會(huì)理解更多。

14、到不同的地方學(xué)習(xí)

到與大學(xué)時(shí)不同的地方讀研修生是個(gè)好主意，同樣做博士后也應(yīng)該到另一個(gè)地方。即使最好的數(shù)學(xué)系也有弱點(diǎn)，所以到不同的數(shù)學(xué)系會(huì)擴(kuò)展你的知識(shí)並且使你經(jīng)歷不同的數(shù)學(xué)文化。

此外，換學(xué)校會(huì)幫助你完成從大學(xué)生到研修生或從研修生到博士后的心理轉(zhuǎn)変。

15、與你的導(dǎo)師交流

這是不言自明的——導(dǎo)師對你的狀況非常了解，並且是指導(dǎo)你的最佳人選。如果情況変成你躲著導(dǎo)師或是導(dǎo)師躲著你，那就非常糟糕了。

特別的，你要注意導(dǎo)師的時(shí)間表，同時(shí)導(dǎo)師也應(yīng)該注意你的時(shí)間表，和你正在干什么；若你想放長假要事先通知導(dǎo)師。

如果導(dǎo)師不在，你應(yīng)該經(jīng)常與其他數(shù)學(xué)家討論數(shù)學(xué)問題，最好是有經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)家。

16、主動(dòng)

另一方面，你不應(yīng)該只依靠導(dǎo)師；如果你想學(xué)、做或?qū)懶〇|西，盡管去做（雖然有時(shí)其他東西更優(yōu)先，如寫論文，會(huì)暫時(shí)更重要）。查閱圖書舘和互聯(lián)網(wǎng)，與其他研修生或教員討論，自己讀論文和書，等等。

17、有耐心

任何給你的問題，一般都需要幾個(gè)月的時(shí)間才能有令人滿意的進(jìn)展。雖然有些簡單問題幾周內(nèi)就能解，但這只是特例。

因而幾個(gè)月沒什么進(jìn)展是很正常的；可是通過耐心地去掉不好的進(jìn)攻方向，你把東西都準(zhǔn)備好了，所以當(dāng)突破出現(xiàn)的時(shí)候，就可以很快推斷這個(gè)問題。有時(shí)候，你（或者這個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域）只是還沒準(zhǔn)備好處理這個(gè)問題；有時(shí)放開這個(gè)問題（但不是完全忘掉），增進(jìn)一些其他相關(guān)問題的技能，過些年再回到原來的問題經(jīng)常是最佳策略。

順便說一句，多數(shù)問題主要靠這種耐心、深入思考來解決；數(shù)學(xué)中極少有那種“找到了”的瞬間，所以不要因?yàn)槟銢]有碰到這種事而灰心（我就沒碰到過）。

18、有靈活性

數(shù)學(xué)研究本質(zhì)上不可預(yù)測——如果我們預(yù)先知道答案是什么和怎么去做的話，那就不叫研究了！所以人們會(huì)被帶到不可預(yù)測的方向，最后有時(shí)你會(huì)發(fā)現(xiàn)更有趣的新問題或數(shù)學(xué)領(lǐng)域。因而，雖然人們應(yīng)該有長期目標(biāo)，但卻不應(yīng)該過于死板，這些目標(biāo)應(yīng)該不斷隨新進(jìn)展而更新。

一個(gè)推論是，你不應(yīng)該只因?yàn)橐粋€(gè)研究員而做職業(yè)決定（如去哪個(gè)大學(xué)），因?yàn)槟莻€(gè)研究員可能會(huì)轉(zhuǎn)走，或者你的興趣會(huì)改変。

另一個(gè)推論是，你不應(yīng)該在有可行方案之前宣布你要解決一個(gè)有名的問題，因?yàn)槿绻莻€(gè)問題比預(yù)期更難的話，你就很難優(yōu)雅地放棄那個(gè)問題而轉(zhuǎn)入其他多產(chǎn)的方向。這點(diǎn)在基金申請中同樣重要；說你想解決著名問題X或你想發(fā)展或使用著名理論Y並不能打動(dòng)基金審批者，除非你有相應(yīng)的計(jì)劃（例如選擇一些較容易的未解問題作為中間目標(biāo)，以及取得進(jìn)步的記錄。

1988年，陶哲軒從澳大利亞總理鮑勃·霍克手中接受國際數(shù)學(xué)奧林匹克金牌

19、敬業(yè)

認(rèn)真負(fù)起你的職責(zé)；在朋友間輕率沒有問題，但對同事確是煩人，尤其是那些忙于類似職責(zé)的人。

寫文章也要認(rèn)真負(fù)責(zé)；你的文章將永遠(yuǎn)記載在期刊上，而且一些今天看起來聰明的東西，也許會(huì)在以后極大地使你難看。

敢于下斷言是好的，但是過于self-promoting或喜歡競爭一般來說會(huì)起副作用；如果你的工作好，這會(huì)不言自明，並且最好把你的精力用來創(chuàng)造新數(shù)學(xué)而不是用來與老的數(shù)學(xué)爭辯。

不要覺得研究中的挫折（如文章被拒，或發(fā)現(xiàn)了一個(gè)錯(cuò)誤）是針對個(gè)人的；一般會(huì)有針對著些問題的建設(shè)性的解決方法，從而使你成為更好的數(shù)學(xué)家，並且避免這類問題。

在文章中大度地確認(rèn)別人的工作、致謝和處理署名順序（但要保證歸屬正確）。

寫作的語氣要客觀和專業(yè)；要盡量避免個(gè)人看法（例如一個(gè)問題、文章或作者的重要性），如果有必要的話，要清楚標(biāo)出來是個(gè)人看法。

在你的個(gè)人主頁上，把個(gè)人的東西與職業(yè)的東西分開；同事們會(huì)訪問你的主頁來下載論文、預(yù)印本、聯(lián)系方式和簡歷，同時(shí)可能対你的業(yè)余愛好和opinions並不感興趣。（相反的，朋友們可能対你的研究不感興趣。）

20、為你的聽眾著想

這主要針對論文，但也適用于報(bào)告和seminars。

另一方面，數(shù)學(xué)中最重要的事情是正確地得到結(jié)果。然而，你也需要真誠地努力去與你的聽眾交流這些結(jié)果。講解得好也很困難——有時(shí)幾乎與做好研究一樣難——而有人也許覺得只要證明了結(jié)果，他們並沒有義務(wù)去解釋它。而這種態(tài)度會(huì)毫無疑義地激怒潛在的最強(qiáng)的支持者或你工作的developers，最終帶來副作用。

所以，你應(yīng)該認(rèn)真思考諸如論文的邏輯結(jié)構(gòu)、符號(hào)的選取和布局，以及在引言以及其他章節(jié)里的啟發(fā)性的、不正式的、motivational和總體的概括性的材料。理想的情況下，文章中的每一部分，讀者應(yīng)該知道直接的目標(biāo)是什么，長期目標(biāo)是什么，核心論斷和關(guān)鍵步驟會(huì)在哪里證明，符號(hào)、引理和其他引進(jìn)的東西與這些目標(biāo)關(guān)系何在，明白這些論證上下文的含義。（簡單說來，一篇好的論文應(yīng)該告訴讀者“為甚麼”和“在哪里”，而不僅是“如何”和“什么”。）

現(xiàn)實(shí)中人們往往達(dá)不到這些目標(biāo)，但仍有一些不需損害結(jié)果就能增加文章可讀性的方法。有時(shí)候可以把論文擱到一邊一段時(shí)間，直到你忘掉那些細(xì)節(jié)，然后從新的角度（更接近你的典型聽眾）重新讀它；這樣經(jīng)常可以使有意義的結(jié)果顯現(xiàn)出來，從而可以很容易地寫出來。

21、不要過早的沉迷于一個(gè)“大的問題”或“大的理論”。

這是數(shù)學(xué)中的一個(gè)十分危險(xiǎn)的職業(yè)病——一個(gè)人集中注意力于一個(gè)領(lǐng)域中的一個(gè)非常難的問題（或一個(gè)大一統(tǒng)的理論），排斥其他數(shù)學(xué)活動(dòng)，而這時(shí)他還沒真正準(zhǔn)備好（既包括數(shù)學(xué)知識(shí)也包括他的事業(yè)方面）投入如此多的研究時(shí)間。當(dāng)他開始忽略其他任務(wù)（比如寫和發(fā)表“次要的”結(jié)論），希望最終解決主要問題或建立革命性的新理論這種“大回報(bào)”來補(bǔ)償其他方面的缺乏進(jìn)展，這就是一個(gè)強(qiáng)烈的信號(hào)表明他應(yīng)該重新平衡要優(yōu)先考慮的事了。

雖然人們像上面所說的那種著迷的方式解決了一些主要的問題，提出了一些重要的理論，但這種成功僅出現(xiàn)在數(shù)學(xué)家能夠a.已經(jīng)證明在這個(gè)領(lǐng)域可以寫出重要論文, 而且b.工作有保障（例如終身職位）。如果你還不具備a和b這兩個(gè)條件，或者你的思路仍有明顯不確定性的部分（或你的大理論還沒有明確的和驚人的應(yīng)用），我強(qiáng)烈建議一種更平衡的方式：記著這個(gè)大問題或理論，有時(shí)間想想它們，但是把大部分時(shí)間花在更可行的“觸手可得的果子上”，這能夠增長你的經(jīng)驗(yàn)，數(shù)學(xué)能力，和表明你已經(jīng)準(zhǔn)備好進(jìn)攻更艱巨的目標(biāo)的信用。

2014年，頗受矚目的“科學(xué)突破獎(jiǎng)”(Breakthrough Prize)在美國舊金山頒發(fā)了其首屆數(shù)學(xué)獎(jiǎng)。包括陶哲軒在內(nèi)的來自歐美的5位杰出數(shù)學(xué)家獲獎(jiǎng)，并各自獲得高達(dá)300萬美元的獎(jiǎng)金。這是目前全世界在科學(xué)領(lǐng)域里的最高額獎(jiǎng)金，超出120萬美元的諾貝爾獎(jiǎng)兩倍有余。

22、演講與論文不同

做好的演講是很難的，尤其是剛開始職業(yè)生涯時(shí)。

人們應(yīng)該避免把演講當(dāng)成論文這種普遍的錯(cuò)誤，放入很多細(xì)節(jié)、技術(shù)和形式化。（尤其報(bào)告決不應(yīng)該只是一些研究論文的直接拼湊！）除了非常熟悉你的工作的人，這種演講幾乎不可能聽得懂，尤其是（與閱讀論文不同）聽眾很難想起四五張幻燈片之前定義的符號(hào)和做出的注解。

與之相反，演講應(yīng)該從更高的層面上和非書面的概觀來補(bǔ)足論文中的內(nèi)容，尤其是對那種更正規(guī)和標(biāo)準(zhǔn)的論證；這使你能夠引導(dǎo)聽眾的注意力到更有趣和重要的部分上去，你可以更細(xì)致地描述這些部分。

一個(gè)好的報(bào)告應(yīng)該対“非專家”友好，可以在最初的幾分鐘講一些基本的例子或背景，從而他們不至于一開始就完全迷惑了。實(shí)際上，即使是專家也會(huì)愿意聽到対背景材料的回顧；即使這些材料都是舊的，但是有時(shí)你會(huì)有一種新的視角，這就有意義了。同時(shí)，如果你把背景材料部分組織合理，你対新材料的處理就可以更加容易和自然地被聽眾接受。

一個(gè)特別有效的方法是，在講新定理Y的證明之前，先回顧標(biāo)準(zhǔn)定理X的Y形式的證明，然后證明Y的時(shí)候只需要使用重復(fù)證明X的步驟，同時(shí)做一些關(guān)鍵改変，我們要把這些關(guān)鍵點(diǎn)突出出來。（當(dāng)然，如果可以的話，你應(yīng)該把X的證明留在黑板或者屏幕上。）這樣經(jīng)常效果更好，甚至可以更快，比起為了節(jié)約時(shí)間跳過X的證明而直接開始證明Y的方法。

23、多用回收站，備份論文草稿

不是每個(gè)想法都會(huì)帶來成功，也不是每個(gè)第一份草稿就能構(gòu)成最終草稿的一個(gè)好模板。即使對最好的數(shù)學(xué)家也是如此。

有些時(shí)候，事情就不像最初計(jì)劃的方向發(fā)展，你需要縮減計(jì)劃，調(diào)整計(jì)劃，或放棄計(jì)劃；有時(shí)你發(fā)現(xiàn)一個(gè)耗費(fèi)了你很多時(shí)間的引理對這篇論文沒有什么作用，需要不情愿地刪掉，或者放到以后的論文中去；也有時(shí)你發(fā)現(xiàn)寫了一半的論文的結(jié)構(gòu)不好，需要重新來寫。（說實(shí)話，一些我最自豪的論文，因?yàn)橐淮位蚨啻沃貙懀沟媚銕缀鯊闹型耆床怀鲎畛醯牟莞濉＃?/span>

你必須明白什么時(shí)候要有耐心和持之以恒，什么時(shí)候應(yīng)該注重實(shí)效；在死胡同中頑固地不停工作不是使用時(shí)間的有效方式，同時(shí)如果把你工作中最后一點(diǎn)的雞肋都發(fā)表出來，那就很難達(dá)到你對自己作品所期望的質(zhì)量。當(dāng)然，數(shù)字時(shí)代保存自己全部的工作更加容易，你也應(yīng)該在大修論文之前備份一份這篇論文。甚至使人尷尬的錯(cuò)誤工作（我也有一些這種錯(cuò)誤的工作，幸運(yùn)的是在發(fā)表之前就被發(fā)現(xiàn)了）也應(yīng)該保存起來，因?yàn)槟悴豢赡苤朗欠衲軓闹型炀瘸鲆恍〇|西，同時(shí)記錄下錯(cuò)誤有助于避免以后再犯。

24、寫下你完成的工作

在早期職業(yè)生涯有許多次，我讀到、聽說或者偶然發(fā)現(xiàn)一些精巧的數(shù)學(xué)技巧或論證，並且以為自己完全理解了，所以不需要把它記錄下來；但是一段時(shí)間，比如六個(gè)月以后，當(dāng)真正需要這個(gè)技巧的時(shí)候，我卻完全推不出來了。終于我下定決心記錄下（在電腦上做這件事更合適）所有遇到的有趣論證的概略——不需要達(dá)到出版水平，但是詳細(xì)到使我可以安全地的忘掉細(xì)節(jié)，並且在需要的時(shí)候可以從概略中容易地復(fù)原論證。我建議你也這樣做，因?yàn)檫@樣做你就可以永遠(yuǎn)找到這個(gè)論證。

除了這個(gè)顯而易見的好處外，還有其他幾個(gè)好處。

首先，你可以聯(lián)系數(shù)學(xué)寫作，包括技術(shù)層面（比如學(xué)習(xí)使用TeX）和如何陳述才能使人容易理解。

其次，這可以檢驗(yàn)?zāi)闶欠裰皇菑谋砻嫔隙昧诉@個(gè)論證。

再次，這樣可以減少要記憶的東西；你不再需要記住論證的精確細(xì)節(jié)，從而可以將記憶力用于學(xué)習(xí)新的問題。

最后，你寫的東西可能最終有助于以后寫的論文、講稿或研究計(jì)劃。

25、公開你的成果

隨著萬維網(wǎng)，尤其是arXiv之類的預(yù)印本服務(wù)器的出現(xiàn)，人們沒有借口不把自己的預(yù)印本放在網(wǎng)上，使得對你工作感興趣的人可以找到它。（大部分期刊也在網(wǎng)上可見，但是鑒于出版往往會(huì)比預(yù)印本晚以年來計(jì)算的時(shí)間，把預(yù)印本放上網(wǎng)仍然有好處。）特別的，你的工作將出現(xiàn)在那個(gè)領(lǐng)域搜索引擎的結(jié)果中（我曾經(jīng)這樣遇到過很多篇有趣的論文）。這將有助于提升你和你的工作在同事中的知名度，並且可能帶來未來的合作，或其他學(xué)者在你的工作之上繼續(xù)研究（同時(shí)引用你的論文）。

你可能會(huì)擔(dān)心公開自己的工作，可能會(huì)給這個(gè)領(lǐng)域帶來太多的競爭，但是如果其他人對這個(gè)領(lǐng)域有如此之大的興趣的話，這種競爭遲早會(huì)到來的，而公開自己的工作至少可以帶來優(yōu)先權(quán)（提交給arXiv之類的服務(wù)器，預(yù)印本有可靠的時(shí)間戳）和be acknowledged in citations。

當(dāng)然，如果可能的話，你應(yīng)該使預(yù)印本達(dá)到可以發(fā)表的質(zhì)量，雖然這條要求不像対于要發(fā)表的論文那么重要，因?yàn)榭梢院芊奖愕馗骂A(yù)印本。

至于是否將預(yù)印本email到本領(lǐng)域的其他專家，我只會(huì)在他肯定會(huì)感興趣的情況下這樣做（例如，它解決了他們提出的某個(gè)猜想）。否則，他可能太忙（或者已經(jīng)対這個(gè)問題不感興趣了），所以不能詳細(xì)地讀你的文章，或者偶然的，他會(huì)當(dāng)你在推銷，或者認(rèn)為你自高自大。

大多數(shù)情況下，在網(wǎng)上公開你的文章已經(jīng)足夠了；好幾條途徑可以使你的工作為人所知（如審稿過程、會(huì)議、word-of-mouth、預(yù)印本郵件列表），而積極推銷論文一般沒有什么額外的好處。

— THE END —

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