原來你是這樣的齊次坐標(biāo)
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轉(zhuǎn)載自 | CV學(xué)習(xí)筆記
今天我們來學(xué)習(xí)齊次坐標(biāo)和齊次坐標(biāo)系，如果你是工科生或是理科生一定聽說過齊次這個詞，線性代數(shù)中我們曾經(jīng)提到過齊次線性方程組，百度百科的將齊次線性方程組解釋為“常數(shù)項(xiàng)全部為零的線性方程組”。這個解釋非但沒有告訴我們 [齊次] 是什么，反而讓我們更糊涂了！
我們先從從字面上看一下 [齊次] 是什么意思，齊次的英文是 homogeneous 譯為相同的，同質(zhì)的，同類的。以剛剛提到的齊次線性方程組為例，我們知道 Ax = 0 就是齊次的， Ax = b 不是齊次。當(dāng)我們把方程左邊 Ax 放大一個常數(shù)倍時，齊次的 Ax = 0 依然成立，而非齊次的 Ax = b 則不再成立。換句話說對于 mAx = 0，m 為任意非零實(shí)數(shù)，他們本質(zhì)上都是同一個方程組，也就是所謂的同質(zhì)性。再簡單來講，齊次性就是輸入函數(shù)擴(kuò)大 a 倍，而其響應(yīng)函數(shù)相應(yīng)的也擴(kuò)大 a 倍，就叫 [齊次性]。
那么齊次坐標(biāo)呢，我們可以理解為(x, y, z)和(kx, ky, kz) 表示同一點(diǎn)，其中k ≠ 0。有的同學(xué)可能問了，(x, y, z)和(kx, ky, kz)明明是兩個不同的點(diǎn)啊。你說的沒錯，對于三維空間的點(diǎn)，這的確表示兩個點(diǎn)，但是我要用它表示的是平面中的點(diǎn)。你又會說了，這不是浪費(fèi)嗎，明明只有兩個自由度為什么非要用三個參數(shù)表示。不知道大家看過三體沒有，低維文明對高維文明的攻擊是毫無抵抗力的。那么我們用三維的方法去解決二維的問題想必也會是輕松加愉快。
現(xiàn)在就來一起看看這一切是如何做到的。
當(dāng)我們看一個二維圖像，每個點(diǎn)都有一個坐標(biāo)，可以用 x，y 表示。但是如果把它想成一個三維空間上的點(diǎn)。當(dāng)我們看到這下面張圖片時，想象我們和成像平面間有一定距離。可以假設(shè)我們的觀察點(diǎn)在三維世界中坐標(biāo)為 (0, 0, 0) ，成像平面在我們的前方一個單位的位置上，成像平面上的一個點(diǎn)將不再是一個點(diǎn)，而是一條經(jīng)過我們眼睛和成像平面該點(diǎn)的一條射線，也就是一條過 (0, 0, 0) 和 (x, y, 1) 的射線。這樣圖片中的一點(diǎn)就和三維世界中的一條線聯(lián)系起來。從現(xiàn)在起，我們每看到一個點(diǎn)都是一條射線，我們用齊次坐標(biāo)第三個維度坐標(biāo)的倒數(shù)表示我們研究的點(diǎn)在 z 方向（垂直于成像平面）距離我們多遠(yuǎn)。
既然圖片中一點(diǎn)表示一條三維射線，那么圖片中一條線對應(yīng)在三維空間是什么呢？
相信聰明的你已經(jīng)想到了，沒錯就是一個由直線端點(diǎn)表示的那條射線沿直線掠過到另一端點(diǎn)的面，如果平面中是一條直線，就對應(yīng)空間的一個平面，否則就是一個曲面。我們這里只研究平面，用方程 ax+by+cz = 0 來表示。向量形式表示就是
所以一條直線的齊次坐標(biāo)表示同樣是一個三維向量。回憶一下高等數(shù)學(xué)的知識，其實(shí)這個向量的三個坐標(biāo)表示的就是平面的法線方向。
已知兩點(diǎn)坐標(biāo)求直線方程
我們知道對于平面中的兩個點(diǎn)，可以采用兩點(diǎn)法解出過這兩點(diǎn)的直線表達(dá)式，但是計算十分繁瑣。對于齊次坐標(biāo)表示的點(diǎn)和直線呢，我們可以用一種高維的方法去解決這個問題。既然平面上的直線對應(yīng)空間的一個平面，而這個平面又是由它的法向量表示的，顯然這個法向量垂直于平面上任意的直線，當(dāng)然也垂直于平面上兩個點(diǎn)對應(yīng)的射線。
想到這里，我們就可以利用兩個射線的叉乘得到與他們垂直的向量，也就是所求平面的法向量，即所求直線。
所以平面中直線表示為
已知兩直線求交點(diǎn)
如何找到兩條直線的交點(diǎn)，在平面內(nèi)我們聯(lián)立兩個直線方程，求解一個二元一次方程組。在齊次坐標(biāo)系系統(tǒng)中兩條直線分別表示了兩個過空間原點(diǎn)的平面，成像平面中兩直線交點(diǎn)對應(yīng)空間中兩平面相交直線。由高中立體幾何的知識，因?yàn)樵摻痪€同時位于兩平面內(nèi)，所以同時垂直與兩平面的法線。
利用兩法線叉乘就能得到該交線的方程。
點(diǎn)和線的對偶性
這引出了在齊次坐標(biāo)下點(diǎn)和線的對偶性。點(diǎn)由三維坐標(biāo)表示，平面也是。根據(jù)這個概念我們可以看到直線 P1P2 ，由過 P1, P2 兩點(diǎn)表示的兩條射線的叉積定義。因?yàn)槠矫嬷芯€代表三維中的一個平面，直線 P1P2 對應(yīng)的平面有一個法線 n ，同時垂直于空間中的射線 P1, P2 。
類似的，下圖平面中兩條紅線也是由三維向量表示，平面的法線 l1, l2 由線和原點(diǎn)決定,兩條線相交于一個點(diǎn),同樣可以通過計算兩個向量的叉積得到交點(diǎn) 又因?yàn)榻稽c(diǎn)代表的射線,同時垂直于平面法線l1和l2,因此平面法線 l1 和 l2 的叉積,就是交點(diǎn)射線的方向，也就是交點(diǎn)的齊次坐標(biāo)。
這便是對偶性，因?yàn)榭梢砸韵嗤姆绞娇创c(diǎn)和面首先它們都用三維向量表示，其次你可以通過叉積得到兩點(diǎn)連線，而兩條線的交點(diǎn)也可以用相同的方法得到。
當(dāng)我們叉乘得到的結(jié)果是 (x, y, 0) 代表什么意思，回憶一下，當(dāng)我們要把三維射線轉(zhuǎn)換為二維點(diǎn)時需要除掉第三項(xiàng)。但 x 除以 0 , y 除以 0 ，我們會得到兩個無限大的數(shù) 這意味著這是一個無窮遠(yuǎn)處的點(diǎn)。事實(shí)上有無數(shù)個無限遠(yuǎn)的點(diǎn)，與圖像中每個方向的平行線一一相對。
實(shí)際上這就是上期提到的滅點(diǎn)！所以，圖像中的滅點(diǎn)就是平行線相交得到的。平行線在現(xiàn)實(shí)中不相交，但我們?nèi)匀豢梢宰鲆粋€叉積?？紤]平面中兩根平行的直線，x = 1,x = 2，齊次坐標(biāo)為 (-1, 0, 1) 和 (-1 , 0, 2) ，兩向量叉積為 (0, 1, 0) ，得到的是交點(diǎn)齊次坐標(biāo)最后一項(xiàng)為 0 ，故為無窮遠(yuǎn)處的點(diǎn)，齊次坐標(biāo)的前兩項(xiàng)表示在哪個方向的無窮遠(yuǎn)處，如 (0, 1) 表示 y 軸方向。
那么無窮遠(yuǎn)處的直線是什么呢，假設(shè)存在一個直線 (a, b, c) 經(jīng)過所有滅點(diǎn) (x, y, 0) ，將任意兩個無窮遠(yuǎn)點(diǎn)進(jìn)行叉積，我們發(fā)現(xiàn)這條直線必有 (0, 0, 1) 的形式，這是成像平面的法線，且這條法線垂直于正中心處。
我們稱 (x, y, 0) 和 (0, 0, 1) 為理想點(diǎn)和理想線，每一個無限遠(yuǎn)處的點(diǎn)都表示為 (x, y, 0) 它是一組在成像平面中指向 (x, y) 方向的相互平行的線的交點(diǎn)，所有這些指向同一方向的線有同一個滅點(diǎn) (x, y, 0) ，而這個理想點(diǎn)坐標(biāo)表示的直線，是在成像平面中是一條穿過原點(diǎn)的實(shí)際存在的線 ，而理想線坐標(biāo)表示的點(diǎn)，正是成像平面中的原點(diǎn)。
以上內(nèi)容來源于對賓夕法尼亞大學(xué)在Coursera平臺開設(shè)的《Robotics》專項(xiàng)課程《Perception》篇的理解和摘要。
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