長度是怎樣煉成的

數(shù)學算法俱樂部

日期：2020年08月24日

正文共：20141字1圖

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來源：網(wǎng)絡(luò)

寫在前面的話：

這篇文章寫于三年前，嚴格說起來，這是我認真寫過的第一篇關(guān)于數(shù)學的文章。

寫作動機來自于一次在網(wǎng)絡(luò)上和一個學哲學的朋友的聊天，當時談到了幾個關(guān)于長度的哲學問題，那個朋友想知道從一個學數(shù)學的人的角度來看，這些問題是怎樣被回答的：點沒有長度和面積，為什么由點組成的線和面會具有長度和面積？“長度”“面積”這些詞匯究竟是在怎樣的意義上被使用的？有的時候我們把點的長度叫做零，有的時候叫做無窮小，這兩個稱呼是不是都有道理？

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當時松鼠會還沒有出現(xiàn)，我也并不覺得自己有資格寫所謂的科普，但是既然這些問題擺在面前，我也就認認真真地嘗試著把自己關(guān)于這些問題的理解用盡可能非數(shù)學化的語言描述出來。當我最終完成這一組文章的時候所得到的那種滿足感，相信很多朋友們也都體會過。

后來有了松鼠會，有這么多朋友們也在興高采烈地做著同樣的事情。現(xiàn)在松鼠會即將迎來自己的周年慶了，我把這組文章發(fā)在這里，算是我自己的一點致意。松鼠會，生日快樂。

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（一）關(guān)于無窮

當我們使用“無窮”這個詞的時候，我們必須時刻謹記，這個詞有兩種截然不同的意義——不，我這里說的不是亞里士多德關(guān)于實無窮和潛無窮的那些繞口令，而是某些重要得多的本質(zhì)問題，對他們的清晰闡釋開始于偉大的德國數(shù)學家康托Georg Cantor (1845-1918)：當我們說一個集合有無窮多個元素的時候，我們必須指明這里的無窮是哪一種，是“可數(shù)無窮”還是“不可數(shù)無窮”。雖然都是無窮集合，但是它們會體現(xiàn)出截然不同的性質(zhì)。

為了說明這一問題，我們引進集合的“勢（cardinality）”的概念。簡單說來，勢就是集合的元素的個數(shù)。一個集合有三個元素，我們就稱其勢為3。兩個集合如果元素個數(shù)相等，我們就稱它們?yōu)榈葎莸摹！茱@然，要判斷兩個集合是不是等勢，只需要看這兩個集合之間能不能建立起元素的一一對應即可，如果可以的話，我們就說這兩個集合的元素是一樣多的。

到這里為止都顯得很簡單。可是最有趣的部分馬上就要出現(xiàn)了：康托指出，不但對于有限個元素的集合我們可以討論它們的勢，對于無窮個元素的集合，我們同樣可以討論它們之間是否等勢。換句話說，我們可以討論兩個無窮集合的元素是不是一樣多！

之所以如此，是因為集合之間的“一一對應”本質(zhì)上只是個數(shù)學概念，是可以被精確研究的對象（請回憶高中數(shù)學課本關(guān)于映射的那一章）。從而，隨便拿兩個集合來，它們之間是否能建立一一對應只是數(shù)學上的問題而已。

以下是一些最基本也是最著名的例子和命題，請盡量耐心的閱讀。所有這些陳述都是可以基于最簡單的形式邏輯給出嚴格證明的，證明可以在參考文獻[1]上查到：

·????????每一個集合都和它自身等勢。

注：廢話。

·????????全體正整數(shù)的集合和全體正偶數(shù)的集合等勢。

注：這是第一個有趣然而迷惑人的結(jié)果。我們等于是在說：一個集合可以和它的一部分一樣多！——但是這并不是一個悖論。我們通常覺得一個集合不能和它的一部分一樣多只是針對有限集合而言的，本來就沒人說過無限集合不能和它的一部分一樣多，只是有時候大家會不自覺地有這個誤解而已。

·????????全體正整數(shù)的集合和全體有理數(shù)的集合等勢。（什么是有理數(shù)來著？查書去！）

注：這是在數(shù)學上很重要的一個例子，說明一個實數(shù)中的稠密集可以和一個離散集等勢，不過大家看到這里大概已經(jīng)開始打瞌睡了……跳過這個例子！

·????????全體正整數(shù)的集合和全體實數(shù)的集合不等勢。

注：睜大眼睛，迄今為止最重要的一句話出現(xiàn)了！你永遠不可能在全體正整數(shù)的集合和全體實數(shù)的集合之間建立起一一對應來。對這個陳述的證明是數(shù)學上最有趣也最迷人的證明之一，可惜的是篇幅所限我不能在這里證明給大家看。那么只討論結(jié)論好了：并不是所有的無窮集合都是等勢的，有一些無窮集合比另一些無窮集合的元素更多，換句話說，無窮之間也是有大小的。

·????????任給一個無窮集合，我們都能夠造出一個集合包含它，而且和它不等勢。

注：換句話說，無窮和無窮相比，沒有最大，只有更大。——但是請注意，雖然我們能夠造出越來越大的無窮集合，但是我們并不真正對那些太大的無窮感興趣，因為和這個世界沒什么關(guān)系。

·????????如果兩個集合都和第三個集合等勢，那么它們彼此也等勢。

注：好像也是廢話，但是它引出了下面的重要陳述。

·????????有很多集合都和全體正整數(shù)的集合等勢，從而它們彼此也等勢，我們稱所有這樣的集合為“可數(shù)無窮的（countably infinite）”。有很多無窮集合比全體正整數(shù)的集合的勢更大，我們稱所有這樣的集合為不可數(shù)無窮的（uncountably infinite）。但是，不存在無窮集合的勢比全體正整數(shù)的集合的勢更小。

注：我們待會兒再來討論為什么起這么兩個名字。前面的例子告訴我們，全體正偶數(shù)的集合是可數(shù)無窮的，全體有理數(shù)的集合是可數(shù)無窮的，但是全體實數(shù)的集合是不可數(shù)無窮的。

·????????在不可數(shù)無窮集合中間，有些集合是和全體實數(shù)的集合等勢的，這些集合被稱為“連續(xù)統(tǒng)（continuum）”

注：好了，現(xiàn)在我們對全體無窮集合建立了一個簡單的分類。最小的一類稱為可數(shù)無窮集。剩下的都叫不可數(shù)無窮集。不可數(shù)無窮集里面又有特殊的一類叫作連續(xù)統(tǒng)，剩下當然還有一些非連續(xù)統(tǒng)的不可數(shù)無窮集，但是它們幾乎和真實世界沒有任何關(guān)系，所以忽略之。（有人不愿意忽略它們，非要去研究里面的一些麻煩的問題，于是產(chǎn)生了數(shù)學中間最讓人頭暈的一部分結(jié)論，比如什么哥德爾不完全性定理之類……這個定理偏偏還特別著名，很多人都問過我它究竟說的是啥。相信我，你不可能弄明白的。）

也就是說，我們真正關(guān)心的是兩類特殊的無窮集合，一類稱為可數(shù)無窮集，一類稱為連續(xù)統(tǒng)。所有的可數(shù)無窮集彼此等勢，所有的連續(xù)統(tǒng)彼此等勢，但是任何可數(shù)無窮集和連續(xù)統(tǒng)之間不等勢，后者總是更大一些……真繞嘴阿。

下面是一些可數(shù)無窮集和連續(xù)統(tǒng)的例子：

可數(shù)無窮集：

自然數(shù)集，整數(shù)集，有理數(shù)集。（基本上，如果你在平面上或者直線上隨手點無窮個點，并且這些點彼此都不挨著，那么它們的總數(shù)就是可數(shù)無窮的。但是也存在一些不這么簡單的可數(shù)無窮集。）

連續(xù)統(tǒng)：

實數(shù)集，直線上點的個數(shù)，平面上點的個數(shù)，一個正方形里點的個數(shù)，或者簡而言之，一切幾何對象里的點的個數(shù)都是連續(xù)統(tǒng)。（這里一個常常被人提到的推論就是直線上的點和平面上的點一樣多，——都是連續(xù)統(tǒng)那么多。其實證明很簡單，但是一言難盡，請查書去。）

好了，現(xiàn)在我們可以討論這兩個名字是怎么來的了。請注意，所有的可數(shù)無窮集都是可以和正整數(shù)建立起一一對應的，這是什么意思呢？這意味著，我們可以把一個可數(shù)無窮集中的每個元素都對應到一個正整數(shù)，這相當于給他們編了號碼，從而我們可以去數(shù)它們（這就是可數(shù)這個詞的來歷）。也就是說，我們可以按照1號、2號、3號這么一直數(shù)下去，雖然總數(shù)是無窮的，但是只要我們在理論上一直數(shù)完所有的自然數(shù)，我們就能真正數(shù)遍這個集合的所有元素（至少在想像里是這樣）。

而連續(xù)統(tǒng)集合卻不是這樣。一個直線上的點是連續(xù)統(tǒng)，這就是說，無論怎么巧妙的給這些點編號，我們都是不可能給所有的點都編上號碼然后一個一個的數(shù)下去把它們都數(shù)完的。它們是“不可數(shù)”的。

有人會說，這不是自欺欺人么？反正都是無窮個，反正事實上總也不可能數(shù)得完，那么在理論上區(qū)分“想像中數(shù)得完”和“想像中也數(shù)不完”有什么實際意義呢？

有的。正是這一點微妙的差別，使得有些事情我們能夠?qū)蓴?shù)集去做卻不能對連續(xù)統(tǒng)集合去做，也正是這一點差別，促成了從沒有大小的點到有大小的直線和平面之間的巨大的飛躍。

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（二）測度的建立

讓我們暫時放下關(guān)于無窮的那些討論，回到主題：我們通常所說的長度面積體積這些詞，究竟是什么意思？

為了更清楚的闡明這個主題，讓我們把目光只集中在最簡單的一維情形，也就是說，我們只考慮“長度”?這個詞。我們希望，取出直線上的一部分，就有一個“長度”?存在。如果能做到這一點，那么類似的，面積和體積之類的高維詞匯也可以類似的得以理解。

我們把目前要回答的問題列在下面：

·????????什么是長度？

·????????是不是直線上任何一部分都可以有長度？

直線上的一個線段當然應該有長度，直線上的兩段分離的線段也有總長度，單點有沒有長度呢？隨便從直線上挖出一些點來得到的也許是虛虛實實的一個“虛線段”有沒有長度？是不是我們從直線上任意取出一個子集合(線段啦單點啦都可以看成是直線的特殊的子集合)，都可以定義它的長度？——這件事無論在數(shù)學上還是應用上都是重要的，如果能夠給直線的任何子集定義長度，那就太方便了。

·????????如果上面這件事是可以的話，那么隨便給一個直線上的點集，長度怎么計算？

等等等等。

事實上，在數(shù)學中這些問題都能夠得到解答，但是首先讓我們把上面問題里的“長度”?這個詞都換成更準確的一個術(shù)語：測度(measure)。之所以要采用這么一個新造的詞，首先是因為“長度”有時候有局限性。一個線段的長度好理解，一個復雜的點集，說長度就會顯得很奇怪；不僅如此，在二維情形下我們還要研究面積，三維還要研究體積，四維還要研究不知道什么積……為了省去發(fā)明一個又一個新詞的苦惱，我們把這些東西統(tǒng)一叫做二維測度，三維測度……一了百了。

好吧，那么，我們來定義(一維)測度。

——不，不要誤會，我并不是要在此刻寫出一大段難懂的話，告訴大家“測度就是什么什么什么什么。”?或者更謙遜一點，說“我認為，測度就是什么什么什么什么。” ——也許這是一般人看來自然不過的工作方式，但不是數(shù)學家的。

這是因為，我們現(xiàn)在要定義的是某種特別基礎(chǔ)的概念。也許在定義某些很復雜的高層概念的時候這種方式很自然，可是概念越基礎(chǔ)，這種方式帶來的問題就越大。關(guān)于測度這種層次的概念幾乎必然伴隨著用語言難于精確描述的種種晦澀的思考，一旦一個人試圖把他對這個詞的理解宣諸筆墨，那么無論他多么小心翼翼的整理他的陳述，在別人看起來他的定義都必然漏洞百出，有無數(shù)可以商榷的地方。——而因為這個概念在整個邏輯體系中的位置過于基礎(chǔ)，任何商榷又都必然說起來云山霧罩，像哲學家們通常進行的關(guān)于基礎(chǔ)概念的爭論一樣令人頭昏腦脹。如果數(shù)學家們要開會用這種方法給出測度的定義，那一百個數(shù)學家一定會提出一百零一種定義來，最終的結(jié)果是什么有效的結(jié)論也得不到。

數(shù)學家們采用的是完全不同的方式：我們先不要貿(mào)然去說“什么是測度”，而是先問問自己，當我們想發(fā)明一個新的定義的時候，我們在這個定義的背后是想達到怎樣一種目的？換句話說，我們想讓這個定義實現(xiàn)哪些事情？

首先，測度——不管它具體怎么定義，其作用的對象按照我們的期望是直線上的任意一個子集，而最后得到的測度應該是一個具體的數(shù)字。也就是說，所謂定義測度，就是我們需要找到一種方法，使得隨便拿來直線上的一個子集，我們都能夠最終得到一個數(shù)字作為其“長度”。（在這里我們把無窮大也看成是數(shù)字，例如整根直線的測度就是無窮大。）

然后，這種方法總要滿足一些必要的約束。——不能隨便給一個線段標上一個數(shù)字，就說它是測度了。這些約束有哪些呢？

第一，空集（注意是說空集而不是說單點集）本身也是直線的子集，也應該有個測度。我們應當保證空集的測度是零。這是很顯然的，否則這個測度就毫無實際意義了。

第二，既然每個子集都有一個測度，那么把兩個彼此本身不相交的子集并在一起得到的新的子集也應該有個測度，并且這個測度應該等于兩者之和。——這也是很直觀的要求。兩個線段如果不相交，那么他們的總長度應該等于兩者長度之和。更高維的情況也一樣，兩個二維圖形如果不相交，那么總面積應當?shù)扔诟髯悦娣e之和，諸如此類。

更進一步，三個不相交子集的測度之和也應該等于這三個子集并起來的集合的測度，四個也對，五個也對，依此類推，無窮個不相交子集的測度之和也應該等于把它們并起來得到的集合的測度。——注意，是可數(shù)無窮個！

(為什么呢？直接說任意無窮個不好么？干嘛只限定是可數(shù)無窮個？)

數(shù)學家是很謹慎的。上面這個性質(zhì)被稱為可數(shù)無窮個集合的測度的“可加性”?，承認可數(shù)無窮個集合有可加性是不得不為之，因為在實際應用中我們確實常常會遇到對可數(shù)無窮個子集求總測度的問題，可是任意無窮個子集的測度也能相加，這個陳述就太強大了，我們一時還說不好測度有沒有這么強的性質(zhì)，還是先只承認可加性對可數(shù)無窮個集合成立好了。

第三……

“且慢”?，數(shù)學家說，“先別找太多的約束，看看這兩條約束本身能夠在多大程度上給出測度的定義好了。”

(什么嘛，這兩條約束根本什么都沒說。第一條是廢話，第二條也是很顯然的性質(zhì)，要是只滿足這兩條就可以叫做測度，那測度的定義也太寬松了，我隨隨便便就能構(gòu)造出好多種不同的測度出來。)

也許是這樣，可是到時候再添上新的約束也不遲。這也是數(shù)學家們常用的辦法，先定義盡量寬松的概念，然后再一點一點的附加條件，得到更細致和特殊的子概念。就目前的情況來說，看起來這兩條約束確實是寬松了點……

不幸的是——也許出乎你的意料——這兩條約束不是太寬松，而是已經(jīng)太嚴苛了。我們可以證明，給直線的每個子集都標上數(shù)字作為測度，保證空集的測度是零，并且測度滿足可數(shù)無窮個集合的可加性，這件事情在邏輯上并無內(nèi)在的矛盾，但是這樣的測度必然具有一些數(shù)學上非常古怪的性質(zhì)。也就是說，這樣的測度根本不能用來作為對長度的定義！

（關(guān)于這件事的證明其實很簡單，但是需要一點數(shù)學基礎(chǔ)才能讀懂，詳情可以參考文獻[1]。關(guān)于什么是“古怪的性質(zhì)”，后面還會提及。）

在這種情形下，我們只好退而求其次，減少對測度這個概念的期望。——可是前面提到的兩條性質(zhì)都再基本不過了，如果連它們都不能滿足，我們定義出來測度又有什么用呢？——于是數(shù)學家們另辟蹊徑，不是放松這兩條限制，而是放松它們的適用范圍：我們不去強求測度能對直線的每個子集都有定義，也就是說，我們只挑出直線的一些子集來定義測度，看看能不能避免邏輯上的困境。

需要挑出那些子集呢？很顯然，我們希望對于平時人們能接觸到的各種常見的子集都能定義測度，所以單點集是需要的，線段也是需要的，而若干線段的交集或并集（這里若干還是指至多可數(shù)個）也是需要的，對它們的交集或并集再作交集或者并集也是需要的……

在數(shù)學中，我們把所有線段反復做交集或并集生成的這一大類集合稱為可測集（當然它有更嚴格的定義，不過大概就是這個意思）。不要小看這種生成方式，事實上，你能想象得到的直線的子集其實都是可測集，——要找出一個非可測集的集合反倒是有點困難的事情。雖然可測集不包括直線的全體子集，但是如果我們能對所有可測集定義合理的測度，那這個測度也足以應付人們的需要了。

所幸的是這確實是可以做到的。在測度論中有很大的一部分篇幅是用來論述測度是怎么對可測集得以建立的，這部分內(nèi)容一般被表述為一個稱為Caratheodory’s theorem的理論。言簡意賅地說：是的，只針對可測集定義的，滿足前面那兩條假設(shè)的“合理”測度總是能夠建立得起來的。

這里所謂的“合理”，就是說它能夠用來作為我們心目中那個“長度”而存在。為了說明這一點，讓我們想想我們離我們的目的地還差多遠：直到現(xiàn)在為止，我們還是完全不知道一個測度究竟是什么樣子。舉例來說，按照我們的想法，一個單點集的測度應當是零（對應于點沒有長度的直觀），而實數(shù)軸上從0點到1點的線段的測度應當是1，更一般地，從a點到b點的線段的測度應當是b-a，——可是這一切我們統(tǒng)統(tǒng)還不知道呢！

這一切確實還未曾得到說明，而且更關(guān)鍵的是，僅僅有前面給出的那兩條假設(shè)，我們也確實無法推理得出上面那些結(jié)論。這也是數(shù)學家們的通常做法：先有一個一般的概念，然后通過給它添上一些新的獨立約束來構(gòu)造出更細致的概念。

我們現(xiàn)在已經(jīng)有了一個一般的測度的概念，把它總結(jié)一下，就是說：

對于直線的一大類子集（也就是可測集，謝天謝地，我們在應用中真正關(guān)心的集合都屬于可測集），我們能夠在不傷害邏輯的自洽性的前提下，給他們中的每個都標上一個數(shù)字，稱為測度，并且這些數(shù)字滿足下面兩條性質(zhì)：

·????????空集對應的數(shù)字（空集的測度）是零。

·????????若干個（但是至多可數(shù)無窮個）彼此不相交的子集，它們并在一起得到的子集的測度，剛好等于這些子集各自測度之和。

我們只知道這樣的測度是存在的，但是很顯然并不唯一，因為我們未曾對這些具體的數(shù)值作過任何限定。為了使測度能夠符合我們心目中的那個“長度”的概念，我們需要進一步添上一條需要滿足的性質(zhì)：

·????????如果把直線看作實數(shù)軸，那么從數(shù)軸上a點到b點的線段（這是直線的一個子集）對應的測度應當?shù)扔赽-a，例如，數(shù)軸上從2到3的這一段線段的測度應該等于1。

乍一看這好像只是個不完全的限定，我們只規(guī)定了最簡單的線段的測度，卻沒有規(guī)定剩下那許多奇奇怪怪的集合的測度，可是好在有數(shù)學推理來替我們包辦剩下的一切：只要添上這條約束，那么所有的可測集的測度的具體大小就會以唯一不導致邏輯上的矛盾的方式被確定下來。也就是說，對于任何一個可測集，我們都有辦法算出它所對應的那個唯一可能的測度來。（怎么算的？如果你不想看到數(shù)學式子的話就別問了……）

需要說明的是，同樣也是根據(jù)這三條，我們就能夠發(fā)現(xiàn)單點的測度必須是零（否則就會導致計算上的矛盾）。注意：這里的邏輯完全是數(shù)學的而不是哲學的，也就是說，我們是可以“推導”出單點的測度是零這樣的結(jié)論的。

各位看到這里可能會很疑惑，我究竟在干什么？我并沒有回答事先許諾要回答的任何一個問題（為什么點的長度是零而線段就不是，諸如此類），而是蠻橫無理的把它們作為規(guī)定和規(guī)定的推論強制性的擺在這里，作為測度的定義的一部分。這算什么回答？

請允許我把對此的解釋（以及對前面所有那些哲學性問題的解釋）放在后面，先暫且回到測度的定義本身上來。

前面說了，只要能滿足頭兩條性質(zhì)，我們就稱定義出來的那個東西為測度，加上第三條只是為了讓這個測度符合我們對長度的具體數(shù)值的要求。也就是說，加上第三條性質(zhì)后，我們定義出的應當只是測度中的具體某一種，一般把它稱為勒貝格測度（Lebesgue measure）。再強調(diào)一遍，正如前面所說的那樣，勒貝格測度并不能定義在直線的所有子集上而只能定義在其中的可測集上。但是我們在數(shù)學中和應用中能夠遇到的集合差不多全是可測集。

（那就總還有幾個不可測集了？是的，確實存在一些特別詭異的集合是不可測集。關(guān)于不可測集的構(gòu)造和性質(zhì)一直是數(shù)學上一個有趣的話題，——雖然并不重要，因為事實上在真實世界里我們遇不到它，它們只是作為抽象的數(shù)學構(gòu)造出現(xiàn)的。我們后面還會再次談及這個問題。）

既然勒貝格測度只是測度的一種，那就是說，數(shù)學上是承認不同于勒貝格測度的更一般的測度存在的。這些測度只滿足三條性質(zhì)的前兩條，而未必滿足第三條，也就是說，這些“測度”并不保證從0點到1點的線段的測度是1，甚至也未必保證單點集的測度是零。它們的性質(zhì)可能和通常人們對長度的理解很不相同。

（為什么呢？既然明顯和常識相悖，為什么還要保留這些人造的概念呢？）

這是因為，盡管數(shù)學家發(fā)明測度的概念的初衷確實只是想把“長度”的概念精確化和邏輯化，（事實上也確實做到了，就是勒貝格測度），但是人們很快發(fā)現(xiàn)，那些更一般的測度雖然未必還符合人們對“長度”這個詞的理解，但是它們作為一種數(shù)學概念卻能在大量的學科里得到應用，甚至成為很多理論的基礎(chǔ)語言。一個最簡單的例子是概率論，這門古老的學科在測度論建立之后就完全被測度的語言所改寫，以至于今天一個不懂一般測度的人完全沒辦法研究概率論；另一個例子是著名的狄拉克測度（Dirac measure），這個曾經(jīng)令數(shù)學家也有點頭痛的非正常測度在物理學和信號處理等領(lǐng)域里扮演了非常關(guān)鍵的角色。

——不過，這是后話了。

（三）長度的意義

回到我們的主題：“長度”的意義上來。

先總結(jié)一下我們已經(jīng)知道了的事情：

所謂（一維）測度，就是要給直線上的每個子集標上一個數(shù)字，使得它們滿足下面兩條性質(zhì)：

·????????空集對應的數(shù)字（空集的測度）是零。

·????????若干個（但是至多可數(shù)無窮個）彼此不相交的子集，它們并在一起得到的子集的測度，剛好等于這些子集各自測度之和。

這樣的測度存在很多種，而且?guī)缀跞夹袨楣殴帧榱烁玫姆稀伴L度”的概念，我們添上第三條要求：

·????????如果把直線看作實數(shù)軸，那么從數(shù)軸上a點到b點的線段（這是直線的一個子集）對應的測度應當?shù)扔赽-a。

滿足這三條性質(zhì)的對直線上的每個子集定義的測度是不存在的。但是，如果放松要求，不對直線的每個子集定義而只對直線的可測子集定義測度，那么這樣的測度存在并且唯一，數(shù)學上稱為勒貝格測度。靠一系列定理的幫助，對直線的任何一個可測集（一般來說你能想象到的任何子集都是可測集），都有一套嚴密定義的公式能夠把這個測度的具體大小算出來。

于是，數(shù)學家鄭重宣布：

勒貝格測度就是人們通常所說的“長度”的嚴密定義，而且是唯一正確的定義。

“什么？”我們的哲學家朋友們一定要跳起來了。“你上面繞來繞去的說了一大堆讓人聽不懂的話也就罷了，你怎么能說這是關(guān)于長度唯一正確的定義呢？這頂多是你們數(shù)學家對這個詞的理解而已，我最討厭你們學理科的用這種自以為掌握絕對真理的口氣說話了！”

“是么？”數(shù)學家回答道，“難道長度這個詞還可能有別的理解不成？”

“當然可以。”哲學家憤憤不平地說。“亞里士多德說過……，萊布尼茨說過……，康德說過……，江澤民同志說過……，總之，人類對長度這個詞的理解是經(jīng)歷過漫長的爭論的，而且必然還會一直爭論下去。每個人都有權(quán)提出自己的觀點啊。”

“我不管他們怎么說，”數(shù)學家說，“我只問你心里有沒有對長度的定義？”

“當然有了。”哲學家驕傲地說，“我認為，長度就是……”

“慢著，”數(shù)學家迫不及待的打斷他，“我不想聽你的哲學論文，我只問你，在你對長度的定義里，空集有沒有長度？有的話，是不是零？”

“是……的。”其實哲學家暫時沒想到空集這么細節(jié)的事情，但是他覺得反正這個無關(guān)緊要吧，所以先首肯了。

“那么，按照你定義的長度，數(shù)軸上從2.76這個點到6.98這個點的線段的長度，是不是等于6.98-2.76=4.22？”

“這個廢話，不然還叫什么長度啊。”哲學家有點不耐煩了。

“還有，如果我把可數(shù)無窮個有長度的集合放在一起，總長度等不等于各自的長度之和？”

“這個……”哲學家對于“可數(shù)無窮”這個詞有點拿不準，“反正兩個線段的總長度是等于它們各自的長度之和的，至于無窮個……好吧就算是吧，那又怎樣？”

“那就結(jié)了。”數(shù)學家慢條斯理地說。“我根本不關(guān)心你關(guān)于長度的哲學觀念是怎么建立起來的，我只想說，如果你的觀念沒有內(nèi)在的邏輯矛盾，那它就一定和我們數(shù)學家所說的勒貝格測度是一回事。這就是我為什么說勒貝格測度是唯一正確的長度的定義。——你當然可以有你自己的定義，只不過它一定正好就是勒貝格測度！”

“什么和什么呀！”哲學家有點懵了。“可是你什么也沒有定義啊，你只是自己號稱證明了一個所謂勒貝格測度的存在，可是我們關(guān)心的是為什么！我們哲學家要問的是為什么從2.76這個點到6.98這個點的線段的長度等于4.22，你卻把它寫在了定義里，這并沒有回答問題本身啊。”

“唉，”輪到數(shù)學家不耐煩了。“從2.76這個點到6.98這個點的線段的‘長度’當然也可以不等于4.22，只要你不取勒貝格測度而換一種測度就成了，——問題是人們不喜歡那樣啊。不是為什么它的長度等于4.22，而是你首先要求了4.22這一屬性，然后把它叫做長度。為什么只有在春天桃花才會開？因為是你把桃花會開的那個季節(jié)叫做春天的！”

哲學家：“……”

數(shù)學家：“……”

嗯，我不知道這段對話是把問題講清楚了還是攪得更混亂了。當然這里面還有許許多多的細節(jié)需要闡明，下面讓我們來更仔細的討論一下吧。

“長度是什么？為什么從2.76這個點到6.98這個點的線段的長度等于4.22？”正如前面那個數(shù)學家所說的，這個問法本身就是不合適的。我們給從2.76這個點到6.98這個點的線段賦予一種屬性是4.22，給從姚明的頭到姚明的腳的線段賦予一種屬性是2.26米，現(xiàn)在我們把這種屬性叫做長度，如此而已。——這完全是人為的設(shè)定，沒有任何先驗的意義。數(shù)學家已經(jīng)說了，你當然也可以給從2.76這個點到6.98這個點的線段賦予另一種屬性是3.86，給從姚明的頭到姚明的腳的線段賦予另一種屬性是0.03米，只要你足夠細心，這種做法是不會引起問題的，只不過你自己定義的那種屬性不再被人們稱作“長度”罷了。你可以把它稱為“短度”或者別的什么，沒有問題。

有趣的是，——測度論的偉大也就體現(xiàn)在這里，——只要我們承認了諸如從2.76這個點到6.98這個點的線段的長度等于4.22這樣一些樸素的論斷，那么僅僅靠著邏輯推演，我們就能夠給直線的幾乎所有子集——可測集——計算出對應的“長度”來，哪怕它們已經(jīng)變得不是那么直觀。譬如說，單點集的“長度”是0（不是什么無窮小，就是0），2到5之間的全體無理數(shù)的集合的“長度”是3，某個廣義康托集（一種有著復雜分形結(jié)構(gòu)的點集）的“長度”是2.86……這一切本來似乎都可以問一問為什么的事情，其實都只是邏輯的自然推論罷了，你要是不承認它們，就必然導致邏輯上的不自洽。

——為什么這個東西的長度是0？那個東西的長度是2.3？為什么這個奇奇怪怪的集合也會有長度？為什么它的長度不等于別的，偏偏等于根號2？

因為長度滿足那三條性質(zhì)，所以必然如此。

——為什么長度要滿足那三條性質(zhì)？

因為人們把滿足那三條性質(zhì)的屬性就叫做長度。你當然也可以用別的幾條性質(zhì)定義出來一個什么度，只是不能再叫長度就是了。

這就是“長度”這個詞的全部意義。

“可是，”我們的哲學家還是不甚滿意，“我還是覺得你沒有真正回答我想問的問題。”

“還有什么呢？”數(shù)學家說，“我上面這些理論不都已經(jīng)自圓其說了么？”

“就是這個自圓其說讓我特別惱火。”哲學家說。“我總覺得你繞過了我真正的問題。我問為什么長度要這么定義，你說因為人們把這樣定義出來的屬性就叫長度，這當然沒錯，可是我其實想問的是，為什么會有這樣一種屬性存在？為什么自然界中的事物可以具有長度——或者用你的話說——這種屬性？你當然可以告訴我說，因為數(shù)學上證明了你的那什么勒貝格測度一定存在，可是我不想聽你那個證明，我想聽到的是一個更深入的解釋，為什么長度是得以存在的？”

“因為……因為我們能證明它實際上存在……”數(shù)學家迷惑不解的說。

“我不是問你它存不存在，我是問它為什么存在！”哲學家怒氣沖沖的說。“你不覺得這是件不太自然的事情么？反正是一堆點，你又說了點的長度是零，可是一旦把點排列起來得到的線段就有了測度，在這個過程中發(fā)生了什么呢？這個不為零的長度是怎么出現(xiàn)的呢？——別又對我說你能證明它不為零，我要問的是為什么，——比證明更本質(zhì)一步的那個為什么！”

“啊，”數(shù)學家字斟句酌地說，“你想問的其實是為什么線段的測度不等于簡單地把點的測度加在一起對吧。是啊，這確實是個有趣的問題……”

這確實是個有趣的問題。

如果我們仔細檢查關(guān)于勒貝格測度的那三條公理，會發(fā)現(xiàn)關(guān)于第一條和第三條并沒有什么可多說的，可是第二條——至多可數(shù)個彼此不相交的子集的并集的測度等于這些子集各自測度之和——卻多少讓人心生疑惑。這句話讀起來總是有點別扭。

如果我們把它換成“有限個彼此不相交的子集的并集的測度，等于這些子集各自測度之和”，聽起來就會舒服多了，可是這里做了某種推廣，從有限到無限，而且還不是任意無限個而是“至多可數(shù)無窮”個，這是為什么呢？

首先，這種推廣是必須的：只對有限個的子集定義測度的可加性，這樣得出來的測度會不滿足人們的需要，——不僅僅是給長度一個精確定義的需要。測度論不只是為哲學家發(fā)明的，它要在數(shù)學的其他領(lǐng)域里以及別的自然科學領(lǐng)域里得到應用，而在這些場合里，我們時刻會碰到對無窮個集合的并集的測度的計算。我們必須在定義里就保證測度能夠無窮相加。

可是另一方面，為什么又偏偏要限制可數(shù)無窮個集合才有可加性呢？

事實上，我們很容易就會發(fā)現(xiàn)，正是這一點促成了前面那個問題的出現(xiàn)：為什么線段具有長度？如果我們假設(shè)任意無窮個彼此不相交的子集的并集的測度等于這些子集各自測度之和，那么，既然線段是由無窮個點構(gòu)成的而點又沒有長度，那線段也應該沒有長度才對。難道這一條是專門為了避免這個悖論才設(shè)置的么？

不是。我們很快就能看到，這種對于可數(shù)性的限制，有著更為本質(zhì)的原因存在。

首先，讓我們想想看把很多數(shù)相加是什么意思。我們一開始學到的加法是針對兩個數(shù)而言的，給定任意兩個數(shù)，我們能夠算出它們的和。進而，我們把這一過程推廣到了三個數(shù)求和：先對其中兩者求和，然后再把這個和同第三者相加。依此類推，我們可以把四個數(shù)相加，把五個數(shù)相加……

請注意，這里的過程完全是遞歸的（inductively）：只有定義了n個數(shù)的和，我們才能夠繼而定義n+1個數(shù)的和。然后，這樣一直進行下去，我們就能夠?qū)θ我庥邢薅鄠€數(shù)求和。——只是“任意有限”，還不是“無限”。

從有限到無限這一步跨越其實走得頗為艱難。哲學家也好別的領(lǐng)域的科學家也好常常隨心所欲的使用數(shù)學詞匯而并不特別在意自己是否真的明了它們的嚴格意義，可是數(shù)學家卻不能如此自由。真正把無窮個數(shù)加起來，也就是數(shù)學中所謂的“級數(shù)”（series），這套理論的嚴密化在數(shù)學史上經(jīng)歷了相當長的一段時間。最終，借助于極限理論的幫助，真正嚴格的關(guān)于級數(shù)求和的理論才得以建立。——也就是說，事實上，什么樣的無窮級數(shù)可以相加，什么時候不能相加，相加的時候要注意什么問題，這一切都受到了理論的約束。在這些理論的基礎(chǔ)上，我們才能夠確定當我們隨口說出“把這無窮個數(shù)加在一起”的時候，我們確實知道我們在說什么。

什么是級數(shù)呢？級數(shù)就是把有限個自然數(shù)相加的自然推廣：既然定義了n個數(shù)的和我們就能夠進而定義n+1個數(shù)的和，那么，把這個過程遞歸地進行下去，我們就能夠?qū)θ我庥邢薅鄠€數(shù)求和。當有無窮個數(shù)需要我們求和的時候，我們就只對它們中的前N個求和，并且讓這個N不斷變大，如果這一過程有極限，這個極限就被我們稱為這個無窮數(shù)的和。

請注意上面這段話背后的涵義：當我們說“對無窮個數(shù)求和”的時候，我們其實潛在地要求了這些數(shù)的總個數(shù)必須能夠通過n->n+1->n+2……這樣的過程來逼近，然后通過極限的方式定義它們的和。這也就是說，這些數(shù)的總個數(shù)必須是可數(shù)個！

讓我們回憶一下什么是“可數(shù)個”：“可數(shù)個”就是能夠和自然數(shù)集建立起一一對應的那么多個，用更直觀的語言來說，“可數(shù)個”就是“可以一個一個數(shù)下去”的那么多個。只有一個集合里包含可數(shù)個元素的時候，我們才能夠?qū)τ谒鼞脭?shù)學歸納法，因為數(shù)學歸納法的本質(zhì)就是“一個一個數(shù)下去”：當一件事對n成立時，我們進而要求它對n+1成立，這樣的過程進行下去的極限，就是可數(shù)無窮。

那么，既然多個數(shù)的加法本質(zhì)上是個遞歸過程，——只有先把n個數(shù)加起來，我們才能進而加上第n+1個數(shù)，——所以加法至多能對“可數(shù)無窮”個數(shù)來定義（也就是級數(shù)加法）。把“不可數(shù)無窮個”數(shù)加在一起，這件事情是毫無意義的！

這正是前面所有那些所謂哲學悖論的根源：當人們想當然的說著“把無窮個點的測度加在一起”的時候，他們以為他們是在說一件自然而然的事情，可是事實上，除非這無窮個點是可數(shù)個，否則這里的加法根本無法進行。不幸的是，任何線段都偏偏是由不可數(shù)個點構(gòu)成的（它們是連續(xù)統(tǒng)）。

為什么線段是由點構(gòu)成的，而線段的測度卻不等于組成它的那些點的測度之和？因為“組成它的那些點的測度之和”這個短語根本沒有意義，所以兩者也不必相等。

這個回答也許有些出人意料，可是事情就是如此。很多問題之所以令人迷惑，不是因為它們真的是什么悖論，而只是因為問題本身沒有被恰當?shù)臄⑹觥Ｈ藗兂３Ｗ砸詾槭堑氖褂煤芏嘣~匯卻罔顧自己是不是了解它們的真實含義，譬如說“求和”。人們隨心所欲地說“把若干個數(shù)加在一起”卻忘了其實不可能真的把它們“一下子”加在一起，加法是個遞歸過程，這就決定了如果要加的東西的個數(shù)太多（不可數(shù)那么多），它們就加不起來了。

（不得不補充一點——一個很掃興的補充——在數(shù)學中，某些場合下我們真的必須要對不可數(shù)個數(shù)定義總和……數(shù)學家總是這樣，為了各種極端情況而拓展自己的定義。在這些情況下，這種不可數(shù)個數(shù)的和也是能定義出來的。但是，這件事并不會對上面那些論述造成削弱：這里的特殊意義上的“和”是為了應付特別的目的而定義的，它和我們平時所說的求和已經(jīng)不是一個意思了。）

也許哲學家還會追問：既然線段的測度不是組成它的那些點的測度之和，那么這個測度是從哪里來的呢？

它們不是哪里來的……它們是線段自己所固有的。這就是為什么我們在定義長度的時候非要加上第三條公理的原因：我們必須在定義里就寫明線段的測度，否則就沒有辦法建立起直線的所有可測子集的測度的架構(gòu)。事實上，既然點的長度是零，根據(jù)可數(shù)可加性我們很容易推出一切可數(shù)集的長度也都是零，所以在某種意義上說來，“長度”?是本質(zhì)上只屬于連續(xù)統(tǒng)的一種性質(zhì)。換句話說，只有進入了連續(xù)統(tǒng)的范疇，不為零的長度才可能出現(xiàn)。這就是為什么我們不能從單點集出發(fā)定義長度的原因。

那么，我們現(xiàn)在可以回答那個著名的“飛矢不動”的芝諾悖論了：一支飛馳的箭，在每一個確定的時刻都靜止在一個確定的位置上，為什么經(jīng)過一段時間后會移動一段距離？

答案是：因為任何一段時間（不管多么短暫）都是一個連續(xù)統(tǒng)，包含了不可數(shù)個時刻，所以箭在每一時刻的靜止根本不需要對一整段時間之內(nèi)的移動負責。——后者并不是前者的相加，而前者也根本不可能相加。

因為連續(xù)統(tǒng)不可數(shù)，所以我們能夠在每時每刻里都靜止的存在，同時又能在一段時間內(nèi)自由運動。這也許是大自然的巧妙安排吧。

（待續(xù)）

（四）若干注記

長度的意義說了這么多，到此差不多就可以告一段落了。但是關(guān)于在前面的討論中出現(xiàn)的許多數(shù)學概念和思想，卻還不妨多說幾句。事實上，測度論雖然只是數(shù)學中一個具體的分支，但是它的發(fā)展和演進卻和數(shù)學史上最有趣的篇章之一——所謂的“第三次數(shù)學危機”——聯(lián)系在一起。關(guān)于這樁公案，坊間的科普書目已經(jīng)汗牛充棟，我也并不想在這里再重復一遍那些隨手就可以找得到的八卦，而只是想針對某些特別的概念和理論略加說明，至少，這對愿意繼續(xù)閱讀別的數(shù)學或者數(shù)學科普著作的朋友來說，會有點作用吧。

1. 無窮小。

這個概念無疑常常困擾沒有受過現(xiàn)代數(shù)學訓練的閱讀者們，這是很自然的事情，因為它可以從直覺上意識得到，卻又難于精確地把握：無窮小是什么？是不是可以精確定義的數(shù)學概念？它是一個數(shù)？還是一段長度？能不能對無窮小做計算？諸如此類等等。由于這個概念幾乎天然的和各種哲學式的思辨聯(lián)系在一起，使得甚至哲學家們也對它頗為關(guān)注，——當然，還有數(shù)之不盡的民科們。

關(guān)于無窮小的討論者，最著名的大概莫過于萊布尼茨，他花了大把的精力試圖精確闡述無窮小的概念并且以此作為整個微積分學的基石。在萊布尼茨看來，無窮小是一個比任何數(shù)都小但是不等于零的量，對它可以做四則運算，尤為關(guān)鍵的是可以做除法：兩個相關(guān)的無窮小量的比值就是一個函數(shù)的導數(shù)。以此為基本語言他開始建立微積分學的基本理論，——他基本上成功了。直至今天，數(shù)學家采用的關(guān)于微分的記號仍然來自萊布尼茨，而數(shù)學學科內(nèi)部關(guān)于微積分學的專門稱呼——“?分析學”——也來自于萊布尼茨自己對他的理論的叫法：無窮小分析。盡管牛頓和萊布尼茨在微積分的發(fā)明權(quán)上爭得不可開交，可是幾個世紀過去，至少在這兩件事情上萊布尼茨大獲全勝。

可是，也許你想不到的一件吊詭的事情是：盡管萊布尼茨在微積分學的建立過程里做出如此重要的貢獻，他的思想的基石——無窮小量——卻是一個在今天的數(shù)學語言里被完全拋棄了的概念。人們發(fā)現(xiàn)這個詞匯除了帶來混亂之外并沒有什么特別的用處，于是作為一種語言，它被丟棄了。

事實上，即使在萊布尼茨的同時期人看來，無窮小也是一個有點讓人不舒服的詞：比任何大于零的數(shù)都小，卻不是零。我們當然可以把它僅僅作為一種人為的邏輯概念來使用，可是這樣一個怪東西的存在，既使得數(shù)學的基本對象——實數(shù)的結(jié)構(gòu)變得混亂，也在很多場合帶來了麻煩的難于回答的問題（盡管它也確實帶來了不少方便）。在分析學蓬勃發(fā)展的十八世紀，一代又一代數(shù)學大師為此爭論不休，大家混亂而各行其是地使用這個詞，卻沒人能說清楚它的精確含義。終于，從十九世紀初期開始，以柯西（Cauchy）和魏爾斯特拉斯（Weierstrass）為代表的一大批數(shù)學家開始為分析學的嚴密化做出了大量的工作，他們試圖在完全不采用“無窮小量”這個概念的前提下重新建立整個分析學，——他們也成功了。

于是這個詞就被拋棄了。時至今日，這個詞盡管在很多數(shù)學書里仍然會出現(xiàn)，但是這時它僅僅作為一個純粹修辭上的詞匯而不是嚴格的數(shù)學概念，——人們通常用它來指代“極限為零的變量”（感謝十九世紀那一大批數(shù)學家，極限這個詞已經(jīng)是有了嚴密清晰的定義而不再僅僅是某種哲學性的描述），也有的時候它被用來作為對微積分運算中的某些符號的稱呼，但是無論何時，人們在使用它的時候都明確的知道自己想說什么，更關(guān)鍵的是，人們知道自己并不需要它，而只是偶爾像借助一個比喻一樣借助它罷了。

那么，回到這個詞最本源的意義：到底有沒有這樣一個量，比一切給定的正實數(shù)都小卻又不是零？或者這個問題還有一系列等價的提法：在直線上存不存在兩個“相鄰”的點？存不存在“長度”的最小構(gòu)成單位？等等等等。

在今天我們已經(jīng)能夠確定無疑的回答這些問題了：不，不存在。

事實上，這個問題的徹底解答甚至比柯西和魏爾斯特拉斯的時代還要晚：它本質(zhì)上是關(guān)于實數(shù)的結(jié)構(gòu)的理解的問題。即使柯西本人——盡管他奠定了現(xiàn)代極限理論的基礎(chǔ)——也并不真正了解“實數(shù)是什么”這樣一個簡單的問題。關(guān)于嚴密的實數(shù)理論的最終建立，一般認為是皮亞諾（peano），康托（Cantor）和戴德金（Dedekind）這幾位十九世紀下半葉的數(shù)學家的成就。所謂的“戴德金分劃”仍然是今天的教科書里對“實數(shù)”這一概念所介紹的標準模型。在這套模型里，人們能夠在邏輯上完全自洽的前提下回答有關(guān)實數(shù)結(jié)構(gòu)的一切問題，而正如前面指出過的那樣，它完全擯棄了“無窮小”的存在。

（是不是數(shù)學家說無窮小量不存在，這個詞就沒意義了呢？）

這又回到了前面我們屢次面對的那個關(guān)于數(shù)學斷言的權(quán)威性的問題。如果承認無窮小是一個有關(guān)數(shù)的概念，那么，數(shù)學家的工作已經(jīng)告訴我們，在實數(shù)理論中沒有無窮小的位置。事實上，康托本人就曾經(jīng)證明過承認無窮小是同承認實數(shù)中基本的阿基米德原理相矛盾的。（阿基米德原理是一個關(guān)于實數(shù)性質(zhì)的基本原理，如果阿基米德原理是錯的，整個數(shù)學大概都無法得以建立。）但是，如果把問題拉到數(shù)學的疆域以外，如果認為人們有權(quán)利不按照數(shù)學家的方式討論數(shù)本身的性質(zhì)，那么我們面對的就已經(jīng)是全然另一層次的問題，——也就不可能在這里得到詳盡的討論了。

2. 無窮大。

有趣的是，和無窮小如此相似的一個詞——無窮大——卻在今天的數(shù)學語言中占有與之判若云泥的一個地位：人們談?wù)撍芯克€給它以專門的記號（倒 8字）。造成這一多少有點奇特的事實的關(guān)鍵在于，和通常人們的誤解不同，無窮大其實并不是無窮小這個詞在概念上的對偶（盡管乍一看似乎如此）。事實上，就某種意義而言，說它是零這個詞的對偶也許更為恰當一些。

讓我們回顧一下這個概念在數(shù)學中的遞進過程：我們都知道存在這樣的數(shù)列（例如自然數(shù)列），可以一直變得越來越大，直到比任何給定的數(shù)都更大，這種時候，我們把這樣的數(shù)列稱為“趨于無窮大”或者直接就簡稱它是無窮大。——請注意，在這里無窮大僅僅是作為人們對一個數(shù)列或者變量的極限的叫法而存在的，我們并沒有承認它是一個數(shù)或者一個確定的對象，而只是一個形容詞而已。每個具體的數(shù)都不可能真的比別的數(shù)都大，盡管一系列數(shù)可以沒有止境地變得越來越大，這實質(zhì)上就是亞里士多德所強調(diào)的“潛無窮”。

如果事情只是到此為止，那一切相安無事，無窮大這個詞今天的地位也只不過和無窮小一樣僅僅作為對一種極限的描述而存在罷了。可是這里有某種微妙的差別：正如前面提到過的那樣，“無窮小”不是別的，只是一個變量極限為零而已，所以我們總可以認為無窮小只是一種說法，在必要的時候可以用“趨于零”這樣一個替代說法來換掉它。可是“無窮大”是什么極限呢？它并不是趨于任何特定數(shù)字的極限，而是“趨于無窮大的極限”，你看，這個詞輕易回避不掉。

于是人們只好被迫不斷的提及它，要是非要替換成別的說法，就要花好多倍唇舌才成。比如，前面說過直線本身也是直線的可測子集，那么整條直線的測度是多少？當然我們可以佶屈贅牙地說“直線可測，但是它的測度并不是一個確定的數(shù)，而只是比任何給定的實數(shù)都要大。”——這也太麻煩了一點。為什么不省點事直接說“直線的測度等于無窮大”呢？

這樣人們就開始不斷的把無窮大當一個名詞來使用，假裝它好像也是一個數(shù)一樣，這就是所謂的“實無窮”。哲學家和數(shù)學家中比較喜歡哲學爭辯的那一部分人對此有許多爭論（直覺主義學派等等），但是讓我們忽略掉它們，先看看在今天數(shù)學家是怎么使用這個詞的吧。

首先，無窮大不是一個實數(shù)，在實數(shù)集中不存在任何數(shù)比其他所有數(shù)更大，這是確定無疑的事情。

其次，在許多場合下，我們確實可以把無窮大當作一個名詞來使用，既方便又不造成困擾。例如前面提及的在測度論里我們說一個可測集的測度是一個“數(shù)?”，這里的“數(shù)”既包括非負實數(shù)也包括無窮大。事實上，在有些數(shù)學書里索性把實數(shù)加上無窮大這樣一個集合稱為“增廣實數(shù)集”。我們甚至可以對無窮大定義運算（在事先做好嚴格約定的前提下），這對于很多理論的敘述帶來了極大的方便。如果說得更技術(shù)化一點，在很多數(shù)學分支（例如仿射幾何）里我們還能像讓每個實數(shù)對應于直線上的一個點這樣一個幾何對象一樣，讓無窮大這樣一個特殊的對象也對應于一個特殊的幾何對象（所謂的“無窮遠點”），并且讓所有這些幾何對象平等地參與到幾何學中來。只要仔細做好事先的公理準備，這樣子做并不會引起任何邏輯問題。

——也許有人會覺得奇怪，怎么數(shù)學家可以如此隨便，想給實數(shù)集添上什么就添上什么？事實上，數(shù)學家就是有這樣的權(quán)利，因為說到底，數(shù)學不是研究真實自然界的學問，而只是研究人造概念的學問。任何人造概念，只要在邏輯上被嚴格的描述出來又不造成內(nèi)在的邏輯不自洽，都可以被認為是“存在”的。復數(shù)的引進就是一個很好的例子。

——那前面怎么又說“無窮小不存在”？就算無窮小本身不能是一個實數(shù)，為什么不能把它添在實數(shù)集之外也弄一個“增廣實數(shù)集”出來研究？

事實上，這樣做是可以的，而且事實上也確實有好事者這樣做過。問題在于它毫無意義。前面說了，任何人都有權(quán)利自己定義出一些什么東西來作為數(shù)學對象來研究，這是對的，只要他在邏輯上足夠細心就行。可是這句話還有一個常常被人忽視的反面：數(shù)學盡管不是直接研究自然界的學問，可是它畢竟是在人們研究自然界的過程中形成而又有助于人們對自然界的理解的。如果一個數(shù)學概念純粹只是自說自話的產(chǎn)物，那無論它多么自洽，也沒有人會去關(guān)心它。復數(shù)這一人為的構(gòu)造之所以被所有人承認是因為它巨大的威力。而無窮小——正如前面所指出的——是一個毫無必要引入的概念，添上它只會自找麻煩。無窮小和無窮大的命運之所以不同，關(guān)鍵正在于此。

回到無窮大這個詞上來。這一系列文章的一開頭還說過無窮大可以分成“可數(shù)”和“不可數(shù)”的無窮大，那又是怎么回事？

這是一個更常見的誤解，這其實是兩個不同的詞：作為一個極限的（潛）無窮和由此引申而來的作為一個數(shù)學對象的（實）無窮是一碼事，作為一個集合的勢的可數(shù)無窮或者不可數(shù)無窮是另一碼事，不同于前者的“無窮大”，后者其實應該被稱為“無窮多”才對，只是人們通常混為一談。事實上，當我們說“一個集合有無窮多個元素”的時候，我們有必要指出這個集合是不是可數(shù)，而當我們說“一條直線的測度是無窮大”的時候，卻完全談不上什么可數(shù)不可數(shù)。——在數(shù)學書中通過觀察上下文，分辨這兩者并不是很難的事情，可是如果把“無窮”作為一個哲學命題來研究的時候，這種區(qū)分卻是必須的。——不幸的是，就我閱讀所及，很多時候人們都沒做到這一點。

3.?不可測集與選擇公理、數(shù)學的嚴密性

回顧一下“不可測集”這個詞的意思：在勒貝格測度的意義下，總有一些集合是沒辦法定義測度的，這樣的集合稱為不可測集。同時已經(jīng)被我們反復指出過的一點是：一個沒受過專門數(shù)學訓練的人所能想象到的任何古怪集合其實都是可測的，不可測集非常罕見。

不可測集的存在是數(shù)學中中一件令人遺憾的事實，要是能給直線的任何一個子集定義長度，這樣的理論該有多么漂亮啊……數(shù)學中常常有這樣的情形，一個人們通過直覺認定的美妙設(shè)想，偏偏被一兩個好事者精心構(gòu)造出的反例破壞了，但是數(shù)學畢竟受制于邏輯，不管一個反例多么煞風景，只要它確實成立，數(shù)學家也只好接受它。

可是不可測集這個例子有點不同：構(gòu)造不可測集，用到了選擇公理。

這件事情說來話長，簡單的說，我們都知道整個數(shù)學是建立在一些很顯然也很直觀的公理之上的，這些公理大多數(shù)都是諸如等量之和為等量之類的廢話，可是選擇公理稍微復雜一點，它是說：

任何給定一組非空集合，我們總能從其中的每一個集合里取出一個元素組成一個集合。

也像廢話一樣，是吧，可是這句話多少有點羅嗦，不像等量之和為等量一樣簡單明了。于是人們對它多少有所爭議，有人認為它不應當排在基本公理之內(nèi)。可是畢竟這句話也挑不出什么錯，而且人們很快發(fā)現(xiàn)，很多很有用的數(shù)學結(jié)果離開選擇公理就變得很難證明或者根本不可能證明，于是將就著也就承認它了。

可是不可測集的存在卻又掀起了人們的疑慮，反對選擇公理的人說，看看吧，要是沒有選擇公理，也就沒有不可測集了。

贊成的人反駁說，不可測就不可測唄，有什么大不了的……雖然整個理論確實變得不那么完美了。——他們不知道更大的問題還在后面。1924年，波蘭數(shù)學家巴拿赫（Banach）在選擇公理和不可測集構(gòu)造法的基礎(chǔ)上，證明了石破天驚的“分球定理”：一個半徑為1的實心球，可以剖分成有限的若干塊，用這些塊可以完整地重新拼出兩個半徑為1的實心球體！

這一下引起軒然大波，反對選擇公理的數(shù)學家們聲勢大振，認為選擇公理完全是trouble maker，必欲除之而后快。贊成選擇公理的數(shù)學家們則指出選擇公理“功大于過”，畢竟有很多有價值的數(shù)學成果出自選擇公理的基礎(chǔ)。雙方僵持的結(jié)果是大家各行其是，大多數(shù)數(shù)學家承認選擇公理，同時忍受巴拿赫分球定理所帶來的不適感，少數(shù)數(shù)學家堅持不要選擇公理，為此失去很多別的很有用的定理也在所不惜。

這一僵持局面維持了很多年，直到二十世紀的中葉才被戲劇性地解決。人們在不承認選擇公理的假設(shè)下構(gòu)造出了一大堆比巴拿赫的球體更嚴重的反例（例如一個空間同時有兩個維數(shù)）。這些反例不只像巴拿赫的例子一樣違反直覺，而且還嚴重的破壞了大多數(shù)已有的數(shù)學結(jié)果。于是人們發(fā)現(xiàn)，承認選擇公理也許是必須的，而像巴拿赫的反例那樣的反直覺的結(jié)果，也只能被迫承擔下來了。

所以到今天幾乎所有的數(shù)學研究都是在承認選擇公理的基礎(chǔ)上進行的。雖然作為一種后遺癥，人們總是會時不時地謹慎的在使用選擇公理的時候加上一句聲明：“本文依賴選擇公理。”——這也許是這條公理的一個特殊待遇了。

以上便是這段公案的來龍去脈。很多人可能在讀完這段故事之后疑慮重重。什么啊？數(shù)學家們難道是這么隨便的確定公理體系的么？如此的實用主義，似乎全然置真理的地位于不顧的樣子。很多人可能還會想起歐幾里德第五公設(shè)的故事，覺得數(shù)學家們原來如此不負責任，帶給人們的不是一套嚴整規(guī)范的理論體系，而是一個支離破碎的混亂圖景。連公理的問題都搞不定，整個數(shù)學豈不是空中樓閣？

限于篇幅，這篇文章不可能對這個問題予以展開論述，可是至少我們可以澄清一個常見的似是而非的誤解：數(shù)學是嚴密性的科學，數(shù)學的發(fā)展也只有在嚴密的公理化基礎(chǔ)上才能得以實現(xiàn)。

這句話——至少在字面上——是對的。不可測集的例子本身就說明，為了嚴密性，數(shù)學家們甚至不惜放棄直觀，——像巴拿赫球那樣的例子盡管如此怪誕，可是它是嚴密邏輯的產(chǎn)物，數(shù)學家也只好承認它的存在。

可是在更宏觀的層面上，這句話卻是錯的。前面提到的分析學就是很好的例子：微積分的思想的提出是在十七世紀，在隨后的十八世紀里取得了豐碩的成果，可是它的嚴密化卻直到十九世紀下半葉才真正得以實現(xiàn)。測度論是另一個例子：“測度”是人們對于長度這個詞的直觀理解的嚴密化，可是這并不是說，在測度論被提出之前的漫長歲月里人們對于長度都一無所知，恰恰相反，人們已經(jīng)知道了相當多的事情，只是等待測度論的語言讓一切都變得精確和完整而已。

所以數(shù)學的發(fā)展實質(zhì)上是一個拖泥帶水的過程，一代又一代嶄新、充滿活力卻又粗糙的思想被提出來，人們意識到它的重要性，予以發(fā)揚光大，產(chǎn)生一系列重要的成果同時又帶來困惑，直到嶄新的數(shù)學語言誕生，清理戰(zhàn)場，讓一切顯得井井有條，像教科書上的文字一樣道貌岸然，而同時卻又有新的粗糙的思想誕生了……?在這個過程里，嚴密性始終只是一個背景，盡管無處不在，可是并不占據(jù)舞臺的統(tǒng)治地位。數(shù)學家們在意嚴密性，追逐嚴密性，甚至不惜為了嚴密性而犧牲看似有價值的學術(shù)成果，可是嚴密性并不是數(shù)學發(fā)展的引領(lǐng)旗幟，從來都不是。

這就是為什么同很多人的誤解相反，大多數(shù)數(shù)學家其實并不關(guān)心那些關(guān)于數(shù)學基礎(chǔ)的哲學性的爭論，這也就是為什么我把眼前這些討論放進附記的原因——一件事情是不是關(guān)系到數(shù)學的邏輯基礎(chǔ)和這件事情在數(shù)學上是不是重要一點關(guān)系都沒有。所有這些故事：可數(shù)與不可數(shù)、可測與不可測、選擇公理等等，都是和二十世紀初所謂“第三次數(shù)學危機”的大背景聯(lián)系在一起的，那段時間里數(shù)學家之間產(chǎn)生了無數(shù)紛爭，可是今天的數(shù)學學生們在嚴肅認真地學習集合論和測度論的同時，卻只對那些八卦付之一笑，作為茶余飯后的談資。——事實上，即使在二十世紀初，也有大量的數(shù)學家根本不關(guān)注這件事情或者壓根就采取了日后看來是錯誤的立場（反對康托，反對不可數(shù)集的概念，等等）卻同時又在自己的領(lǐng)域里作出了重要的甚至是歷史性的貢獻。

關(guān)于那個所謂的“第三次數(shù)學危機”，有一本著名的科普著作《數(shù)學：確定性的喪失》[2]專門討論了它。這本書內(nèi)容相當詳盡，不幸的是它所引起的誤解和它闡明的事情一樣多。關(guān)于這次“危機”的描述主要集中在第十二章，那一章的結(jié)尾倒是相當深刻，值得特別引用在此：

“一個寓言恰如其分地概括了本世紀有關(guān)數(shù)學基礎(chǔ)的進展狀況。在萊茵河畔，一座美麗的城堡已經(jīng)矗立了許多個世紀。在城堡的地下室中生活著一群蜘蛛，突然一陣大風吹散了它們辛辛苦苦編織的一張繁復的蛛網(wǎng)，于是它們慌亂地加以修補，因為它們認為，正是蛛網(wǎng)支撐著整個城堡。”

（完）

參考文獻[1]：實變函數(shù)論?周民強著?北京大學出版社
參考文獻[2]：數(shù)學：確定性的喪失 M.克萊因著?李宏魁譯?湖南科學技術(shù)出版社

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—?THE END —

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