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MML：Mathematics for Machine Learning

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4.3 向量組的秩

定義5

設(shè)有向量組，如果在中能選出個向量，滿足

• 向量組「線性無關(guān)」
• 向量組中任意一個個向量(存在個向量的情況下)都「線性相關(guān)」

稱是向量組的一個「最大線性無關(guān)向量組」，簡稱最大無關(guān)組，其中最大無關(guān)組所含向量個數(shù)稱為向量組的秩，記作

?

Note0：只含有零向量的向量組沒有最大無關(guān)組，并規(guī)定其秩為0

Note1：向量組的最大無關(guān)組一般不是惟一的

?

定理6

矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于它的行向量組的秩

推論（最大無關(guān)組的等價定義）

設(shè)向量組是向量組的一個部分組，且滿足

• 向量組「線性無關(guān)」
• 向量組的任一向量都能由向量組線性表示

那么向量組就是向量組的一個最大無關(guān)組

舉例

例9

設(shè)奇次線性方程組

的全體解向量構(gòu)成的向量組為，求的秩

「解答」

設(shè)系數(shù)矩陣為

化簡，得

得到

移項(xiàng)

令  有

通解為

令

有

得到解空間

說明能由向量組線性表示

很明顯，不成比例，說明線性無關(guān)

所以是的最大無關(guān)組，得到

例11

設(shè)矩陣

求矩陣的列向量組的一個最大無關(guān)組，并把不屬于最大無關(guān)組的列向量用最大無關(guān)組線性表示

「解答」

可知

所以的最大無關(guān)組有3個向量，在1，2，4這三列

由行最簡矩陣可得

同理可得

綜上

結(jié)語

說明：

• 參考于 課本《線性代數(shù)》第五版 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系編
• 配合書中概念講解 結(jié)合了自己的一些理解及思考

文章僅作為學(xué)習(xí)筆記，記錄從0到1的一個過程

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