用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言觀(guān)察與思考

歡迎來(lái)到加州旅館！加州旅館擁有無(wú)窮間客房。您隨時(shí)都可以入住。

經(jīng)理（以下稱(chēng)為“經(jīng)”）：歡迎來(lái)到加州旅館！我是經(jīng)理戴維·希爾伯特。本旅館隨時(shí)都有空房，因?yàn)槲覀儞碛袩o(wú)窮間客房。您看走廊的前方，每間客房都標(biāo)有房號(hào)，1、2、3 · · · 永遠(yuǎn)不會(huì)停止。您看起來(lái)很疲憊！我馬上讓客房部主管為您準(zhǔn)備房間。

客房部主管（以下稱(chēng)為“主”）：經(jīng)理，請(qǐng)您不要再輕易許諾說(shuō)有多余房間了。今天客房已滿(mǎn)，無(wú)法為客人辦理入住。

經(jīng)：你不用擔(dān)心，把室內(nèi)廣播的話(huà)筒遞給我。（拿起話(huà)筒）“不好意思打擾各位休息了。請(qǐng)1 號(hào)房的客人搬到2 號(hào)房，2號(hào)房的客人搬到3 號(hào)房”。

主：1 號(hào)房就變成空房了。

經(jīng)：那么，就請(qǐng)這位客人入住1 號(hào)房。加州旅館的賣(mài)點(diǎn)就是保證您隨時(shí)都可以入住。

主：駛來(lái)了一輛旅游大巴，車(chē)身貼著“自然數(shù)旅行團(tuán)”的標(biāo)簽。

經(jīng)：你數(shù)一下來(lái)了多少客人。

主：1、2、3 · · ·，怎么也數(shù)不完。貌似所有自然數(shù)都來(lái)了，總共有無(wú)窮位客人。而且客房已滿(mǎn)，如果只來(lái)1 位或2 位還可以想想辦法?，F(xiàn)在來(lái)了無(wú)窮位客人，客房肯定不夠了。

經(jīng)：你不用擔(dān)心。又到了室內(nèi)廣播的時(shí)間，“不好意思打擾各位休息了。現(xiàn)在麻煩各位搬到偶數(shù)房間。請(qǐng)1 號(hào)房的客人搬到2 號(hào)房，2 號(hào)房的客人搬到4 號(hào)房。3 號(hào)房的客人搬到6 號(hào)房。”

主：1 號(hào)房、3 號(hào)房、5 號(hào)房· · · 等奇數(shù)房間全部空出來(lái)了。

經(jīng)：請(qǐng)大巴上的客人按順序入住。第一位客人入住1 號(hào)房、第2 為客人入住3 號(hào)房、第n 位客人入住(2n ? 1) 號(hào)房。這樣一來(lái)，就能幫乘坐大巴的所有自然數(shù)客人安排房間。加州旅館的賣(mài)點(diǎn)就是保證您隨時(shí)都可以入住。

主：經(jīng)理，又來(lái)了好幾輛自然數(shù)旅游大巴。

經(jīng)：你先數(shù)好大巴數(shù)。

主：1、2、3 · · · 怎么也數(shù)不完。貌似來(lái)了無(wú)窮輛大巴。而且，每輛大巴內(nèi)都坐著無(wú)窮位客人?？头靠隙ú粔蛄?。

經(jīng)：你不用擔(dān)心。按照到達(dá)旅館的先后順序給旅游大巴編號(hào)，1、2、3 · · · 再播放與剛才相同的廣播內(nèi)容。

主：和剛才一樣，奇數(shù)房間都空出來(lái)了。但是，也只夠一輛旅游大巴的客人入住。

經(jīng)：你不用擔(dān)心。旅游大巴里的客人都有2 個(gè)號(hào)碼，一個(gè)是自己乘坐的大巴編號(hào)，一個(gè)是自己在大巴里的座號(hào)。例如，如果是3 號(hào)大巴的第5 名乘客，就記作(3, 5)。

主：不過(guò)經(jīng)理，1 號(hào)大巴的客人全部入住后，客房就全滿(mǎn)了。

經(jīng)：像你這樣安排的話(huà)當(dāng)然會(huì)住不下。首先，請(qǐng)客人們按我說(shuō)的排隊(duì)。

主：麻煩客人們排一下隊(duì)伍。請(qǐng)2 號(hào)大巴的客人后退一步，3 號(hào)大巴的客人后退2 步。

經(jīng)：對(duì)了，等客人們排好隊(duì)后，給他們發(fā)放新的號(hào)碼牌。

主：請(qǐng)按從前到后，從左到右的順序傳遞號(hào)碼牌。

經(jīng)：這樣一來(lái)，每位客人都能拿到號(hào)碼牌。然后我們只要按照新的號(hào)碼牌安排房間即可。剛才已經(jīng)請(qǐng)之前入住的客人都搬到偶數(shù)房間，所以現(xiàn)在奇數(shù)房間都空出來(lái)了。那么，請(qǐng)[1] 號(hào)客人入住1 號(hào)房，[2] 號(hào)客人入住3 號(hào)房，[n] 號(hào)客人入住(2n ? 1) 號(hào)房。

主：即使來(lái)了無(wú)窮多輛大巴的客人，也能完美地安排他們?nèi)胱　?/span>

經(jīng)：加州旅館的賣(mài)點(diǎn)就是保證您隨時(shí)都可以入住。

主：又來(lái)了一輛大巴，是有理數(shù)旅游團(tuán)。

經(jīng)：你不用擔(dān)心。加州旅館隨時(shí)都有房間。

主：這次來(lái)的客人是分?jǐn)?shù)。

經(jīng)：所有的分?jǐn)?shù)都來(lái)了嗎？

主：是的。僅1 和2 之間的分?jǐn)?shù)就是無(wú)窮個(gè)，看起來(lái)比旅館的房間還要多，能住得下嗎？

經(jīng)：你不用擔(dān)心。剛才拿著大巴編號(hào)和座位編號(hào)2 個(gè)數(shù)字的客人都已經(jīng)順利入住了。

主：是的，給這些客人發(fā)放了新的號(hào)碼牌，例如(1, 2) 換成[2]，(2, 3) 換成[8]，然后讓他們按照新號(hào)碼牌先后辦理了入住。

經(jīng)：只要把分?jǐn)?shù)看成2 的數(shù)對(duì)就好了。例如客人1/2 就是(1, 2)，給他發(fā)放[2] 號(hào)，客人2/3 就是(2, 3)，換成[8]號(hào)。然后按照剛才的方法安排他們?nèi)胱　?/span>

主：不過(guò)1/2 = 2/4，客人1/2 拿到的是[2] 號(hào)，而客人2/4 拿到的卻是[8] 號(hào)。說(shuō)起來(lái)，1/2 = 3/6 = 4/8 = 5/10 =· · ·，所以重復(fù)的客人太多了。

經(jīng)：那就把重復(fù)的房間空出來(lái)。

主：這家旅館太厲害了。分?jǐn)?shù)的客人全部成功入住，而且還有空房。

經(jīng)：時(shí)間不早了，我先去休息了。剩下的就交給你處理了。

主：（原來(lái)如此！不管來(lái)多少客人，只要給他們分配號(hào)碼牌就可以了。如果我能處理好，經(jīng)理一定會(huì)對(duì)我刮目相看。客人們快點(diǎn)來(lái)吧?。?/span>

導(dǎo)游（以下稱(chēng)為“導(dǎo)”）：這么晚還來(lái)打攪你們，真是不好意思。我是實(shí)數(shù)旅行團(tuán)的導(dǎo)游。

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【注】這段對(duì)話(huà)是1924 年希爾伯特在哥廷根大學(xué)講課時(shí)，為說(shuō)明有限集合和無(wú)限集合的區(qū)別而使用的例子，被叫作“希爾伯特旅館”。