困擾數(shù)學(xué)家50年的問題，竟被博士小姐姐用一周業(yè)余時(shí)間解決了
導(dǎo)讀：今年4月，著名英國(guó)數(shù)學(xué)家約翰·康威（John Conway）因患新冠肺炎逝世。
斯人已逝，但他留給了世界豐富的知識(shí)遺產(chǎn)，最知名的莫過于“生命游戲”，還有一個(gè)困擾數(shù)學(xué)界50年的難題“康威扭結(jié)”（Conway Knot）。
令人意想不到的是，最近這個(gè)問題被德州大學(xué)奧斯汀分校的一位博士小姐姐Lisa Piccirillo解決了，而且她只用了一周的業(yè)余時(shí)間。
▲Lisa Piccirillo
Lisa本人也因此獲得了MIT的tenure-track預(yù)聘職位，前途無(wú)量。
其實(shí)這篇論文最早是Lisa在2018年讀博期間完成的，當(dāng)Lisa偶然得到這個(gè)結(jié)果的時(shí)候，她并沒有意識(shí)到這個(gè)問題的重要性。
有一天，她把自己的解決方法告訴了同在德州大學(xué)奧斯汀分校的Cameron Gordon教授。Gordon教授大叫道：“什么？我現(xiàn)在就要去投頂級(jí)期刊！”
這一舉動(dòng)甚至嚇到了Lisa。
直到今年2月，這篇文章才被刊登在學(xué)術(shù)雜志《數(shù)學(xué)年刊》上。想必康威在得知自己提出的問題被解決后，也會(huì)感到欣慰吧。
01 什么是扭結(jié)
「結(jié)」這個(gè)概念，在日常生活中常被看成是一根有頭有尾的繩子打成的結(jié)。但數(shù)學(xué)家眼中的「結(jié)」，是一個(gè)首尾相連的閉環(huán)結(jié)，這種結(jié)是無(wú)法被解開的。
自上個(gè)世紀(jì)以來(lái)，有關(guān)扭結(jié)的研究啟發(fā)了量子力學(xué)、DNA結(jié)構(gòu)和三維空間拓?fù)鋵W(xué)。
所以數(shù)學(xué)家們自然要發(fā)問，在4維空間中是否有與三維空間對(duì)應(yīng)的扭結(jié)理論。
但是這里存在一個(gè)問題：在第四個(gè)維度上，扭結(jié)的繩體可以互相重合穿越，這樣一來(lái)，任何扭結(jié)都可以解開了。
所以4維空間的扭結(jié)不是三維扭結(jié)的簡(jiǎn)單移植。
4維空間的扭結(jié)并不好理解，我們可以借助3維空間中的的一個(gè)球體來(lái)想象。
如果切開一個(gè)3維球體，可以得到一個(gè)未打結(jié)的圓環(huán)。切開一個(gè)4維空間的扭結(jié)球體，你可能看到一個(gè)打結(jié)的環(huán)，或者是一個(gè)未打結(jié)的閉環(huán)。
任何能用這種「切開」一個(gè)扭結(jié)球體而得到的扭結(jié)，都稱它們?yōu)椤缚汕械摹梗╯lice），即片狀結(jié)。但也有一些「不可切」的扭結(jié)，比如有3個(gè)交叉的三葉結(jié)。
片狀結(jié)提供了3維和4維扭結(jié)理論的橋梁。
在4維拓?fù)鋵W(xué)中，片狀結(jié)有兩種形式，一種1980年代年提出的理論認(rèn)為，在4維空間中，不只有我們常規(guī)認(rèn)知的平坦光滑球體，還普遍存在一種皺縮球體，且永遠(yuǎn)無(wú)法被拉平。所以4維空間中的扭結(jié)是否可切，取決于這些特殊的皺縮球體。
這種皺縮的球體并不是4維空間的異常，而是一個(gè)十分有用的特征。4維空間中的片狀結(jié)是「拓?fù)淇汕小梗皇恰钙交汕小埂?/span>
這意味著數(shù)學(xué)家可以借此構(gòu)造不同版本的普通四維空間，這種4維空間在拓?fù)鋵W(xué)上與其他沒有不同，只不過是褶皺的。
切片性問題是這些奇異的四維空間的 “最低維度探究”。
02 康威扭結(jié)
多年來(lái)，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)了形形色色的扭結(jié)，這些結(jié)在拓?fù)鋵W(xué)上可切，但并不是平滑可切。然而，這些扭結(jié)的交叉都大于12。而在交叉點(diǎn)數(shù)小于12的扭結(jié)中，只有康威結(jié)的切片狀態(tài)卻一直無(wú)法找到。
▲劍橋大學(xué)牛頓數(shù)學(xué)科學(xué)研究所的大門，用康威扭結(jié)來(lái)做裝飾
康威在上世紀(jì)50年代時(shí)對(duì)扭結(jié)理論產(chǎn)生了濃厚的興趣。
他想出了一個(gè)簡(jiǎn)單的方法，把交叉點(diǎn)數(shù)目不同的的扭結(jié)一一列出來(lái)，而前人將這項(xiàng)工作推進(jìn)到10個(gè)交叉的扭結(jié)。
康威列出了所有具有11個(gè)交叉點(diǎn)的扭結(jié)，很快發(fā)現(xiàn)了它們的特殊之處，這些就是康威扭結(jié)。
▲圖中只畫到了7個(gè)交叉的扭結(jié)，交叉點(diǎn)是兩條繩體交叉之處
11個(gè)交叉點(diǎn)的康威扭結(jié)，是拓?fù)淇汕械模珨?shù)學(xué)界一直無(wú)法證明它是否平滑可切。
數(shù)學(xué)家馬克·休斯（Mark Hughes）創(chuàng)建了一個(gè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)，利用扭結(jié)的不變量和其他信息來(lái)預(yù)測(cè)可切性等特征。對(duì)于大多數(shù)的結(jié)，這種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)能夠做出明確的預(yù)測(cè)。但它對(duì)康威結(jié)是否具有平滑可切性卻沒有確切答案。
康威扭結(jié)是否平滑可切之所以如此重要，不僅因?yàn)樗_了數(shù)學(xué)界半個(gè)世紀(jì)。
平滑可切的扭結(jié)為數(shù)學(xué)家提供了一條探索四維空間奇特屬性的途徑。
而證明康威扭結(jié)是否為平滑可切，已經(jīng)成為扭結(jié)理論重大突破的硬標(biāo)準(zhǔn)。
03 問題解決
數(shù)學(xué)家一直懷疑康威結(jié)不是平滑可切的，因?yàn)樗狈σ环N “帶狀性 “的特征，而平滑可切的扭結(jié)通常具有這種特征。
但康威結(jié)也有一個(gè)特點(diǎn)，使它對(duì)所有試圖證明它不是光滑切片的嘗試都無(wú)功而返。
康威扭結(jié)有一種變體，如果我們把康威扭結(jié)畫在紙上，把它的下半部分剪下來(lái)，翻轉(zhuǎn)180度再接上，那么就得到一個(gè)Kinoshita-Terasaka扭結(jié)。
巧合的是，后面的扭結(jié)是平滑可切的。
Lisa本人喜歡扭結(jié)理論所需的視覺直覺，但她并不是扭結(jié)理論方面的專家。Lisa在波士頓大學(xué)讀本科期間的老師Elisenda Grigsby，Lisa當(dāng)時(shí)并沒有展現(xiàn)出天才少年的潛質(zhì)，但是她的創(chuàng)造力吸引了Grigsby教授的注意。
Grigsby教授說(shuō)：“她非常相信自己的觀點(diǎn)，并且一直如此。”
Lisa當(dāng)時(shí)正在思考關(guān)于康威扭結(jié)的問題，當(dāng)時(shí)她正在考慮除了突變外將兩個(gè)結(jié)關(guān)聯(lián)起來(lái)的另一種方式。每個(gè)扭結(jié)都有一個(gè)關(guān)聯(lián)的四維形狀，它是通過將結(jié)放置在4D球的邊界上并沿著結(jié)在球上縫制某種帽而制成，數(shù)學(xué)家稱之為跡（trace）。
Gordon表示，跡以一種非常強(qiáng)烈的方式編碼了扭結(jié)。
不同的結(jié)可以具有相同的四維跡，數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)相同跡的扭結(jié)總是具有相同的可切性質(zhì)：要么都是可切的，要么都不是。但是Lisa和萊斯大學(xué)博士后Allison Miller證明，可以將扭結(jié)跡的不變性讓我們?cè)谘芯颗そY(jié)可切性質(zhì)的時(shí)候，構(gòu)造相似扭結(jié)變得非必要。
這為L(zhǎng)isa證明康威扭結(jié)非平滑可切提供了一種策略：如果可以為康威扭結(jié)構(gòu)造一個(gè)相同跡的扭結(jié)，那么也許可以更好地與可切不變性配合使用。
構(gòu)造這樣同跡的扭結(jié)并非易事，但是Lisa卻有非常的天賦，她只是回到家中研究就做到了這一點(diǎn)。
通過巧妙的扭結(jié)的組合，Lisa設(shè)法構(gòu)造了一個(gè)復(fù)雜的扭結(jié)，它的跡與康威扭結(jié)相同。Lisa使用了一種叫做拉斯穆森S不變量（Rasmussen’s s-invariant）的工具，結(jié)果顯示她構(gòu)造的扭結(jié)不是平滑可切的，因此康威扭結(jié)也不是。
“這是一個(gè)非常美麗的證明，”戈登說(shuō)。沒有理由指望Piccirillo構(gòu)造結(jié)會(huì)產(chǎn)生拉斯穆森的小號(hào) -invariant，他說(shuō)。“但是它起作用了……有點(diǎn)令人驚訝。”
Gordon給了Lisa很高的贊譽(yù)：“這是一個(gè)非常美麗的證明。”他完全沒想到Lisa用這樣一種用具實(shí)現(xiàn)了證明。
Lisa的本科論文導(dǎo)師Greene說(shuō)：Lisa的工作說(shuō)明拓?fù)鋵W(xué)家對(duì)扭結(jié)跡的認(rèn)識(shí)還存在著不足。
參考資料：
https://www.quantamagazine.org/graduate-student-solves-decades-old-conway-knot-problem-20200519/
https://mathworld.wolfram.com/SliceKnot.html
https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/sliceknots2.pdf
論文地址：
https://arxiv.org/abs/1808.02923
