摘要：群體智能優(yōu)化算法由于其易實現(xiàn)性及其高效性，已成為最優(yōu)化方法的研究熱點。本文介紹該領(lǐng)域一種近年來的新興起的優(yōu)化算法鯨魚優(yōu)化算法。在介紹其生物機制的基礎(chǔ)上，論述了其捕食、攻擊過程的數(shù)學(xué)模型。最后給出了其與其它優(yōu)化算法的仿真結(jié)果比較。
1.?背景介紹
在流程工業(yè)自動化與信息化中，無論操作優(yōu)化、最優(yōu)控制，還是生產(chǎn)調(diào)度、供應(yīng)鏈優(yōu)化及資源規(guī)劃等，其實現(xiàn)的理論依據(jù)都是最優(yōu)化方法，因此最優(yōu)化方法在工業(yè)生產(chǎn)起著非常重要的理論基石作用。最優(yōu)化方法中的啟發(fā)式優(yōu)化算法因為它們依賴于相當(dāng)簡單的概念，易于實現(xiàn)，且不需要梯度資料，可以繞過局部最優(yōu)，可用于涉及不同學(xué)科的廣泛問題，因此在工程應(yīng)用中越來越受歡迎。自然啟發(fā)式優(yōu)化算法通過模仿生物或物理現(xiàn)象來解決優(yōu)化問題，又可以分為三大類：基于進化的方法、基于物理的方法和基于群體的方法，本文重點介紹的基于群體智能的優(yōu)化方法是模仿動物群體社會行為的一種理論。目前該類優(yōu)化方法包括粒子群算法（PSO）、人工蜂群算法（ABC）、蟻群算法（ACO）、布谷鳥算法（CS）、螢火蟲算法等。這類優(yōu)化算法無論其性質(zhì)如何，都具有一個共同的特征，即搜索過程分為探索和開發(fā)兩個階段。在探索階段，優(yōu)化器必須包含操作符來全局探索可搜索空間，移動(即設(shè)計變量的擾動)應(yīng)該盡可能隨機化。后續(xù)展開的開發(fā)階段，可以定義為對搜索空間中有希望的區(qū)域進行詳細(xì)調(diào)查的過程。因此，開發(fā)是對在探索階段發(fā)現(xiàn)的設(shè)計空間的有希望區(qū)域的局部搜索能力。由于優(yōu)化過程的隨機性，如何在探索和開發(fā)之間找到合適的平衡點是任何一種啟發(fā)式算法開發(fā)中最具挑戰(zhàn)性的任務(wù)。本文介紹一種新的模擬座頭鯨狩獵行為的群體智能優(yōu)化算法(鯨魚優(yōu)化算法，WOA)，采用隨機或最佳搜索代理來模擬捕獵行為，并使用螺旋來模擬座頭鯨的泡泡網(wǎng)攻擊機制。
據(jù)研究，鯨魚大腦的某些區(qū)域有與人類相似的梭形細(xì)胞，而這些細(xì)胞負(fù)責(zé)人類的判斷、情感和社會行為。鯨魚的這種細(xì)胞數(shù)量是成年人類的兩倍，這是它們聰明的主要原因。事實證明，鯨能像人類一樣思考、學(xué)習(xí)、判斷、交流，甚至變得情緒化，但顯然它的智能水平要低得多。
據(jù)觀察，鯨魚(主要是虎鯨)也能發(fā)展自己的方言。而座頭鯨最有趣的地方是它們特殊的捕獵方法。這種覓食行為被稱為泡泡網(wǎng)覓食法。座頭鯨喜歡在接近海面的地方捕食磷蝦或小魚。據(jù)觀察，這種覓食是通過沿著一個圓圈或“9”形路徑創(chuàng)造獨特的氣泡來完成的，如圖1所示。在2011年之前，這一行為僅僅是基于在地表的觀察進行研究。后來利用傳感器展開了更深入的研究，他們捕獲了9頭座頭鯨的300個標(biāo)簽衍生的泡泡網(wǎng)進食事件。他們發(fā)現(xiàn)了兩個與氣泡有關(guān)的動作，并將它們命名為“向上螺旋”和“雙環(huán)”。在前一種策略中，座頭鯨會向下潛水12米，然后開始在獵物周圍制造一個螺旋形的氣泡，再游向水面。值得一提的是，泡泡網(wǎng)捕食是一種獨特的行為，只能在座頭鯨身上觀察到。本文介紹如何利用螺旋泡沫網(wǎng)捕食機制進行數(shù)學(xué)建模，以達到優(yōu)化的目的。
2.2.?數(shù)學(xué)模型與優(yōu)化算法
座頭鯨能夠識別獵物的位置并將其包圍。由于優(yōu)化設(shè)計在搜索空間中的位置不是先驗已知的，因此WOA算法假設(shè)當(dāng)前的最佳候選解是目標(biāo)獵物或接近最優(yōu)解。在定義了最佳搜索個體之后，其他搜索個體將嘗試向最佳搜索個體更新它們的位置。這一行為由以下方程表示：
(1)
（2）
其中t表示當(dāng)前迭代，
和
是系數(shù)向量，X*是目前得到的最佳解的位置向量，
為位置向量，| |為絕對值，?為逐元素乘法。這里值得一提的是，如果存在更好的解決方案，那么應(yīng)該在每次迭代中更新X。
向量和計算方法如下：
（3）
（4）
這里
在迭代過程中(勘探和開發(fā)階段)從2到0是線性遞減的，
是[0,1]中的一個隨機向量。
圖2 ?二維和三維位置向量及其可能的下一個位置 (其中X*是目前獲得的最佳解決方案)圖2(a)結(jié)合一個二維問題說明了公式(2)背后的原理。搜索個體的位置(X,Y)可以根據(jù)當(dāng)前最佳記錄的位置(X*，Y*)進行更新。圍繞最佳個體的不同位置可以通過調(diào)整和向量來得到。圖2(b)還描述了搜索在三維空間中可能的更新位置。需要注意的是，通過定義隨機向量，可以到達圖2所示關(guān)鍵點之間的搜索空間中的任意位置。因此式2允許任何搜索個體更新其在當(dāng)前最佳解附近的位置，并模擬包圍獵物。同樣的概念可以擴展到n維的搜索空間，搜索個體將在超立方體中移動，以獲得迄今為止最好的解決方案。2）泡泡網(wǎng)攻擊方法
為了建立座頭鯨泡泡網(wǎng)行為的數(shù)學(xué)模型，設(shè)計了下面兩種方法：(1)? 收縮包圍機制：這種行為是通過減少式(3)中的來實現(xiàn)，也因此變成（-a, a）之間的一個隨機量，a在迭代過程中從2減到0。設(shè)置隨機值在[- 1,1]中，搜索個體的新位置可以定義為介于原個體位置和當(dāng)前最佳個體位置之間的任何位置。圖3(a)顯示了在二維空間中0≤a≤1可以實現(xiàn)從(X,Y)變到(X*,Y*)的可能位置。(2)?? 螺旋更新位置：如圖3(b)所示，這種方法首先計算位于(X,Y)的鯨魚和位于(X,Y,Y)的獵物之間的距離。然后在鯨魚和獵物的位置之間建立一個螺旋方程，模擬座頭鯨的螺旋形運動如式(5):
(5)這里
表示第i條鯨到獵物的距離(目前得到的最佳解)，b為對數(shù)螺旋形狀的常數(shù)，l為[- 1,1]中的隨機數(shù)，?是一個元素對元素的乘法。
圖3 bubbly -net搜索機制在WOA中實現(xiàn)(X是目前獲得的最佳解決方案)
(a)收縮環(huán)繞機制 ?? (b)螺旋更新位置座頭鯨在一個逐步縮小的圓圈內(nèi)繞著獵物游動，同時沿著螺旋形的路徑游動。為了模擬這種同時發(fā)生的行為，我們假設(shè)有50%的概率可以在縮小的包圍機制和螺旋模型之間做出選擇，以更新鯨魚的位置。模型如下：
（6）其中
是一個隨機數(shù)。座頭鯨是根據(jù)彼此的位置隨機搜索的。隨機計算出的比-1小或比１大時，將強迫搜索個體遠離參考鯨魚。相對于開發(fā)階段，我們根據(jù)隨機選擇的搜索個體來更新搜索代理在探索階段的位置，而不是根據(jù)找到的最佳搜索個體，這一機制將使WOA可進行全局搜索。此時的數(shù)學(xué)模型為：
（7）
（8）這里
是隨機一頭鯨對應(yīng)的隨機位置，圖4畫出了
時特殊解的一些可能位置。
WOA算法從一組隨機解開始。在每次迭代中，搜索個體根據(jù)隨機選擇的搜索個體或者獲得的最佳解更新其位置，將a參數(shù)由2逐步減為為0，以支持勘探和開發(fā)。當(dāng)
時，將選擇一個隨機的搜索個體；
時，將選擇最優(yōu)解作為搜索個體。根據(jù)p的值，WOA可以在螺旋運動和圓形運動之間進行切換，當(dāng)滿足終止準(zhǔn)則時終止WOA算法。
3.?算法的比較效果說明
原文中在29個標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)上對該WOA算法進行了測試，結(jié)果揭示了所提出的WOA算法的不同特點。WOA具有較高的勘探能力，這是由于式(8)對鯨魚進行位置更新的機制所致。這個等式要求鯨魚在迭代的初始步驟中彼此隨機移動。而在后續(xù)的迭代中，強調(diào)高的開發(fā)和收斂性，這源于式(6)。這個方程式可以讓鯨魚快速地調(diào)整自己的位置，或者沿著螺旋形的路徑移動，以獲得迄今為止所獲得的最佳解。由于這兩個階段是分別完成的，并且?guī)缀踉诿總€迭代的一半中，WOA在迭代過程中同時顯示出較高的局部最優(yōu)避免和收斂速度。然而，PSO和GSA沒有操作符來將特定的迭代用于勘探或開發(fā)。換句話說，PSO和GSA(以及任何其他類似算法)使用一個公式來更新搜索代理的位置，這增加了局部優(yōu)化中停滯的可能性。仿真結(jié)果見表1和表2。
表1? 經(jīng)典基準(zhǔn)函數(shù)上的優(yōu)化結(jié)果比較
表2? 綜合函數(shù)上的優(yōu)化結(jié)果比較
為了進一步驗證該方法在應(yīng)用中的性能，原文還對6個結(jié)構(gòu)工程問題(即張力/壓縮彈簧的設(shè)計、焊接梁的設(shè)計、壓力容器的設(shè)計、15桿桁架的設(shè)計、25桿桁架的設(shè)計和52桿桁架的設(shè)計)和其他優(yōu)化算法展開了應(yīng)用比較，最終證實優(yōu)于傳統(tǒng)的優(yōu)化技術(shù)。
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參考文獻
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