一文看懂95%置信區(qū)間

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來(lái)自?| CSDN博客? 作者 |?bitcarmanlee

編輯 | 深度學(xué)習(xí)這件小事公眾號(hào)

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? ?1.點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)

首先我們看看點(diǎn)估計(jì)的含義：

是用樣本統(tǒng)計(jì)量來(lái)估計(jì)總體參數(shù)，因?yàn)闃颖窘y(tǒng)計(jì)量為數(shù)軸上某一點(diǎn)值，估計(jì)的結(jié)果也以一個(gè)點(diǎn)的數(shù)值表示，所以稱為點(diǎn)估計(jì)。點(diǎn)估計(jì)雖然給出了未知參數(shù)的估計(jì)值，但是未給出估計(jì)值的可靠程度，即估計(jì)值偏離未知參數(shù)真實(shí)值的程度。

接下來(lái)看下區(qū)間估計(jì)：

給定置信水平，根據(jù)估計(jì)值確定真實(shí)值可能出現(xiàn)的區(qū)間范圍，該區(qū)間通常以估計(jì)值為中心，該區(qū)間則為置信區(qū)間。

???2.中心極限定理與大數(shù)定理

中心極限定理：

在適當(dāng)?shù)臈l件下，大量相互獨(dú)立隨機(jī)變量的均值經(jīng)適當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)化后依分布收斂于正態(tài)分布。例如我們要計(jì)算全中國(guó)人的平均身高。如果每次取10000個(gè)身高作為樣本，對(duì)應(yīng)有一個(gè)樣本均值。如果再?gòu)目傮w中重復(fù)抽取n多次10000個(gè)樣本，就對(duì)應(yīng)有n個(gè)樣本均值。隨著n增大，把所有樣本均值畫出來(lái)，得到的就是一個(gè)接近正太分布的曲線。

大數(shù)定理：

取樣數(shù)趨近無(wú)窮時(shí)，樣品平均值按概率收斂于期望值。拋硬幣的次數(shù)越多，越接近正反各一半。

???3.置信區(qū)間與置信水平

一般我們用中括號(hào)[a,b]表示樣本估計(jì)總體平均值誤差范圍的區(qū)間。a、b的具體數(shù)值取決于你對(duì)于”該區(qū)間包含總體均值”這一結(jié)果的可信程度，因此[a,b]被稱為置信區(qū)間。

一般來(lái)說(shuō)，選定某一個(gè)置信區(qū)間，我們的目的是為了讓”ab之間包含總體平均值”的結(jié)果有一特定的概率，這個(gè)概率就是所謂的置信水平。

例如我們最常用的95%置信水平，就是說(shuō)做100次抽樣，有95次的置信區(qū)間包含了總體均值。

???4.標(biāo)準(zhǔn)差(standard deviation)與標(biāo)準(zhǔn)誤差(standard error)

標(biāo)準(zhǔn)差是描述觀察值(個(gè)體值)之間的變異程度（例如一個(gè)人打十次靶子的成績(jī)，這時(shí)有一個(gè)平均數(shù)8，有一個(gè)反映他成績(jī)穩(wěn)定與否的標(biāo)準(zhǔn)差）；

標(biāo)準(zhǔn)誤是描述樣本均數(shù)的抽樣誤差（例如十次抽樣，每次他成績(jī)平均數(shù)（7,8,6,9,5,6,7,7,8,9）的標(biāo)準(zhǔn)差，也就是抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)差）；

樣本的標(biāo)準(zhǔn)誤差為:

SE=s(样本标准差)n" role="presentation" style="">

???5.如何理解95%的置信區(qū)間

以上面的統(tǒng)計(jì)身高為例，假設(shè)全國(guó)人民的身高服從正態(tài)分布：

不斷進(jìn)行采樣，假設(shè)樣本的大小為n，則樣本的均值為：

由大數(shù)定理與中心極限定理：

注意σ1" role="presentation" style="">σ1的計(jì)算方法為第4部分提到的標(biāo)準(zhǔn)誤差！

為什么常用95%的置信水平：

對(duì)照上圖，用一句簡(jiǎn)單的話概括就是：

有95%的樣本均值會(huì)落在2個(gè)(比較精確的值是1.96)標(biāo)準(zhǔn)誤差范圍內(nèi)。

用數(shù)學(xué)公式描述就是：

P(μ−1.96σn<M<μ+1.96σn)=0.95" role="presentation" style="">

???6.計(jì)算置信區(qū)間的套路

從上面的例子來(lái)看，計(jì)算置信區(qū)間的套路如下：

1.首先明確要求解的問(wèn)題。比如我們的例子，就是想通過(guò)樣本來(lái)估計(jì)全國(guó)人民身高的平均值。

2.求抽樣樣本的平均值與標(biāo)準(zhǔn)誤差(standard error)。注意標(biāo)準(zhǔn)誤差與標(biāo)準(zhǔn)差(standard deviation)不一樣。

3.確定需要的置信水平。比如常用的95%的置信水平，這樣可以保證樣本的均值會(huì)落在總體平均值2個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差得范圍內(nèi)。

4.查z表，求z值。

5.計(jì)算置信區(qū)間

a = 樣本均值 - z*標(biāo)準(zhǔn)誤差
b = 樣本均值 + z*標(biāo)準(zhǔn)誤差

用公式表示置信區(qū)間：

其中，x¯" role="presentation" style="">xˉ表示樣本的均值，z" role="presentation" style="">z值表示有多少標(biāo)準(zhǔn)差，s" role="presentation" style="">s為樣本的方差。

原文鏈接：https://blog.csdn.net/bitcarmanlee/article/details/82709774

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