人工智能數(shù)學(xué)基礎(chǔ)---不定積分4：有理函數(shù)求積分的方法
一、引言
在《人工智能數(shù)學(xué)基礎(chǔ)–不定積分2：利用換元法求不定積分》、《人工智能數(shù)學(xué)基礎(chǔ)—不定積分3：分部積分法》分別介紹了換元積分法和分步積分法。但有些函數(shù)表達(dá)式很復(fù)雜，如果直接用換元積分法和分步積分法不好計(jì)算積分，這時(shí)需要先對函數(shù)進(jìn)行化簡。本文介紹的有理函數(shù)求積分就是一種化繁為簡的不定積分計(jì)算方法。
二、有理函數(shù)的概念
2.1、定義
兩個(gè)多項(xiàng)式的商P(x)/Q(x)稱為有理函數(shù)，又稱為有理分式。
2.2、補(bǔ)充說明
上述定義假設(shè)P(x)、Q(x)之間沒有公因式，因?yàn)橛芯涂梢韵嗉s去除；
當(dāng)分子多項(xiàng)式P(x)的次數(shù)（變量的最高冪次）小于分母多項(xiàng)式Q(x)的次數(shù)，則稱有理函數(shù)為真分式，否則稱為假分式；
利用多項(xiàng)式的除法，總可以將一個(gè)假分式化為一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式的和；
對于真分式P(x)/Q(x)，如果分母Q(x)可以分解為兩個(gè)多項(xiàng)式的乘積Q1(x)Q2(x)，即Q(x)=Q1(x)Q2(x)，且Q1(x)、Q2(x)沒有公因式，則真分式P(x)/Q(x)可以拆分成兩個(gè)真分式之和，即：P(x)/Q(x) = P1(x)/Q1(x)+P2(x)/Q2(x)。這個(gè)過程稱為把真分式化成部分分式之和。如果Q1(x)或Q2(x)還可以分解成兩個(gè)公因式的多項(xiàng)式的乘積，那么可以再拆分成更簡單的部分分式。
經(jīng)過真分式化成部分分式之和的處理后，最后有理函數(shù)的分解式中只會出現(xiàn)多項(xiàng)式、P1(x)/(x-a)k、P2(x)/(x2+px+q)l等三類函數(shù)（這里p2 - 4q<0，P1(x)為小于k次的多項(xiàng)式，P2(x)為小于2l次的多項(xiàng)式）。多項(xiàng)式的積分利用不定積分的加法運(yùn)算即可以化成每個(gè)項(xiàng)的積分，就可以比較容易求出。
思考：學(xué)這里時(shí)，老猿在想為什么有理函數(shù)就可以化為這三種類型的函數(shù)呢？仔細(xì)想了下，應(yīng)該是如下理由：
多項(xiàng)式以及后面兩個(gè)真分式的分子就不用說了，主要是后面兩個(gè)真分式的分母為什么是那樣的；
任何一個(gè)變量的n次多項(xiàng)式，其構(gòu)成起決定作用的是其最高次數(shù)n，而任何一個(gè)整數(shù)n，都可以表示成一個(gè)整數(shù)和一個(gè)偶數(shù)的和，因此才有這兩種形式的分母。
三、真分式的求解積分方法
先看2個(gè)例題：
從以上兩個(gè)例題可以看到，老猿總結(jié)真分式求積分的步驟如下：
首先將分母化解為n個(gè)沒有公因式的多項(xiàng)式的乘積；
將化解后的有理函數(shù)拆分成n個(gè)真分式的和，每個(gè)真分式的分母為上述n個(gè)多項(xiàng)式中的一個(gè)，分子為比分母低一次的帶未知系數(shù)的完整多項(xiàng)式；
根據(jù)被積函數(shù)與上述n個(gè)真分式相等的關(guān)系，得到變量的每次系數(shù)之間的關(guān)系，通過這個(gè)關(guān)系求出所有未知系數(shù)，將其帶入到步驟2中的n個(gè)真分式中，即將原有理函數(shù)求積分化為了n個(gè)真分式的和求積分；
利用積分加法運(yùn)算針對每個(gè)真分式求積分，得到最后的積分結(jié)果。
四、部分非有理函數(shù)化為有理函數(shù)求積分
有理數(shù)函數(shù)求積分的方法，不只是能應(yīng)用于有理函數(shù)，也可以應(yīng)用于用換元法等方法可化為有理函數(shù)的的部分函數(shù)。
4.1、三角函數(shù)案例
小結(jié)：可以看到，通過將三角函數(shù)進(jìn)行u=tan（x/2）的換元，就可以將由三角函數(shù)組成的類似有理式的積分計(jì)算轉(zhuǎn)換成有理函數(shù)的方式來計(jì)算，最后結(jié)果再將變量x=2arctan u替換回來即可，這種處理方式對三角函數(shù)類似有理式的積分都可以應(yīng)用。
注意：當(dāng)變量x∈（（2k-1）π，（2k+1）π）時(shí)，作變換u=tan（（x-2kπ）/2）=tan(x/2)，x=2kπ+2arctan u，一樣可以應(yīng)用有理分式求積分。
4.2、n次開方案例
案例1：
案例2：
小結(jié)：通過上面的案例可以看到，如果被積函數(shù)中含有簡單根式，可以通過將簡單根式設(shè)為u，從而將被積函數(shù)化為有理分式，用該有理分式求出積分，再用u到x的反變換將結(jié)果代換，就可以求得這種帶根式的函數(shù)積分。
五、小結(jié)
本文介紹了有理函數(shù)的概念及有理函數(shù)求積分的方法，并對于類似有理函數(shù)的三角函數(shù)形式的被積函數(shù)和帶根式的被積函數(shù)，通過適當(dāng)?shù)負(fù)Q元變換化為有理函數(shù)求積分。
說明：
本文內(nèi)容是老猿學(xué)習(xí)同濟(jì)版高數(shù)的總結(jié)，有需要原教材電子版以及OpenCV、Python基礎(chǔ)知識、、圖像處理原理介紹相關(guān)電子資料，或?qū)ξ恼聝?nèi)有有疑問咨詢的，請掃博客首頁左邊二維碼加微信公號，根據(jù)加微信公號后的自動回復(fù)操作。
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