《代數(shù)的歷史》：美國數(shù)學(xué)學(xué)會推薦必讀經(jīng)典

彼得森（Ivars Peterson）在《當(dāng)代數(shù)學(xué)研討》一文中曾說：“對大多數(shù)外行人來說，現(xiàn)代數(shù)學(xué)是一塊陌生的領(lǐng)地……數(shù)學(xué)是一個值得探索的世界……但可悲的是，外行人進入這一世界的道路似乎太少了。”

代數(shù)學(xué)作為數(shù)學(xué)中的重要分支，隨著歷史的發(fā)展，其抽象層次越來越高，到如今，近世代數(shù)（modern algebra）已經(jīng)被稱為“抽象代數(shù)”。

正如《代數(shù)的歷史》的引言中也說：“代數(shù)學(xué)已經(jīng)成為所有智力學(xué)科中最純粹、最嚴(yán)格的學(xué)科，它的研究對象是對抽象的抽象的再抽象，非數(shù)學(xué)專業(yè)人士幾乎無法領(lǐng)會到其成果的巨大威力和非凡魅力。”

許多人看到“抽象”二字就會敬而遠(yuǎn)之，更別說還和“代數(shù)”放到一起。我們能否找到進入代數(shù)世界的旅行指南呢？

《代數(shù)的歷史》是為大眾寫的一本代數(shù)學(xué)歷史書，你只需帶上好奇心，就可以和作者一起踏上一段激動人心的數(shù)學(xué)之旅。

約翰·德比希爾（John Derbyshire）

本書的作者約翰·德比希爾（John Derbyshire）是一名小說家、數(shù)學(xué)科普作家、評論家和專欄作者，他與家人一起生活在紐約長島。德比希爾在20世紀(jì)60年代就讀于倫敦大學(xué)學(xué)院數(shù)學(xué)系。80年代以來一直為報紙和雜志撰寫書評和評論。

德比希爾著有多部數(shù)學(xué)科普著作，其中《代數(shù)的歷史》更是被美國數(shù)學(xué)學(xué)會選為必讀讀物，并被譯為7種語言，享譽全球。

在本書中，數(shù)學(xué)和歷史攜手并進。為了幫助讀者熟悉或回憶有關(guān)的數(shù)學(xué)概念，作者特意在章節(jié)之間穿插了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識作為鋪墊。

全書共有6個這樣的知識性章節(jié)：數(shù)與多項式、三次方程和四次方程、單位根、向量空間和代數(shù)、域論、代數(shù)幾何。僅喜歡閱讀故事，或已經(jīng)熟知這些知識的讀者可以跳過這些章節(jié)。當(dāng)然，書中大部分?jǐn)?shù)學(xué)符號和表述都是標(biāo)準(zhǔn)和通用的，因此接受過中學(xué)教育的讀者想必都可以輕松讀懂。

作者講述了從公元前1800年到現(xiàn)代的代數(shù)歷史，并根據(jù)不同的抽象層次把本書分成三個部分：未知量、普遍算術(shù)和抽象層次。他在引言中特別提到：“這本書不是教材，我只希望能夠展示一些代數(shù)學(xué)概念的模樣，以及后來的代數(shù)學(xué)概念是如何從先前的概念中發(fā)展而來的，哪些人扮演了重要的角色，歷史背景又是怎樣的。”

本書英文版出版于2005年，距今已有16年。首個中文譯本出版于2010年，到現(xiàn)在也11年了。在中文譯本面世之后，許多熱心讀者提出了改進建議。本次修訂一方面借鑒了第一版翻譯，另一方面也參考了諸如豆瓣書評里的各種建議。

因本次為修訂版，中文譯本書名延續(xù)第一版的《代數(shù)的歷史：人類對未知量的不舍追蹤》。原書名為Unknown quantity：a real and imaginary history of algebra，使用了雙關(guān)的手法：real (number)和imaginary (number)在代數(shù)學(xué)（或更準(zhǔn)確地說，在復(fù)數(shù)中）分別指代實數(shù)和虛數(shù)，而在日常中則表示真實和虛構(gòu)——可以說，在歷史中，這兩個詞也往往對應(yīng)“史實”和“杜撰”。

虛與實在繪畫藝術(shù)、文學(xué)創(chuàng)作、建筑設(shè)計等領(lǐng)域也指代一種表現(xiàn)手法。虛與實的關(guān)系既是對立又是交叉的；實境和虛境相互滲透，可以創(chuàng)造出令人回味的深遠(yuǎn)意境。

歷史的主體是生活在時空范圍中的人，代數(shù)學(xué)的歷史則是由那些數(shù)學(xué)個體和群體及其活動組成的。各種史書所選的材料本身在虛實程度上就各有不同，再經(jīng)過作者（和譯者）的加工，投影到文字上，引起讀者想象的整個過程也是虛實相間的。

“每一部科學(xué)史書都是高度簡化的‘成功’史”，真實的歷史遠(yuǎn)比這本書所描繪的要長得多，而且許多失敗和錯誤也沒有流傳下來。同樣地，盡管歷史講述過去的事，但過去的事并不等同于歷史，但凡有人對事實加以記錄，就會帶有其主觀性和選擇性。因此，這部代數(shù)學(xué)史本身就是時間與空間的虛與實的結(jié)合體。

與第一版相比，本次修訂版從體例到文字都有不小的變化。尤其，我們在本次翻譯和修訂時，特收集了讀者向出版社提出的勘誤意見，以及豆瓣評論上的修改建議，與編輯在校對時一一對照。讀者們提到的第一版譯文中存在的諸如專業(yè)名詞誤譯、人名和著作翻譯等問題，在本次修訂時，我們都做了更正。

比如，對于大眾熟悉的數(shù)學(xué)家，我們盡量使用常見譯名，必要時結(jié)合《世界人名翻譯大辭典》詞條，另外，我們也參考了張奠宙先生、李文林先生等的數(shù)學(xué)史著作中使用的譯名。書中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)經(jīng)典著作的標(biāo)題翻譯，我們主要參考了《數(shù)學(xué)史概論》《數(shù)學(xué)的世界》《數(shù)學(xué)史通論》等數(shù)學(xué)史專著，像卡爾達(dá)諾的《機遇博弈》則參考了陳希孺院士的《數(shù)理統(tǒng)計學(xué)簡史》。

針對讀者提出的專業(yè)名詞誤譯，我們也盡量予以改進。如Motivic cohomology（原書誤拼為motivitic cohomology）一詞在第一版時翻譯為“原動力上同調(diào)”。這個翻譯不僅讓非數(shù)學(xué)專業(yè)人士摸不著頭腦，數(shù)學(xué)專業(yè)人士也可能不知其為何物。

Motivic cohomology的中文翻譯有動機上同調(diào)、恒機式上同調(diào)、母題上同調(diào)、原相上同調(diào)等，在本次修訂時使用了“原相上同調(diào)”這一譯法，這是黎景輝教授在《代數(shù)K理論》一書中建議的，與“現(xiàn)相”（realization）相對，頗有味道。另外母題上同調(diào)的譯法也很有藝術(shù)韻味，“母題”的譯法可能來自徐克艦教授，感興趣的讀者可以閱讀徐教授的《格羅登迪克的Motive與塞尚的母題》。

另外，universal一詞的譯法我也糾結(jié)了許久。熟悉代數(shù)學(xué)的朋友都知曉“泛性質(zhì)”或“萬有性質(zhì)”（universal property），因此universal algebra和universal construction的翻譯應(yīng)該是“泛代數(shù)”（“萬有代數(shù)”）和“泛構(gòu)造”（“萬有構(gòu)造”）。

但在書中，universal algebra是與牛頓的universal arithmetic相對，而李文林先生已經(jīng)將牛頓的universal arithmetic翻譯為普遍算術(shù)或通用算術(shù)，如果用“泛算術(shù)”或“萬有算術(shù)”，反而可能會造成閱讀障礙。因此universal arithmetic和universal algebra使用了“普遍算術(shù)”和“普遍代數(shù)”的譯法。

為了讓熟悉代數(shù)學(xué)的朋友不產(chǎn)生誤解，在注釋中解釋了“普遍代數(shù)”和“泛代數(shù)”是同一含義，并且在翻譯universal construction時仍采用了常見的“泛構(gòu)造”的譯法。

還要注意的是，書中的“阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)”并非單指阿拉伯國家的數(shù)學(xué)，而是指中世紀(jì)阿拉伯帝國統(tǒng)治下的中亞和西亞地區(qū)的數(shù)學(xué)。我們知道，阿拉伯人在保存和傳播印度、希臘和中國的文化，以及為歐洲文藝復(fù)興做準(zhǔn)備方面做出了巨大貢獻(xiàn)。書中提到的花拉子密、海亞姆等都是杰出的數(shù)學(xué)家，并且阿拉伯語al-jabr傳入歐洲逐漸演變成algebra，成為“代數(shù)”一詞的來源。

此外，我還有個疑問，希望有讀者朋友可以解釋：書中提到1659年費馬給出了費馬大定理n=4時的粗略證明，“高斯很久之后才給出了完整的證明”（Gauss provided the complete proof much later）。我們知道歐拉在1753年就對n=3的更難的情形給出了證明，高斯生活的年代比歐拉更晚，完整的證明應(yīng)該在高斯之前就已經(jīng)存在，為什么說高斯很久之后才給出了完整的證明？

此次譯稿如仍有其他問題和不妥之處，請讀者指正。

與大多數(shù)講述歷史的書籍一樣，這并不是一本事無巨細(xì)的數(shù)學(xué)史書。數(shù)學(xué)史專家西格爾（Sanford L. Segal）評價本書的寫作風(fēng)格有一點“非正式”，而且在討論解析幾何時漏掉了費馬的工作，也沒有提到布爾巴基學(xué)派。

因此，“嚴(yán)謹(jǐn)”的讀者在閱讀時可能會覺得“不完美”。當(dāng)然西格爾坦言本書“沒有什么明顯的數(shù)學(xué)錯誤……除了偶爾的驚人之語外，介紹大多數(shù)人時是公正而準(zhǔn)確的。德比希爾的書對它的目標(biāo)受眾來說是優(yōu)秀的”。

另外，本書對一些歷史內(nèi)容有所取舍。第九章專門介紹了源自中國的求解線性方程的算法以及矩陣的概念。《九章算術(shù)》中的方程章所講述的內(nèi)容就是現(xiàn)代的解線性方程組的“高斯消元法”，這一點是毋庸置疑的。然而本書沒有更多地講述中國古代的以算法為核心的代數(shù)發(fā)展，如負(fù)數(shù)的引進，開平方和開立方的算法，求解同余方程組的大衍求一術(shù)（中國剩余定理）、三次方程及高次方程的數(shù)值解法、天元術(shù)和四元數(shù)等。

想要了解中國古代代數(shù)學(xué)發(fā)展的讀者，可以閱讀錢寶琮先生、李儼先生、梁宗巨先生、李迪先生、吳文俊先生、李文林先生等數(shù)學(xué)史專家的中國數(shù)學(xué)史著作。

原書出版后的十多年來，代數(shù)學(xué)及其相關(guān)領(lǐng)域蓬勃發(fā)展。2005年，龐加萊猜想的證明還沒有被正式接納，所以，本次修訂時我們特補充了注釋。書中提到了美國數(shù)學(xué)學(xué)會2000年的分類表，業(yè)界近十多年來更常用的是2010版的分類標(biāo)準(zhǔn)MSC2010，未來可能更常用的是2020年發(fā)布的最新分類標(biāo)準(zhǔn)MSC2020。

在翻譯過程中，還有一件事讓我們非常感慨。書中提到的一些數(shù)學(xué)家在最近十多年里離開了我們：桑德斯·麥克萊恩在2005年去世，塞爾日·蘭在2005年去世，亨利·嘉當(dāng)在2008年去世，瓦爾特·法伊特在2014年去世，格羅特迪克在2014年去世，約翰·納什在2015年去世，符拉基米爾·弗沃特斯基在2017年去世，安德烈·蘇斯林在2018年去世，阿蒂亞爵士在2019年去世，約翰·康威和理查德·蓋伊在2020年相繼去世。

他們的離去是數(shù)學(xué)界的巨大損失。我們當(dāng)繼承他們的偉大思想，繼續(xù)踏上探尋未知量的旅程。

希望本次修訂能將作者想表達(dá)的觀點傳播出去，期待更多人通過閱讀本書感受代數(shù)的魅力，對代數(shù)、對數(shù)學(xué)產(chǎn)生興趣。未來的代數(shù)學(xué)歷史，等你來譜寫！ 

譯者簡介：

張浩，基礎(chǔ)數(shù)學(xué)博士，畢業(yè)于中國科學(xué)院大學(xué)，現(xiàn)從事數(shù)學(xué)教育工作。業(yè)余熱衷于數(shù)學(xué)傳播和普及，個人公眾號“一只尋找函子的貓”不定期發(fā)布數(shù)學(xué)科普話題。曾參與翻譯《蒲公英數(shù)學(xué)圖畫書》，另有數(shù)學(xué)文化類譯文散見于《數(shù)學(xué)文化》、“數(shù)立方”網(wǎng)站及“和樂數(shù)學(xué)”公眾號等。

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