90年前，哥德?tīng)柼岢鰯?shù)學(xué)界的相對(duì)論：「不完備性定理」，還迷倒了愛(ài)因斯坦

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【新智元導(dǎo)讀】1931年，哥德?tīng)柼岢隽恕覆煌陚湫远ɡ怼梗两褚延?0周年。他對(duì)20世紀(jì)的科學(xué)和哲學(xué)產(chǎn)生了巨大的影響，是現(xiàn)代理論計(jì)算機(jī)科學(xué)和人工智能理論之父。

在邏輯學(xué)中的地位，一般都將他與亞里士多德和萊布尼茲相比。

在數(shù)學(xué)中的地位，愛(ài)因斯坦將他的貢獻(xiàn)與他本人對(duì)物理學(xué)的貢獻(xiàn)相提并論。

他，就是奧地利裔美國(guó)著名數(shù)學(xué)家?guī)鞝柼亍じ绲聽(tīng)枺↘urt G?del），被譽(yù)為20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家之一。

他還被稱為現(xiàn)代理論計(jì)算機(jī)科學(xué)和人工智能理論之父，曾被美國(guó)《時(shí)代周刊》評(píng)為20 世紀(jì)最具影響力的100 位人物之一。

1931年，哥德?tīng)柊l(fā)表了 On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and Related Systems ，文中提出了「不完備性定理」。

至今，已有90年。

這篇巨作提出的理論讓數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究發(fā)生跨時(shí)代的變化，成為現(xiàn)代邏輯史上的重要里程碑。

要知道，「不完備性定理」與塔爾斯基的形式語(yǔ)言和真理論，圖靈機(jī)和判定問(wèn)題，被贊譽(yù)為現(xiàn)代邏輯科學(xué)在哲學(xué)方面的三大成果。

90周年——不完備性定理

究竟什么是「不完備性定理」？

在 1931 年的那項(xiàng)研究中，哥德?tīng)栆肓艘环N通用語(yǔ)言對(duì)任意形式化的過(guò)程進(jìn)行編碼。

他使用基于素?cái)?shù)因數(shù)分解的哥德?tīng)柧幋a系統(tǒng)。

他首先把唯一的自然數(shù)指派到在他所處理的算術(shù)的形式語(yǔ)言中的每個(gè)基本符號(hào)。

哥德?tīng)栕C明了，任何一個(gè)形式系統(tǒng)，只要包括了簡(jiǎn)單的初等數(shù)論描述，而且是自洽的，它必定包含某些系統(tǒng)內(nèi)所允許的方法既不能證明真也不能證偽的命題。

不完備性定理一共包含兩條：

第一定理：任意一個(gè)包含一階謂詞邏輯與初等數(shù)論（皮亞諾算術(shù)公理）的形式系統(tǒng)，都存在一個(gè)命題，它在這個(gè)系統(tǒng)中既不能被證明為真，也不能被證明為否。

第二定理：任何邏輯自洽的形式系統(tǒng)，只要蘊(yùn)涵皮亞諾算術(shù)公理，它就不能用于證明其本身的自洽性（無(wú)矛盾性）。

1935 年，阿隆佐·丘齊（Alonzo Church）通過(guò)證明 Hilbert & Ackermann 著名的 Entscheidungsproblem（判定問(wèn)題）沒(méi)有一個(gè)通用解決方案，推導(dǎo)出哥德?tīng)柦Y(jié)果的推論/擴(kuò)展。

丘齊使用了 Untyped Lambda Calculus 的通用編碼語(yǔ)言，這門語(yǔ)言構(gòu)成了極具影響力的編程語(yǔ)言 LISP 的基礎(chǔ)。

1936年，阿蘭·圖靈（Alan Turing）推出了另一個(gè)通用模型，這個(gè)模型就是最著名的「圖靈機(jī)」。

圖靈重新推導(dǎo)了上述結(jié)果。他在 1936 年的論文中同時(shí)引用了哥德?tīng)柡颓鹌妗?/span>

計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域著名的「哥德?tīng)柂?jiǎng)」就是以哥德?tīng)柕拿置?，以表彰那些「?duì)計(jì)算機(jī)領(lǐng)域具有長(zhǎng)久和重大的技術(shù)貢獻(xiàn)」。

有趣的是，哥德?tīng)柋救藦奈传@得過(guò)一個(gè)獎(jiǎng)項(xiàng)，且不提他奠定了現(xiàn)代理論計(jì)算機(jī)科學(xué)領(lǐng)域的基礎(chǔ)，而且哥德?tīng)栠€在他寫給約翰·馮·諾依曼的著名信件中（1956 年）確定了最著名的開(kāi)放問(wèn)題「P= NP？」。

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哥德?tīng)枴煌陚涞囊簧?/p>

哥德?tīng)柹诮菘说牟紶栔Z，早年在維也納大學(xué)攻讀物理、數(shù)學(xué)，并參加哲學(xué)小組活動(dòng)。

?哥德?tīng)枺ㄗ蠖?br>

網(wǎng)上曾曝光了，哥德?tīng)柕淖钤缥淖钟涗浭撬男W(xué)數(shù)學(xué)練習(xí)本，大約時(shí)間是 1912 年，那時(shí)的他才 6 歲。

8 歲時(shí)，哥德?tīng)柣忌狭藝?yán)重的風(fēng)濕性關(guān)節(jié)炎。

中學(xué)時(shí)期，哥德?tīng)栐跀?shù)學(xué)和幾何方面的才能初顯，16 歲就開(kāi)始閱讀康德的著作。

他認(rèn)為康德對(duì)他的智力發(fā)展具有塑造作用。這一時(shí)期，由于富裕和很高的社會(huì)地位，哥德?tīng)栆患也](méi)有受到一戰(zhàn)戰(zhàn)后重建的太大干擾，這也為哥德?tīng)柕牟粩嗲髮W(xué)打好了物質(zhì)基礎(chǔ)。

哥德?tīng)栐?930年獲博士學(xué)位。其博士論文證明了「狹謂詞演算的有效公式皆可證」，之后在維也納大學(xué)工作。

1938 年到美國(guó)普林斯頓高等研究院任職，1948 年加入美國(guó)籍。1953 年成為該所教授。哥德?tīng)柊l(fā)展了馮·諾伊曼和伯奈斯等人的工作，其主要貢獻(xiàn)在邏輯學(xué)和數(shù)學(xué)基礎(chǔ)方面。

50 年代后，哥德?tīng)柕纳眢w健康問(wèn)題和精神問(wèn)題越發(fā)嚴(yán)重。哥德?tīng)柾砟瓴幌嘈艅e人做的飯菜，但太太阿黛爾也病倒了，沒(méi)法照顧他。

1951年在授予哥德?tīng)枑?ài)因斯坦勛章時(shí)，馮·諾依曼評(píng)價(jià)道，「哥德?tīng)栐诂F(xiàn)代邏輯中的成就是非凡的、不朽的——他的不朽甚至超過(guò)了紀(jì)念碑，他是一個(gè)里程碑，是永存的紀(jì)念碑?！?/span>

參考資料：

http://mathcubic.org/article/article/index/id/530/cid/3.html