【數(shù)學(xué)基礎(chǔ)】正態(tài)分布為什么如此常見？

• 1 生活中的正態(tài)分布

• 2 名字由來

• 3 ?剖析細(xì)節(jié)

• 4 有偏分布

每個人都相信它（正態(tài)分布）：實(shí)驗工作者認(rèn)為它是一個數(shù)學(xué)定理，數(shù)學(xué)研究者認(rèn)為它是一個經(jīng)驗公式。----加布里埃爾·李普曼

本文主要是為了之后講解最小二乘法、嶺回歸等優(yōu)化方法做個鋪墊。

1 生活中的正態(tài)分布

生活中女性的身高，

假設(shè)你有200個相親對象，然后你老媽搜集了他們所有人的身高信息，然后以5cm為單位，來數(shù)一數(shù)每5cm各有多少人。接著用身高為橫軸，人數(shù)為縱軸，畫了下面的圖：

這種數(shù)據(jù)分布就是正態(tài)分布，正態(tài)分布像是一個小山，兩頭低，中間高，左右對稱，大部分?jǐn)?shù)據(jù)集中在平均值，小部分分布在兩端

實(shí)際上人的分高確實(shí)是符合正態(tài)分布的。2017年我國18歲及以上成年男性的平均身高是167.1cm，所以167.1的身高就是中國普遍男性身高的數(shù)值，如果是150cm或者是190cm都是人數(shù)比較少的，處于分布兩端的人群。

神奇的地方在于，不管是人的身高，手臂長度，肺活量，還是他們的考試成績，都符合正態(tài)分布。

這是為什么呢？

2 名字由來

正太正態(tài)分布為什么不叫“正點(diǎn)”呢？

這個要從這個東西說起，下面這個東西

這個東西叫做高爾頓釘板，你猜猜這是誰發(fā)明的？沒錯，就是維多利亞時期的學(xué)者Francis Galton（高爾頓）。他做了這個釘板之后，發(fā)現(xiàn)這種形狀適用于很多數(shù)據(jù)，所以他將其命名為“正態(tài)分布”（The Normal Distribution）.

正態(tài)分布的英文“normal”，表示常見的，典型的 ， 用來表示這種分布能代表多種多樣的數(shù)據(jù)類型。

3 ?剖析細(xì)節(jié)

高爾頓釘板中，每一個小珠子下滾的時候，撞到柱子就會隨機(jī)的向左走或者向右走。然后一個小珠子一路滾下來會選擇多次方向，最終的分布就會接近正態(tài)分布。

關(guān)鍵點(diǎn)在于，一個事情經(jīng)過多個隨機(jī)的因素的影響，結(jié)果似乎就是正態(tài)分布 。

女性身高可能會受父母身高的影響、飲食習(xí)慣的影響、是否喜好運(yùn)動的影響 等等，這些影響類比成高爾頓釘板中的柱子。

此外，還要注意一點(diǎn)就是高爾頓釘板 中，所有珠子的初始狀態(tài)一致。

4 有偏分布

現(xiàn)實(shí)中，也有很多有偏分布，比如在醫(yī)學(xué)中的檢測。有一種說法是因為在細(xì)胞中，細(xì)胞分類是乘法而非加法。所以用log方法來將乘法變成加法，所以log方法也可以把有偏數(shù)據(jù)變成正態(tài)分布。

對橫坐標(biāo)取log：

【個人感想】人生也是如此，左邊是貧窮，右邊是富有。人生面臨無數(shù)的隨機(jī)選擇，大部分人落在了中間位置，成為了一般人。少數(shù)運(yùn)氣不好的和運(yùn)氣好的人變成了特別窮的人和特別富有的人，但是大部分的我們變成了普通人。我們之所以努力，就是希望在每一次選擇的時候，可以做出更好的選擇，讓我們的未來更好。共勉！