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數(shù)學(xué)算法俱樂部

日期?：?2021年01月15日?? ? ??

正文共?：5996字

來源?：?知更社區(qū)

在物理學(xué)中，有一類特殊的實驗：它們不需要購置昂貴的儀器，不需要大量的人力物力，需要的只是有邏輯的大腦；而這種實驗卻可以挑戰(zhàn)前人的結(jié)論，建立新的理論，甚至引發(fā)人們對世界認(rèn)識的重新思考。這種實驗就是傳說中的思想實驗。

歷史上的許多偉大物理學(xué)家，都曾設(shè)計過發(fā)人深思的思想實驗，伽利略、牛頓、愛因斯坦便是其中的代表，這些思想實驗不僅對物理學(xué)的發(fā)展有著不可磨滅的作用，更是顛覆了人們對世界對宇宙的認(rèn)識。這篇文章將從易到難地介紹一下物理學(xué)歷史上的幾個著名思想實驗。

慣性原理

自從亞里士多德時代以來，人們一直以為力是運動的原因，沒有力的作用物體的運動都會靜止。直到伽利略提出了下面這一個家喻戶曉的思想實驗，人們才知道了慣性原理——一個不受任何外力(或者合外力為0)的物體將保持靜止或勻速直線運動。

設(shè)想一個一個豎直放置的V字形光滑導(dǎo)軌，一個小球可以在上面無摩擦的滾動。讓小球從左端往下滾動，小球?qū)L到右邊的同樣高度。如果降低右側(cè)導(dǎo)軌的斜率，小球仍然將滾動到同樣高度，此時小球在水平方向上將滾得更遠(yuǎn)。斜率越小，則小球為了滾到相同高度就必須滾得越遠(yuǎn)。此時再設(shè)想右側(cè)導(dǎo)軌斜率不斷降低以至于降為水平，則根據(jù)前面的經(jīng)驗，如果無摩擦力阻礙，小球?qū)恢睗L動下去，保持勻速直線運動。

在任何實際的實驗當(dāng)中，因為摩擦力總是無法忽略，所以任何真實的實驗都無法嚴(yán)格地證明慣性原理，這也正是古人沒有得出慣性原理的原因。然而思想實驗就可以做到，僅僅通過日常經(jīng)驗的延伸就可以讓任何一個理性的人相信慣性原理的正確性，這一最簡單的思想實驗足以體現(xiàn)出思想實驗的鋒芒！

兩個小球同時落地

仍是受亞里士多德的影響，伽利略之前的人們以為越重的物體下落越快，而越輕的物體下落越慢。伽利略在比薩斜塔上的著名實驗人盡皆知，可是很多人不知道的是，其實在這之前伽利略已經(jīng)通過一個思想實驗證明了兩個小球必須同時落地：

如果亞里士多德的論斷是對的話，那么不妨設(shè)想把一個重球和一個輕球綁在一起下落。由于重的落得快而輕的落得慢，輕球會拖拽住重球給它一個阻力讓它減速，因此倆球的下落速度應(yīng)該會介于重球和輕球下落速度之間。然而，如果把兩個球看成一個整體，則總重量大于重球，它應(yīng)當(dāng)下落得比重球單獨下落時更快的。于是這兩個推論之間自相矛盾，亞里士多德的論斷錯誤，兩個小球必須同時落地。

有了上述思想實驗，實際上兩個小球同時落地就已經(jīng)不僅是一個物理上成立的定律了，而是在邏輯上就必須如此。在這個例子中，思想實驗起到了真實實驗無法達(dá)到的作用：即便在我們高中所學(xué)的牛頓引力理論不適用的情形，兩個小球同時落地依然是成立的！后面我會講到廣義相對論中的等效原理，這個思想實驗在邏輯上的必然成立是愛因斯坦總結(jié)出等效原理的關(guān)鍵因素。

牛頓的大炮

如圖，一門架在高山上的大炮以很高的速度向外水平地發(fā)射炮彈，炮彈速度越快，就會落到越遠(yuǎn)的地方。一旦速度足夠快，則炮彈就永遠(yuǎn)也不會落地，而是會繞著地球作周期性的運動。

牛頓的這一簡單的思想實驗，第一次讓人們認(rèn)識到，原來月球不會掉到地上來（也不會飛走）的原因，正是導(dǎo)致蘋果落地的引力！牛頓的引力理論促成了人們認(rèn)識上的一個飛躍：天上的東西并不"神圣"，他們遵循的規(guī)律和地上的普通物體完全一致。

水桶實驗

用長繩吊一水桶，讓它旋轉(zhuǎn)至繩扭緊，然后將水注入，水與桶暫時都處于靜止中，這時顯然液面水平。再突然使桶反方向旋轉(zhuǎn)，剛開始的時候水面并未跟隨著運動，此時水面仍然水平。但是后來，桶逐漸把運動傳遞給水，使水也開始旋轉(zhuǎn)，就可以看到水漸漸離開其中心而沿桶壁上升形成凹面。運動越快，水升的越高。

倘若此時突然讓桶靜止，水由于慣性仍將旋轉(zhuǎn)，此時的液面仍為凹面。牛頓認(rèn)為，水面的下凹，不是由水對周圍的相對運動造成的，而是由水的絕對的、真正的圓周運動造成的，因此由水面的下凹就可以判斷絕對運動的存在。

這一思想實驗，是牛頓為了論證絕對空間的存在而設(shè)計出來的。然而，眾所周知，牛頓的絕對時空觀其實是錯誤的，也就是說這一思想實驗其實是個失敗的例子。這一謬誤，在100多年之后才被哲學(xué)家兼物理學(xué)家馬赫所指出。馬赫認(rèn)為，水面的凹陷，并不是由于水相對于"絕對空間"的運動，而是由于相對宇宙間的所有其他物體的運動，這些其他所有物體通過引力對水施加了作用。其中起決定性作用的物體則是遙遠(yuǎn)的天體，正是遙遠(yuǎn)的天體的"參考系拖拽"作用使得相對于它們旋轉(zhuǎn)的液面發(fā)生了凹陷。

馬赫認(rèn)為并不存在絕對空間，所有參考系等價。倘若能夠使水面保持靜止，而讓所有遙遠(yuǎn)天體一同旋轉(zhuǎn)，按照馬赫的觀點，靜止水面將產(chǎn)生凹液面。我們顯然無法做這樣的實驗，但是如果用幾公里厚的水桶做上面的水桶實驗，則人們便不能肯定牛頓對液面的平凹的判斷了。后來，馬赫的觀點對愛因斯坦發(fā)明廣義相對論產(chǎn)生了決定性的影響，馬赫原理本身也隨著廣義相對論的逐漸證實而得到了廣泛認(rèn)可。

奧伯斯佯謬

在20世紀(jì)的宇宙大爆炸理論提出之前，人們對于宇宙的認(rèn)識是樸素的：宇宙無限大、存在的時間無限長、宇宙處于穩(wěn)恒態(tài)、宇宙中的星體分布在大尺度上均勻。然而那時的人們不知道的是，從這四條基本假設(shè)卻可以邏輯地推出與事實明顯相悖的結(jié)論——奧伯斯佯謬：

如果宇宙是穩(wěn)恒，無限大，時空平直的，其中均勻分布著同樣的發(fā)光體，由于發(fā)光體的照度與距離的平方成反比，而一定距離上球殼內(nèi)的發(fā)光體數(shù)目和距離的平方成正比，這樣就使得對全部發(fā)光體的照度的積分不收斂，黑夜的天空應(yīng)當(dāng)是無限亮的。

然而每天的黑夜總是如期降臨，天空并不是一直無限亮著。這就說明以前我們對宇宙的認(rèn)識存在問題。奧伯斯本人給出了一個解釋，他認(rèn)為宇宙中存在的塵埃、不發(fā)光的星體吸收了一部分光線。然而這個解釋是錯誤的，因為根據(jù)熱力學(xué)第一定律，能量必定守恒，故此中間的阻隔物會變熱而開始放出輻射，結(jié)果導(dǎo)致天上有均勻的輻射，溫度應(yīng)當(dāng)?shù)扔诎l(fā)光體表面的溫度，也即天空和星體一樣亮，然而事實上沒有觀察到這種現(xiàn)象。

直到宇宙大爆炸理論的提出，奧伯斯佯謬才迎刃而解。根據(jù)大爆炸理論，宇宙誕生于150億年前的一個大爆炸，到現(xiàn)在宇宙仍處在膨脹的過程當(dāng)中，因此，宇宙的存在時間便是有限的，并且并非處在穩(wěn)恒態(tài)。四條基本假設(shè)的兩條已經(jīng)不再成立，因此奧伯斯佯謬也自然被瓦解。

拉普拉斯妖

牛頓之后的時代，經(jīng)典力學(xué)在描述世界上產(chǎn)生了巨大的成功，人們逐漸的相信世界是可以用物理定律機(jī)械地描述的。比較極端地，拉普拉斯就相信機(jī)械決定論，認(rèn)為世間萬物（包括人類、社會）都逃不過確定的物理定律的掌控。

我們可以把宇宙現(xiàn)在的狀態(tài)視為其過去果以及未來的因。如果一個智能知道某一刻所有自然運動的力和所有自然構(gòu)成的物件的位置，假如他也能夠?qū)@些數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，那宇宙里最大的物體到最小的粒子的運動都會包含在一條簡單公式中。對于這智者來說沒有事物會是含糊的，而未來只會像過去般出現(xiàn)在他面前。"——拉普拉斯

拉普拉斯提到的"智能"，便是后人所稱的"拉普拉斯妖"。倘若拉普拉斯妖是存在的，那這個世界也太可怕了：你我的行為全部都可以通過計算得出，我們的命運也全都被物理定律+初始條件嚴(yán)格的定出了，沒有什么會是計算之外的，那生活還有什么樂趣可言！幸運的是，混沌理論和量子力學(xué)的發(fā)展，讓拉普拉斯妖永遠(yuǎn)也不可能存在了。

量子力學(xué)告訴我們，物理量都是有不確定性的，不可能無誤差地精確測量。而混沌理論則表明，只要涉及3個及更多的物體，初始條件的極其微小的差別將導(dǎo)致最后結(jié)果的千差萬別。從另一個角度來說，拉普拉斯妖是基于經(jīng)典力學(xué)可逆過程的，然而真實的系統(tǒng)確實滿足熱力學(xué)第二定律（熵增原理）的不可逆過程。因此世界仍是充滿不確定性充滿了驚喜的，人也可以憑借自己的主觀努力去改變自己的命運。

麥克斯韋妖

中學(xué)時我們都曾學(xué)過熱力學(xué)第二定律（熵增原理）：孤立系統(tǒng)的不可逆過程熵總是在增加。"落葉永離，覆水難收；欲死灰之復(fù)燃，艱乎其力；愿破鏡之重圓，冀也無端；人生易老，返老還童只是幻想；生米煮成熟飯，無可挽回..."這些都是熵增原理在實際生活中的反應(yīng)，它現(xiàn)在也已經(jīng)成為了物理學(xué)中最牢不可破的原理之一。然而當(dāng)年麥克斯韋卻曾提出過一個對熵增原理的詰難，非常令人困惑。

一個絕熱容器被分成相等的兩格，中間是由"麥克斯韋妖"控制的一扇小"門"，容器中的空氣分子作無規(guī)則熱運動時會向門上撞擊，"門"可以選擇性的將速度較快的分子放入一格，而較慢的分子放入另一格，這樣，其中的一格就會比另外一格溫度高，系統(tǒng)的熵降低了。可以利用此溫差，驅(qū)動熱機(jī)做功，而這是與熱力學(xué)第二定律相矛盾的。

對于這個詰難的反駁，可并不是一件輕松的事情。有人可能以為麥克斯韋妖在打開、關(guān)閉門的時候需要消耗能量，這里產(chǎn)生的熵增會抵消掉系統(tǒng)熵的降低。然而開關(guān)門消耗的能量卻不是本質(zhì)的，它可以任意降低到足夠小。對于麥克斯韋妖的真正解釋，直到20世紀(jì)才被揭開。

關(guān)于熵的問題向來比較難懂，因此我直接引用趙凱華先生在《新概念力學(xué)·熱學(xué)》中的話："麥克斯韋妖有獲得和存儲分子運動信息的能力，它靠信息來干預(yù)系統(tǒng)，使它逆著自然界的方向進(jìn)行。按現(xiàn)代的觀點，信息就是負(fù)熵，麥克斯韋妖將負(fù)熵輸入給系統(tǒng)，降低了它的熵。

那么，麥克斯韋妖怎樣才能獲得所需的信息呢？它必須有一個溫度與環(huán)境不同的微型光源去照亮分子，這就需要耗費一定的能量，產(chǎn)生額外的熵。麥克斯韋妖正是以此為代價才獲得了所需的信息（即負(fù)熵）的，這額外熵的產(chǎn)生補償了系統(tǒng)里熵的減少?？偲饋碚f，即使真有麥克斯韋妖存在，它的工作方式也不違反熱力學(xué)第二定律。"

雙生子佯謬

愛因斯坦的狹義相對論建立了全新的時空觀，對于當(dāng)時的人們來說難以接受。因此自從提出以來，狹義相對論就受到了各種詰難，其中最著名的當(dāng)屬雙生子佯謬。但是無論如何詰難，狹義相對論都可以很完美的給出解釋，所有的佯謬都被一一化解，研究這些佯謬可以更加深刻的理解狹義相對論的時空觀。

在狹義相對論中，運動的參考系時間會變緩，即所謂的動鐘變慢效應(yīng)?，F(xiàn)在設(shè)想這樣一個情景：有一對雙胞胎A和B，A留在地球上，B乘坐接近光速的飛船向宇宙深處飛去。飛船在飛出一段距離之后掉頭往回飛，最終降落回地球，兩兄弟見面?，F(xiàn)在問題來了：A認(rèn)為B在運動的時候時間變慢，B應(yīng)當(dāng)比A年輕；而同樣地，在B看來，是A一直在運動，是A的時間變慢了，A應(yīng)當(dāng)比B年輕才是。那么兄弟倆究竟誰更年輕呢？狹義相對論是否自相矛盾了？

事實上，理解雙生子佯謬的關(guān)鍵，是要清楚A和B的地位并不對等：兩人中只有B經(jīng)歷了加速過程，B在飛船掉頭的時候不可避免的要經(jīng)歷一次加速。因此，只有A才是處在狹義相對論成立的慣性系當(dāng)中，只有A的看法是正確的：當(dāng)兄弟倆見面時，B比A更年輕。類似的效應(yīng)已經(jīng)被精密實驗所證實了。

其實只要用狹義相對論做詳盡的計算，也能夠從B的角度理解為什么B比A更年輕，但是這不得不做繁瑣的計算，這里就不給出了。至此我們可以放心地說，狹義相對論在這個問題上是沒有包含矛盾的。但是出去旅游一圈的雙胞胎兄弟居然回來就比較年輕了，這一點可是顛覆了大多數(shù)人的世界觀的……可是這是事實，不信也得信呀！

等效原理

在中學(xué)里大家都學(xué)了質(zhì)量的概念，然而事實上是有兩種不同的質(zhì)量的：慣性質(zhì)量和引力質(zhì)量。慣性質(zhì)量是F=ma中的m，它是慣性大小的量度；引力質(zhì)量是F=GMm/r^2中的m，它是引力大小的量度。之所以中學(xué)里并不對這二者進(jìn)行區(qū)分，是因為這二者精確地相等。這一事實并不是理所當(dāng)然的，而愛因斯坦正是通過這一神奇的事實，歸納出了廣義相對論的一個基本假設(shè)：等效原理。

設(shè)想一個處于自由空間（沒有引力作用）中的宇宙飛船，它以a=9.8m/s^2的加速度做加速直線運動。倘若里面的人扔出一個小球，小球由于慣性，將以9.8m/s^2的加速度落地；而這正如一個處于引力場中的慣性系所表現(xiàn)的那樣。非慣性系中的慣性力正比于慣性質(zhì)量，而引力則正比于引力質(zhì)量。慣性質(zhì)量與引力質(zhì)量相等這一事實，導(dǎo)致了慣性力與引力這兩種效應(yīng)無法區(qū)分，這就是弱等效原理。愛因斯坦進(jìn)一步推廣，對于一切物理過程（不僅僅是力學(xué)過程），自由空間中的加速運動參考系，與引力作用下的慣性系，這二者在原則上完全不可區(qū)分，這就是強(qiáng)等效原理。

"引力場中一切物體都具有同一的加速度，這條定律也可表述為慣性質(zhì)量同引力質(zhì)量相等，它當(dāng)時就使我認(rèn)識到它的全部重要性。我為它的存在感到極為驚奇，并且猜想其中必有一把可以更深入了解慣性和引力的鑰匙。"——愛因斯坦。

薛定諤的貓

薛定諤的貓恐怕是物理界最著名的一只虛構(gòu)小動物了，它是量子力學(xué)的創(chuàng)始人之一——薛定諤為了說明量子力學(xué)并不完備而提出的。

把一只貓放進(jìn)一個封閉的盒子里，然后把這個盒子連接到一個包含一個放射性原子核和一個裝有有毒氣體的容器的實驗裝置。設(shè)想這個放射性原子核在一個小時內(nèi)有50％的可能性發(fā)生衰變。如果發(fā)生衰變，它將會發(fā)射出一個粒子，而發(fā)射出的這個粒子將會觸發(fā)這個實驗裝置，打開裝有毒氣的容器，從而殺死這只貓。

根據(jù)量子力學(xué)，未進(jìn)行觀察時，這個原子核處于已衰變和未衰變的疊加態(tài)，貓則處在死和活的疊加態(tài)，即"既死又活"（而不是很多人誤解的"半死不活"、"要么死要么活"）。但是，如果在一個小時后把盒子打開，實驗者只能看到"衰變的原子核和死貓"或者"未衰變的原子核和活貓"兩種情況。

現(xiàn)在的問題是：這個系統(tǒng)從什么時候開始不再處于兩種不同狀態(tài)的疊加態(tài)而成為其中的一種？在打開盒子觀察以前，這只貓是死了還是活著抑或既死又活？這個實驗的原意是想說明，如果不能對波函數(shù)塌縮以及對這只貓所處的狀態(tài)給出一個合理解釋的話，量子力學(xué)本身是不完備的。

薛定諤的貓是物理學(xué)家的一個噩夢，它把微觀的量子力學(xué)效應(yīng)放大到了宏觀的日常生活，使得一切都變得十分詭異。對于薛定諤的貓的解釋，涉及到了多種對量子力學(xué)的深刻哲學(xué)理解，本文就不詳述了，如果你想搞清楚這只神奇的貓的命運，那么請看Ve先生之前的文章的好了。

思想實驗是物理學(xué)史上偉大的智慧結(jié)晶，回顧一番足以看出其中閃耀的智慧光芒。望這些思想實驗?zāi)軌蚪o大家?guī)韺κ澜缯J(rèn)識的啟迪吧。

—?THE END —

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這10個著名的思想實驗，竟然是物理學(xué)家完成的

這10個著名的思想實驗，竟然是物理學(xué)家完成的