實信號希爾伯特變換的FPGA實現(xiàn)

0 前言

希爾伯特變換是以德國著名數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特(David Hilbert，1862年1月23日～1943年2月14日)來命名的。在數(shù)學(xué)和信號處理中，希爾伯特變換(Hilbert transform)是一個對函數(shù)u(t)產(chǎn)生定義域相同的函數(shù)H(u)(t)的線性算子。

希爾伯特變換在信號處理中很重要，能夠?qū)С鲂盘杣(t)的解析表示。這就意味著將實信號u(t)拓展到復(fù)平面。希爾伯特變換最初只對周期函數(shù)(也就是圓上的函數(shù))有定義，在這種情況下它就是與希爾伯特核的卷積。然而更常見的情況下，對于定義在實直線 R(上半平面的邊界)上的函數(shù)，希爾伯特變換是指用柯西核做卷積。希爾伯特變換可以與實直線上的函數(shù)的傅里葉變換相聯(lián)系起來的另一種結(jié)果[1]。

本文簡要介紹了希爾伯特變換，并基于Xilinx FPGA平臺，使用最簡單的方法實現(xiàn)了實信號的希爾伯特變換。

1 概述

一個實值信號x(t)的希爾伯特變換定義為：

可見一個實值信號x(t)的希爾伯特變換可以看作將x(t)與h(t)=1/(πt)進行卷積。顯然它不像傅里葉變換那樣從一個域到另一個域，它仍然是由時域到時域的一個變換。這里要注意的是其中的卷積積分表示的其實是該積分的柯西主值，即：

希爾伯特變換之頻率響應(yīng)由傅里葉變換給出：

其中有：

??是傅里葉變換，

i(有時寫作j)是虛數(shù)單位，

ω是角頻率，以及：

即為符號函數(shù)。

以及傅里葉變換：

可以看出：希爾伯特變換會將負(fù)頻率成分偏移+90°，而正頻率成分偏移?90°。

2 希爾伯特變換的FPGA實現(xiàn)

希爾伯特濾波器其實是幅度為1(增益為0 dB)的全通濾波器，因此可以用FIR或者IIR濾波器近似實現(xiàn)，通常工程上使用FIR進行逼近。

這部分以250 MSPS采樣率的16bit AD采集卡對10 MHz的正弦信號進行采集，并對采集后的信號進行希爾伯特變換，得到一對正交信號。

在MATLAB命令窗口鍵入“filterDesigner”打開濾波器設(shè)計工具的GUI后，左下角設(shè)置為如圖1所示：

圖1：濾波器設(shè)置

由于采樣率為250 MSPS，因此頻率幅值設(shè)置如圖2所示：

圖2：參數(shù)設(shè)置

根據(jù)奈奎斯特采樣定理，頻率向量中的數(shù)值相加應(yīng)為125，即采樣率的一半，例如圖2中為10和115。濾波器階數(shù)設(shè)置為4n+2(n為正整數(shù))，此處不妨設(shè)置為118，即n=29。量化的字長設(shè)置為22bit。

得到的希爾伯特變換的幅頻響應(yīng)曲線如圖3所示：

圖3：濾波器的幅頻響應(yīng)

由幅頻響應(yīng)曲線可知希爾伯特變換具有濾直流的特性。標(biāo)記10 MHz附近增益，可以看到該頻率點附近的希爾伯特變換的增益很小，不到1.1e-7 dB，幾乎為0。通?？梢酝ㄟ^增加濾波器階數(shù)或者增大量化字長來進一步減少增益起伏，使其更加接近理想值，此處不做贅述。

完成設(shè)計后導(dǎo)出.coe文件，并搭建vivado工程，具體的步驟可以參考傻瓜式教程：FPGA上實現(xiàn)MATLAB filterDesigner設(shè)計的FIR低通濾波器。

基于vivado的block design工程及相關(guān)IP核設(shè)置如圖4：

圖4：vivado工程及IP核設(shè)置

通過ILA抓取的正交信號對如圖5：

圖5：正交信號對

導(dǎo)出的正交信號對數(shù)據(jù)形成的的李薩茹圖如圖6所示：

圖6：正交信號的李薩茹圖

李薩茹圖是一個圓心在原點幾乎完美的正圓，這表明兩路信號完美正交。分別對兩通道的信號做FFT，可得到I路信號幅值為31791.2，Q路信號幅值為31790.7，兩者幅值幾乎相同，相對偏差小于0.008‰，因此兩路信號幅值不平衡度幾乎可以忽略不計。

3 結(jié)論

本文借助MATLAB filterDesigner工具，完成了基于FIR濾波器的希爾伯特變換近似，并在FPGA上實現(xiàn)了對實信號的希爾伯特變換。

4 參考鏈接

[1]https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_transform

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