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希爾伯特變換(hilbert transform) 一個(gè)連續(xù)時(shí)間信號(hào)s(t)的希爾伯特變換等于該信號(hào)通過(guò)具有沖激響應(yīng)h(t)=1/πt的線性系統(tǒng)以后的輸出響應(yīng)sh(t)。

好的，這是Hilbert變換的定義，我們這里討論它的一個(gè)具體用途，提取信號(hào)特征值，提取信號(hào)特征值有什么用呢？

先來(lái)一段特征值的定義：

設(shè) A 是n階方陣，如果存在數(shù)m和非零n維列向量 x，使得 Ax=mx 成立，則稱 m 是A的一個(gè)特征值或本征值。

所以信號(hào)特征值可以用來(lái)代替一段信號(hào)對(duì)系統(tǒng)產(chǎn)生的影響，或者說(shuō)取代一段信號(hào)并填補(bǔ)它功能的空缺，我們按照這個(gè)思想，在外界或內(nèi)部改變信號(hào)的某些條件之后，可以用特征值隨外界或內(nèi)部因素的變化圖像來(lái)反映干擾因素對(duì)信號(hào)的影響，或者反映信號(hào)本身對(duì)外界干擾的抵抗力及自身的穩(wěn)定性、魯棒性等性質(zhì)。

那么具體怎么用呢？設(shè)有一個(gè)實(shí)值函數(shù)s(t)，其希爾伯特反變換記作\hat{s}(t) ，則有：

希爾伯特變換：

希爾伯特反變換：

上面說(shuō)的就是初始信號(hào)s(t)，我們首先把它做一次希爾伯特變換，然后提取特征值。

都有什么特征值呢？

那我們得先補(bǔ)充一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，包絡(luò)：隨機(jī)過(guò)程的振幅隨著時(shí)間變化的曲線。也就是信號(hào)的振幅與時(shí)間（A-t）間的函數(shù)關(guān)系。

那么根據(jù)不同信號(hào)包絡(luò)上高階統(tǒng)計(jì)量特征不同，可分為R值特征和J值特征。

信號(hào)包絡(luò)R值特征：R值是信號(hào)包絡(luò)的方差與包絡(luò)均值的平方的比值：

信號(hào)包絡(luò)J值特征：J值是信號(hào)包洛的四階矩和二階矩平方之間的差值與包絡(luò)均值的平方的比值：

*雙譜特征：利用積分的方法將二維雙譜積分函數(shù)轉(zhuǎn)換為一維雙譜積分函數(shù)，從而實(shí)現(xiàn)計(jì)算方法簡(jiǎn)單的積分雙譜：

根據(jù)輻射源信號(hào)指紋識(shí)別技術(shù)http://xueshu.baidu.com/usercenter/paper/show?paperid=f2c7b987bd3af320909da0e1c09a723b&site=xueshu_se，這篇論文，三種特征值能夠很好的表現(xiàn)信號(hào)性能。

好了，基礎(chǔ)的知識(shí)就是這些，下面我們寫代碼實(shí)現(xiàn)Hilbert變換，計(jì)算并提取三種特征值。

import?numpy?as?np?

from?math?import?pi?

import?matplotlib.pyplot?as?plt?

import?math?

from?scipy?import?fftpack?

from?sklearn?import?preprocessing?

import?neurolab?as?nl?
#碼元數(shù)?

size?=?10?

sampling_t?=?0.01?

t?=?np.arange(0,?size,?sampling_t)?

#隨機(jī)生成信號(hào)序列?

a?=?np.random.randint(0,?2,?size)??#產(chǎn)生隨機(jī)整數(shù)序列?

m?=?np.zeros(len(t),?dtype=np.float32)????#產(chǎn)生一個(gè)給定形狀和類型的用0填充的數(shù)組?

for?i?in?range(len(t)):?

????m[i]?=?a[int(math.floor(t[i]))]?

ts1?=?np.arange(0,?(np.int64(1/sampling_t)?*?size))/(10*(m+1))?

fsk?=?np.cos(np.dot(2?*?pi,?ts1)?+?pi?/?4)?

def?awgn(y,?snr):??????#snr為信噪比dB值?

????snr?=?10?**?(snr?/?10.0)?

????xpower?=?np.sum(y?**?2)?/?len(y)?

????npower?=?xpower?/?snr?

????return?np.random.randn(len(y))?*?np.sqrt(npower)?+?y?

def?feature_rj(y):????????#[feature1,?f2,?f3]?=?rj(noise_bpsk,?fs)?

????h?=?fftpack.hilbert(y)??#?hilbert變換?

????z?=?np.sqrt(y**2?+?h**2)??#?包絡(luò)?

????m2?=?np.mean(z**2)????#?包絡(luò)的二階矩?

????m4?=?np.mean(z**4)????#?包絡(luò)的四階矩?

????r?=?abs((m4-m2**2)/m2**2)?

????Ps?=?np.mean(y**2)/2?

????j?=?abs((m4-2*m2**2)/(4*Ps**2))?

????return?(r,j)?

def?feature_Bispectrum(y):?

????ly?=?size??#?行數(shù)10?

????nrecs?=?np.int64(1?/?sampling_t)??#?列數(shù)100?

????nlag?=?20?

????nsamp?=?nrecs??#?每段樣本數(shù)100?

????nrecord?=?size?

????nfft?=?128?

????Bspec?=?np.zeros((nfft,?nfft),?dtype=np.float32)?

????y?=?y.reshape(ly,?nrecs)?

????c3?=?np.zeros((nlag?+?1,?nlag?+?1),?dtype=np.float32)?

????ind?=?np.arange(nsamp)?

????for?k?in?range(nrecord):?

????????x?=?y[k][ind]?

????????x?=?x?-?np.mean(x)?

????????for?j?in?range(nlag?+?1):?

????????????z?=?np.multiply(x[np.arange(nsamp?-?j)],?x[np.arange(j,?nsamp)])?

????????????for?i?in?range(j,?nlag?+?1):?

????????????????sum?=?np.mat(z[np.arange(nsamp?-?i)])?*?np.mat(x[np.arange(i,?nsamp)]).T?

????????????????sum?=?sum?/?nsamp?

????????????????c3[i][j]?=?c3[i][j]?+?sum??#?i,j順序?

????c3?=?c3?/?nrecord?

????c3?=?c3?+?np.mat(np.tril(c3,?-1)).T??#?取對(duì)角線以下三角,c3為矩陣?

????c31?=?c3[1:,?1:]?

????c32?=?np.mat(np.zeros((nlag,?nlag),?dtype=np.float32))?

????c33?=?np.mat(np.zeros((nlag,?nlag),?dtype=np.float32))??#?不可以直接3者相等?

????c34?=?np.mat(np.zeros((nlag,?nlag),?dtype=np.float32))?

????for?i?in?range(nlag):?

????????x?=?c31[i:,?i]?

????????c32[nlag?-?1?-?i,?0:nlag?-?i]?=?x.T?

????????c34[0:nlag?-?i,?nlag?-?1?-?i]?=?x?

????????if?i?1):?

????????????x?=?np.flipud(x[1:,?0])??#?上下翻轉(zhuǎn),翻轉(zhuǎn)后依然為矩陣?

????????????c33?=?c33?+?np.diag(np.array(x)[:,?0],?i?+?1)?+?np.diag(np.array(x)[:,?0],?-(i?+?1))?

????c33?=?c33?+?np.diag(np.array(c3)[0,?:0:-1])?

????cmat?=?np.vstack((np.hstack((c33,?c32,?np.zeros((nlag,?1),?dtype=np.float32))),?

??????????????????????np.hstack((np.vstack((c34,?np.zeros((1,?nlag),?dtype=np.float32))),?c3))))??????????#41*41?

????Bspec?=?fftpack.fft2(cmat,?[nfft,?nfft])?????

????Bspec?=?np.fft.fftshift(Bspec)????????????????#128*128?

????waxis?=?np.arange(-nfft?/?2,?nfft?/?2)?/?nfft?

????X,?Y?=?np.meshgrid(waxis,?waxis)?

????plt.contourf(X,?Y,?abs(Bspec),alpha=0,cmap=plt.cm.hot)?

????plt.contour(X,?Y,?abs(Bspec))?

????plt.show()?

????return?Bspec?

def?features(s):?

#????for?mc?in?range(2):?

????????snr?=?np.random.uniform(0,?20)??????#從一個(gè)均勻分布集合中隨機(jī)采樣，左閉右開(kāi)--[low,high)?

????????s?=?awgn(s,snr)????????????#在原始信號(hào)的基礎(chǔ)上增加SNR信噪比的噪音?

????????rj?=?np.array(feature_rj(s))??????????????#計(jì)算R,J特征?

????????z?=?feature_Bispectrum(s)??????????????????#計(jì)算雙譜特征，并畫圖像?

????????xx?=?np.int64(np.sqrt(np.size(z))/2)?

????????z?=?np.array(z[:xx,xx:])?

????????z?=?np.tril(z).real??????????????#取復(fù)數(shù)z的實(shí)部?

????????bis?=?np.zeros((1,?xx),dtype=np.float32)????#零組?

????????for?i?in?range(xx):?

????????????for?j?in?range(xx-i):?

????????????????bis[0][i]?=?bis[0][i]+z[xx-1-j][i+j]?

????????m?=?bis[0].reshape(1,xx)?

????????normalized?=?preprocessing.normalize(m)[0,:]????#樣本各個(gè)特征值除以各個(gè)特征值的平方之和?

????????features?=?np.hstack((rj,normalized))??????????#合并數(shù)組r,j和normalized?

????????return?features?

print(features(fsk))?

好的，特征值已經(jīng)有了，那么下面我們?cè)趺词褂眠@些特征值來(lái)描述初始信號(hào)的變化趨勢(shì)呢？

畫出特征值曲線是個(gè)不錯(cuò)的辦法，趨勢(shì)一目了然，為了說(shuō)明信號(hào)受到影響，我們分別從信號(hào)的振幅A，角頻率\omega ，初始頻率S的改變來(lái)說(shuō)明問(wèn)題。初始信號(hào)圖像如下：

為了統(tǒng)一起見(jiàn)，我們分別令A，\omega ，S從0到2\Pi 均勻變化，對(duì)于振幅A的變化，補(bǔ)充代碼計(jì)算R，J特征值，畫出雙譜圖：

R?=?[]

J?=?[]?

ts1?=?np.arange(0,?(np.int64(1/sampling_t)?*?size))/(10*(m+1))?

W?=?[]?

Z?=?[]?

for?i?in?range(0,40,1):?

????W.append(i?/?(2?*?pi))?

for?a1?in?W:?

????global?r,j?

????fsk?=?a1?*?np.cos(np.dot(2?*?pi,?ts1)?+?pi?/?4)?

????features(fsk)?

????R.append(r)?

????J.append(j)?

plt.plot(W,?R,?color='green',?label='1')?

plt.legend()?#?顯示圖例?

plt.xlabel('A[0-2?*?pi]')?

plt.ylabel('R')?

plt.show()?

plt.plot(W,?J,?color='red',?label='2')?

plt.legend()?#?顯示圖例?

plt.xlabel('A[0-2?*?pi]')?

plt.ylabel('J')?

plt.show()?

plt.plot(W,?Z,?color='red',?label='3')?

plt.legend()?#?顯示圖例?

plt.xlabel('A[0-2?*?pi]')?

plt.ylabel('trend')?

plt.show()?

R特征值變化圖像：

J特征值變化圖像：

雙譜圖像：

對(duì)于角頻率ω的變化，補(bǔ)充代碼計(jì)算R，J特征值，畫出R、J、雙譜圖像：

R?=?[]

J?=?[]?

ts1?=?np.arange(0,?(np.int64(1/sampling_t)?*?size))/(10*(m+1))?

W?=?[]?

Z?=?[]?

for?i?in?range(0,40,1):?

????W.append(i?/?(2?*?pi))?

for?w?in?W:?

????global?r,j?

????fsk?=?np.cos(np.dot(w,?ts1)?+?pi?/?4)?

????features(fsk)?

????R.append(r)?

????J.append(j)?

plt.plot(W,?R,?color='green',?label='1')?

plt.legend()?#?顯示圖例?

plt.xlabel('w[0-2?*?pi]')?

plt.ylabel('R')?

plt.show()?

plt.plot(W,?J,?color='red',?label='2')?

plt.legend()?#?顯示圖例?

plt.xlabel('w[0-2?*?pi]')?

plt.ylabel('J')?

plt.show()?

plt.plot(W,?Z,?color='red',?label='3')?

plt.legend()?#?顯示圖例?

plt.xlabel('A[0-2?*?pi]')?

plt.ylabel('trend')?

plt.show()?

R特征值變化圖像：

J特征值變化圖像：

雙譜圖像：

對(duì)于初始頻率S的變化，補(bǔ)充代碼計(jì)算R，J特征值，畫出雙譜圖：

R?=?[]

J?=?[]?

ts1?=?np.arange(0,?(np.int64(1/sampling_t)?*?size))/(10*(m+1))?

W?=?[]?

Z?=?[]?

for?i?in?range(0,40,1):?

????W.append(i?/?(2?*?pi))?

for?s?in?W:?

????global?r,j?

????fsk?=?np.cos(np.dot(2?*?pi,?ts1)?+?s)?

????features(fsk)?

????R.append(r)?

????J.append(j)?

plt.plot(W,?R,?color='green',?label='1')?

plt.legend()?#?顯示圖例?

plt.xlabel('s[0-2?*?pi]')?

plt.ylabel('R')?

plt.show()?

plt.plot(W,?J,?color='red',?label='2')?

plt.legend()?#?顯示圖例?

plt.xlabel('s[0-2?*?pi]')?

plt.ylabel('J')?

plt.show()?

plt.plot(W,?Z,?color='red',?label='3')?

plt.legend()?#?顯示圖例?

plt.xlabel('A[0-2?*?pi]')?

plt.ylabel('trend')?

plt.show()?

R特征值變化圖像：

J特征值變化圖像：

雙譜圖像：

二維的雙譜圖像看起來(lái)不是很方便，那么對(duì)圖像進(jìn)行降維處理，像這種比較對(duì)稱的矩陣，用矩陣平均值是最適合的了，這里只需將希爾伯特變換后的包絡(luò)矩陣求下均值，改變下述代碼即可：

Bspec?=?fftpack.fft2(cmat,?[nfft,?nfft])

Bspec?=?np.fft.fftshift(Bspec)????????????????#128*128?

waxis?=?np.arange(-nfft?/?2,?nfft?/?2)?/?nfft?

X,?Y?=?np.meshgrid(waxis,?waxis)?

plt.contourf(X,?Y,?abs(Bspec))?

plt.contour(X,?Y,?abs(Bspec))?

Z.append(np.mean(abs(Bspec)))?

則雙譜特征降維后圖像如下，振幅A的雙譜特征變化情況：