機器學(xué)習(xí)基礎(chǔ)：樸素貝葉斯及經(jīng)典實例講解

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樸素貝葉斯法（Naive Bayes）是基于貝葉斯定理與特征條件獨立假設(shè)的分類方法。對于給定的訓(xùn)練數(shù)據(jù)集，首先基于特征條件獨立假設(shè)學(xué)習(xí)輸入/輸出的聯(lián)合概率分布；然后基于此模型，對給定的輸入 x ，利用貝葉斯定理求出后驗概率最大的輸出 y ，即為對應(yīng)的類別。

在夏季，某公園男性穿涼鞋的概率為 1/2 ，女性穿涼鞋的概率為 2/3 ，并且該公園中男女比例通常為 2:1 ，問題：若你在公園中隨機遇到一個穿涼鞋的人，請問他的性別為男性或女性的概率分別為多少？

我們使用以上例子來解釋一下什么是先驗概率。根據(jù)以上例子我們設(shè)定：假設(shè)某公園中一個人是男性為事件 Y=ymen ,是女性則是 Y=ywomen ；一個人穿涼鞋為事件 X=x1 ，未穿涼鞋為事件 X=x0 。而一個人的性別與是否穿涼鞋這兩個事件之間是相互獨立的。于是我們可以看到該例子中存在四個先驗概率：

由于男女生的比例是2:1，那么P(Y=ymen)自然等于2/3，P(Y=ywomen)同理。而先驗概率 P(Y=ymen)與P(Y=ywomen) 并不能直接得出，需要根據(jù)全概率公式來求解。在學(xué)習(xí)全概率公式之前，我們先了解一下條件概率。

條件概率是指在事件 Y=y 已經(jīng)發(fā)生的條件下，事件 X=x 發(fā)生的概率。條件概率可表示為：P(X=x|Y=y) 。而條件概率計算公式為：

其中 P(X=x,Y=y) 是聯(lián)合概率，也就是兩個事件共同發(fā)生的概率。而 P(Y=y)以及P(X=x) 是先驗概率。我們用例子來說明一下就是：“某公園男性穿涼鞋的概率為 1/2 ”，也就是說“是男性的前提下，穿涼鞋的概率是 1/2 ”，此概率為條件概率，即 P(X=x1|Y=ymen)=1/2 。同理“女性穿涼鞋的概率為 2/3 ” 為條件概率 P(X=x1|Y=ywomen)=1/2 。

全概率公式是指：如果事件 Y=y1,Y=y2,...,Y=yn 可構(gòu)成一個完備事件組，即它們兩兩互不相容，其和為全集。則對于事件 X=x 有：

因此對于上面的例子，我們可以根據(jù)全概率公式求得：

也就是說不考慮性別的情況下，公園中穿拖鞋的概率為 5/9 ，不穿拖鞋的概率為 4/9 。

后驗概率是指，某事件 X=x 已經(jīng)發(fā)生，那么該事件是因為事件 Y=y 的而發(fā)生的概率。也就是上例中所需要求解的“在知道一個人穿拖鞋的前提下，這個人是男性的概率或者是女性的概率是多少”。后驗概率形式化便是：

后驗概率的計算要以先驗概率為基礎(chǔ)。后驗概率可以根據(jù)通過貝葉斯公式，用先驗概率和似然函數(shù)計算出來。

貝葉斯公式如下：

說明：分母的變形是使用全概率公式，Y事件取值范圍為：{men, women}，即男生和女生；分子的變現(xiàn)是根據(jù)獨立條件概率（貝葉斯定理）：

兩邊同時除以P(B)得到，上節(jié)有證明?貝葉斯定理的通俗理解。

根據(jù)前面的約定，X=x1表示穿穿拖鞋，Y=ymen?表示男生，該公式即為，穿拖鞋情況下，是男生的概率，正式題目需要我們求的。

而樸素貝葉斯算法正是利用以上信息求解后驗概率，并依據(jù)后驗概率的值來進(jìn)行分類。使用上面的例子來進(jìn)行理解，將先驗概率和條件概率帶入得，后驗概率為：

即，在x1(一個人穿拖鞋的情況下)，是男生概率是3/5，是女生的概率為2/5，那么，對于分類情況，作為單選題的話，我們有理由將這個人歸類為男性，因為是男性的概率大些。

對于樣本集:

其中 m 表示有 m 個樣本， n 表示有 n 個特征。yi,i=1,2,..,m 表示樣本類別，取值為 {C1,C2,...,CK} 。

（怎么理解呢，yi?我們可以理解為前例的男生，女生，特征可以看成，穿拖鞋）

樸素貝葉斯分類的基本公式

化簡一下，樸素貝葉斯分類器可表示為：

1）計算先驗概率：求出樣本類別的個數(shù) K 。對于每一個樣本 Y=Ck ，計算出 P(Y=Ck) 。其為類別 Ck 在總樣本集中的頻率（對于前例男生女生，k=2，男生概率，女生概率）。

2）計算條件概率：將樣本集劃分成 K 個子樣本集，分別對屬于 Ck 的子樣本集進(jìn)行計算，計算出其中特征 Xj=ajl 的概率：P(Xj=ajl|Y=Ck)。其為該子集中特征取值為 ajl 的樣本數(shù)與該子集樣本數(shù)的比值。（前例中，穿拖鞋與否就是一個特征，對于男生，需要計算穿拖鞋的條件概率，女生也一樣）

3）針對待預(yù)測樣本 xtest ，計算其對于每個類別 Ck 的后驗概率：

計算結(jié)果，概率值最大的類別即為待預(yù)測樣本的預(yù)測類別。（前例中，由于計算出來，男生概率大，對于分類問題，我們認(rèn)為是男生）

優(yōu)點：

（1）樸素貝葉斯模型發(fā)源于古典數(shù)學(xué)理論，有穩(wěn)定的分類效率。

（2）對小規(guī)模的數(shù)據(jù)表現(xiàn)很好，能個處理多分類任務(wù)，適合增量式訓(xùn)練，尤其是數(shù)據(jù)量超出內(nèi)存時，我們可以一批批的去增量訓(xùn)練。

（3）對缺失數(shù)據(jù)不太敏感，算法也比較簡單，常用于文本分類。

缺點：

（1）理論上，樸素貝葉斯模型與其他分類方法相比具有最小的誤差率。但是實際上并非總是如此，這是因為樸素貝葉斯模型給定輸出類別的情況下,假設(shè)屬性之間相互獨立，這個假設(shè)在實際應(yīng)用中往往是不成立的，在屬性個數(shù)比較多或者屬性之間相關(guān)性較大時，分類效果不好。而在屬性相關(guān)性較小時，樸素貝葉斯性能最為良好。對于這一點，有半樸素貝葉斯之類的算法通過考慮部分關(guān)聯(lián)性適度改進(jìn)。

（2）需要知道先驗概率，且先驗概率很多時候取決于假設(shè)，假設(shè)的模型可以有很多種，因此在某些時候會由于假設(shè)的先驗?zāi)Ｐ偷脑驅(qū)е骂A(yù)測效果不佳。

（3）由于我們是通過先驗和數(shù)據(jù)來決定后驗的概率從而決定分類，所以分類決策存在一定的錯誤率。

（4）對輸入數(shù)據(jù)的表達(dá)形式很敏感。

樸素貝葉斯 (naive Bayes) 法是基于貝葉斯定理與特征條件獨立假設(shè)的分類的方法。對于給定的訓(xùn)練數(shù)據(jù)集，首先基于特征條件獨立假設(shè)學(xué)習(xí)輸入/輸出的聯(lián)合概率分布；然后基于此模型，對于給定的輸入x" role="presentation" style="display: inline; line-height: normal; word-spacing: normal; overflow-wrap: normal; float: none; direction: ltr; max-width: none; max-height: none; min-width: 0px; min-height: 0px; border-width: 0px; border-style: initial; border-color: initial;">x，利用貝葉斯定理求出后驗概率最大的輸出y，完整代碼GitHub。

輸入：

#垃圾郵件的內(nèi)容
posting_list = [
    ['my', 'dog', 'has', 'flea', 'problem', 'help', 'please'],
    ['maybe', 'not', 'take', 'him', 'to', 'dog', 'park', 'stupid'],
    ['my', 'dalmation', 'is', 'so', 'cute', 'I', 'love', 'him'],
    ['stop', 'posting', 'stupid', 'worthless', 'garbage'],
    ['mr', 'licks', 'ate', 'ny', 'steak', 'how', 'to', 'stop', 'him'],
    ['quit', 'buying', 'worthless', 'dog', 'food', 'stupid']
    ]
#是否是垃圾郵件的標(biāo)簽
labels = [0, 1, 0, 1, 0, 1]

首先得根據(jù)上述文本建立一個詞匯表，即把重復(fù)的詞匯剔除。代碼如下：

def createVocabList(dataSet):
    '''
    創(chuàng)建所有文檔中出現(xiàn)的不重復(fù)詞匯列表
    Args:
        dataSet: 所有文檔
    Return:
        包含所有文檔的不重復(fù)詞列表，即詞匯表
    '''
    vocabSet = set([])
    # 創(chuàng)建兩個集合的并集
    for document in dataSet:
        vocabSet = vocabSet | set(document)
    return list(vocabSet)

然后需要把每句話轉(zhuǎn)化為詞袋模型(bag-of-words model)：

# 詞袋模型(bag-of-words model):詞在文檔中出現(xiàn)的次數(shù)
def bagOfWords2Vec(vocabList, inputSet):
    '''
    依據(jù)詞匯表，將輸入文本轉(zhuǎn)化成詞袋模型詞向量
    Args:
        vocabList: 詞匯表
        inputSet: 當(dāng)前輸入文檔
    Return:
        returnVec: 轉(zhuǎn)換成詞向量的文檔
    例子：
        vocabList = ['I', 'love', 'python', 'and', 'machine', 'learning']
        inputset = ['python', 'machine', 'learning', 'python', 'machine']
        returnVec = [0, 0, 2, 0, 2, 1]
        長度與詞匯表一樣長，出現(xiàn)了的位置為1，未出現(xiàn)為0，如果詞匯表中無該單詞則print
    '''
    returnVec = [0] * len(vocabList)
    for word in inputSet:
        if word in vocabList:
            returnVec[vocabList.index(word)] += 1
        else:
            print("the word: %s is not in my vocabulary!" % word)
        return returnVec

目前為止，我們把每份郵件轉(zhuǎn)化成了一系列的向量形式，向量的長度是詞表里面的詞的個數(shù)，是稀疏矩陣。

接下去就是樸素貝葉斯的步驟了，也就是訓(xùn)練的過程：

def fit(self, trainMatrix, trainCategory):
    '''
    樸素貝葉斯分類器訓(xùn)練函數(shù)，求：p(Ci),基于詞匯表的p(w|Ci)
    Args:
        trainMatrix : 訓(xùn)練矩陣，即向量化表示后的文檔（詞條集合）
        trainCategory : 文檔中每個詞條的列表標(biāo)注
    Return:
        p0Vect : 屬于0類別的概率向量(p(w1|C0),p(w2|C0),...,p(wn|C0))
        p1Vect : 屬于1類別的概率向量(p(w1|C1),p(w2|C1),...,p(wn|C1))
        pAbusive : 屬于1類別文檔的概率
    '''
    numTrainDocs = len(trainMatrix)
    # 長度為詞匯表長度
    numWords = len(trainMatrix[0])
    # p(ci)
    self.pAbusive = sum(trainCategory) / float(numTrainDocs)
    # 由于后期要計算p(w|Ci)=p(w1|Ci)*p(w2|Ci)*...*p(wn|Ci)，若wj未出現(xiàn)，則p(wj|Ci)=0,因此p(w|Ci)=0，這樣顯然是不對的
    # 故在初始化時，將所有詞的出現(xiàn)數(shù)初始化為1，分母即出現(xiàn)詞條總數(shù)初始化為2
    p0Num = np.ones(numWords)
    p1Num = np.ones(numWords)
    p0Denom = 2.0
    p1Denom = 2.0
    for i in range(numTrainDocs):
        if trainCategory[i] == 1:
            p1Num += trainMatrix[i]
            p1Denom += sum(trainMatrix[i])
        else:
            p0Num += trainMatrix[i]
            p0Denom += sum(trainMatrix[i])
    # p(wi | c1)
    # 為了避免下溢出（當(dāng)所有的p都很小時，再相乘會得到0.0，使用log則會避免得到0.0）
    self.p1Vect = np.log(p1Num / p1Denom)
    # p(wi | c2)
    self.p0Vect = np.log(p0Num / p0Denom)
    return self

訓(xùn)練完了，剩下的是對新數(shù)據(jù)的預(yù)測過程：

def predict(self, testX):
    '''
    樸素貝葉斯分類器
    Args:
        testX : 待分類的文檔向量（已轉(zhuǎn)換成array）
        p0Vect : p(w|C0)
        p1Vect : p(w|C1)
        pAbusive : p(C1)
    Return:
        1 : 為侮辱性文檔 (基于當(dāng)前文檔的p(w|C1)*p(C1)=log(基于當(dāng)前文檔的p(w|C1))+log(p(C1)))
        0 : 非侮辱性文檔 (基于當(dāng)前文檔的p(w|C0)*p(C0)=log(基于當(dāng)前文檔的p(w|C0))+log(p(C0)))
    '''

    p1 = np.sum(testX * self.p1Vect) + np.log(self.pAbusive)
    p0 = np.sum(testX * self.p0Vect) + np.log(1 - self.pAbusive)
    if p1 > p0:
        return 1
    else:
        return 0

下載1：OpenCV-Contrib擴展模塊中文版教程
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下載2：Python視覺實戰(zhàn)項目52講
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下載3：OpenCV實戰(zhàn)項目20講
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