與洲際彈道導(dǎo)彈有關(guān)的簡單數(shù)學(xué)

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日期 ： 2021年07月13日       

正文共 ：2934字

來源 ： 網(wǎng)絡(luò)

所謂“洲際彈道導(dǎo)彈”（intercontinental ballistic missile，ICBM），通常是指射程大于8000 km的遠(yuǎn)程彈道式導(dǎo)彈。它是一個國家戰(zhàn)略核力量的重要組成部分，主要用于攻擊敵國領(lǐng)土上的重要軍事、政治和經(jīng)濟(jì)目標(biāo)。在上世紀(jì)60-70年代的冷戰(zhàn)高峰時期，美國和蘇聯(lián)在本國的不同地點部署了數(shù)千枚搭載核彈頭的洲際彈道導(dǎo)彈，目標(biāo)是對方的主要城市和導(dǎo)彈發(fā)射井。這是一場非常危險的“零和博弈游戲”，后來有人用一個非常形象的詞——“確保相互摧毀”來形容這種狀態(tài)，而“確保相互摧毀”的英文首字母縮寫為MAD，恰好與英文單詞“瘋狂的”相同。這種僵局一直持續(xù)到上世紀(jì)80年代后期，特別是在美國新提出要搞“星球大戰(zhàn)”計劃之后。今天，洲際彈道導(dǎo)彈技術(shù)出現(xiàn)了向全球擴(kuò)散的趨勢，很多國家都紛紛研制成功或準(zhǔn)備研制自己的洲際導(dǎo)彈或遠(yuǎn)程導(dǎo)彈，如朝鮮、伊朗等。要知道，洲際彈道導(dǎo)彈這種國之重器的研制、測試和部署費用絕對稱得上是一個天文數(shù)字，以美國為例，其1枚洲際彈道導(dǎo)彈的全壽命使用周期費用大概為10億美元，而2016年世界上最貧窮的國家津巴布韋總?cè)丝跒?615萬，人均GDP為0.1美元，即其國民生產(chǎn)總值為0.016億美元，所以換算下來，美國1枚洲際彈道導(dǎo)彈的費用相當(dāng)于津巴布韋625年的國民生產(chǎn)總值！

除了價格不菲，洲際彈道導(dǎo)彈的技術(shù)也極為復(fù)雜，幾乎涉及現(xiàn)代工業(yè)領(lǐng)域的各個方面。在此，我們掛一漏萬，只對洲際導(dǎo)彈從發(fā)射點運動到最終命中點的運動學(xué)和動力學(xué)特征進(jìn)行一番極其簡單的探討，用“簡單”的數(shù)學(xué)來計算一下諸如導(dǎo)彈飛抵離地球表面最高點時的高度H、耗費時間τ、在地球表面上的投影距離（即射程）L及其影響因素，以此對洲際導(dǎo)彈這種迄今為止人類歷史上最具威懾力的武器來一個數(shù)理方面的“管中窺豹”。

我們以下面這幅示意圖為討論的起點，該圖顯示的是典型的洲際彈道導(dǎo)彈的飛行軌跡：

上圖：洲際導(dǎo)彈飛行彈道的簡要示意圖。

從上圖中我們知道，洲際彈道導(dǎo)彈走的是一條從發(fā)射點開始，一直延續(xù)到命中點的橢圓曲線彈道，這條運動軌跡基本上位于由發(fā)射點、命中點和地球球心確定的平面內(nèi)。忽略所有的空氣阻力，我們通過能量守恒定律和角動量守恒定律可以得到下面兩個等式 ：

式中，vr和vθ分別是洲際導(dǎo)彈徑向和切向的速度分量，m是導(dǎo)彈的質(zhì)量，M和R是地球的質(zhì)量和半徑，V0和β是導(dǎo)彈發(fā)射時的速度和發(fā)射時與水平線所成的角度，G是萬有引力常數(shù)。通過聯(lián)立這兩個方程，并設(shè)GM=gR2，其中g(shù)是地球表面的標(biāo)準(zhǔn)重力加速度，我們可以得到下面的等式：

要想求出導(dǎo)彈到達(dá)地球表面上方最高點的高度H，我們只需令vr為零，這樣便得到了下面的二次方程：

式中，Y=r/R，α=2gR/V02。一般情況下，Y和α的值都大于1。當(dāng)β=π/2時，對應(yīng)的是一種特殊情況，即導(dǎo)彈垂直發(fā)射。當(dāng)α=1時，可以求出此時的速度V0=√(2gR)。對于地球來說，這個數(shù)值等于11.2 km/s，也就是第二宇宙速度。在這種情況下，Y的值為無窮大。對于(cosβ)的值，當(dāng)其不等于零時，上面的二次方程有一個正解：

我們可以計算一下以π/3、π/4和π/6的角度發(fā)射洲際彈道導(dǎo)彈的結(jié)果，然后以α為橫軸，H/R為縱軸，繪制出二者的關(guān)系圖，如下圖所示：

上圖：洲際導(dǎo)彈不同的發(fā)射角度對射高的影響。

從圖中我們可以看出，發(fā)射速度越大，導(dǎo)彈上升的高度就越高。當(dāng)α=1時，上升的高度將變?yōu)闊o窮大；而當(dāng)V0趨向于零時，導(dǎo)彈上升的高度為零。如果我們設(shè)cos(β)=0，并假設(shè)H/R<<1，使α>> 1，便可得到H=V02/2g這一經(jīng)典結(jié)果。

我們可以使用前面計算的徑向速度分量來求解導(dǎo)彈飛抵最大高度時所需的時間，并將該結(jié)果乘以2（因為上升段和下降段是對稱的），以得到命中目標(biāo)的時間τ，計算公式如下：

現(xiàn)在，讓我們來實際計算一下這個積分：我們不妨選擇實際值cos(β)=√3/2，α=4，H/R=√7/6-1/3=0.1076。導(dǎo)彈發(fā)射速度和角度分別為V0=5.593 km/s和β=π/6。取地球半徑R=6378 km，計算得到τ=991 s=16.5 min，再考慮到空氣阻力造成的速度下降，因此總時間差不多在20 min左右，這個數(shù)字與實際情況是相符的：根據(jù)美國方面披露的資料，其如果遭到俄羅斯的洲際核導(dǎo)彈打擊的話，預(yù)警時間基本就在20 min左右。

還有一個問題就是，在這種情況下，發(fā)射點和命中點之間的地球表面投影距離，即導(dǎo)彈的射程L是多少。我們通過角動量守恒定律可知vθ=RV0cos(β)/r，而由于H/R<<1，因此r可以很好地用R來近似。這樣，我們就求出了地球表面上的投影距離L約為：

在上面的例子中，求出的數(shù)字比莫斯科和紐約之間的距離（7525 km）要短不少。要想增加地球表面的投影距離L，也就是提高導(dǎo)彈的射程，只需要簡單地增加V0和β即可。通過使β=√(gR)=7.9 km/s，并且讓β趨近于零，可以將導(dǎo)彈打出一條近似的繞地圓形軌道。說到這里，可能很多讀者已經(jīng)明白了：7.9 km/s正好是第一宇宙速度，發(fā)射低軌道衛(wèi)星就是以這一速度入軌的。

最后要強(qiáng)調(diào)的一點是，地球是時刻在旋轉(zhuǎn)的，因此洲際彈道導(dǎo)彈實際上是在“追逐”一個不斷移動的目標(biāo)。不過，解決這一問題是件很容易的事，只需要對命中點的經(jīng)度進(jìn)行修正就可以了，準(zhǔn)確一點說是按照(τ/1440 min)2πRcos(目標(biāo)緯度值)的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行修正，其可以直接寫入導(dǎo)彈彈載計算機(jī)的飛行控制程序代碼中。根據(jù)美國方面披露的相關(guān)資料，冷戰(zhàn)期間，如果對蘇聯(lián)首都莫斯科（北緯55.75°，東經(jīng)37.62°）發(fā)起攻擊，在不修正經(jīng)度的情況下，導(dǎo)彈在經(jīng)過τ=20 min的飛行后，將落在莫斯科以東約313 km處。

另外，地球的自轉(zhuǎn)也可以解釋這樣一個事實：在極地軌道上運行的間諜偵察衛(wèi)星可以觀測到其軌跡下方地球表面的每個點，而不需要進(jìn)行任何軌道修正。

上圖：人造地球衛(wèi)星的運行軌道，最左側(cè)的即為極地軌道。

在洲際彈道導(dǎo)彈的實際發(fā)射中，幾乎總是以垂直于地面的姿態(tài)進(jìn)行發(fā)射的，在起飛后幾分鐘內(nèi)便迅速達(dá)到預(yù)期的速度V0和發(fā)射角β。導(dǎo)彈在大部分運動時間內(nèi)都是憑借慣性自由飛行的，這就使預(yù)測導(dǎo)彈的運動軌跡并予以攔截成為了可能。在1991年爆發(fā)的海灣戰(zhàn)爭中，伊拉克曾使用飛行速度相對較慢（5倍聲速，約相當(dāng)于1700 m/s）的“飛毛腿”彈道導(dǎo)彈攻擊以色列，其相當(dāng)一部分被美國雷錫恩公司研制的“愛國者”防空導(dǎo)彈武器系統(tǒng)攔截。這已經(jīng)是個不小的進(jìn)步了，要知道，在彈道導(dǎo)彈誕生后，很長一段時間內(nèi)人們對其基本上是束手無策。例如，二戰(zhàn)期間，即導(dǎo)彈投入實戰(zhàn)后不久，英國人雖成功地使用高速戰(zhàn)斗機(jī)和摧毀發(fā)射場的方式對德國人的V1巡航導(dǎo)彈進(jìn)行了有效的防御，但卻完全無法對抗以數(shù)倍聲速飛行的V2彈道導(dǎo)彈。即使在今天，要想攔截以20倍甚至30倍聲速飛行的洲際彈道導(dǎo)彈也不是一件容易的事。

最后，看了這么多“枯燥無味”的數(shù)學(xué)和力學(xué)公式之后，我們來輕松一下。關(guān)于洲際彈道導(dǎo)彈，有這樣一則有趣的“軼事”：二戰(zhàn)期間，美國總統(tǒng)羅斯福的科學(xué)顧問范內(nèi)瓦·布什（Vannevar Bush）在1945年曾說過這樣一句“名言”：“真正堪用的洲際彈道導(dǎo)彈永遠(yuǎn)不可能成為現(xiàn)實?！逼鋵嵾@種名人因為一時的“短視”而發(fā)表荒謬言論的例子比比皆是，如發(fā)現(xiàn)了原子核的盧瑟福勛爵在1933年就曾發(fā)布過這樣一則糟糕的聲明：“任何聲稱原子核能成為一種能量來源的人都是在胡說八道。”

— THE END —

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