綜述 | 相機(jī)標(biāo)定方法
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在圖像測量過程以及機(jī)器視覺應(yīng)用中，為確定空間物體表面某點(diǎn)的三維幾何位置與其在圖像中對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的相互關(guān)系，必須建立相機(jī)成像的幾何模型，這些幾何模型參數(shù)就是相機(jī)參數(shù)。在大多數(shù)條件下這些參數(shù)（內(nèi)參、外參、畸變參數(shù)）必須通過實(shí)驗(yàn)與計(jì)算才能得到，這個(gè)求解參數(shù)的過程就稱之為相機(jī)標(biāo)定（或攝像機(jī)標(biāo)定）。無論是在圖像測量或者機(jī)器視覺應(yīng)用中，相機(jī)參數(shù)的標(biāo)定都是非常關(guān)鍵的環(huán)節(jié)，其標(biāo)定結(jié)果的精度及算法的穩(wěn)定性直接影響相機(jī)工作產(chǎn)生結(jié)果的準(zhǔn)確性。因此，做好相機(jī)標(biāo)定是做好后續(xù)工作的前提，提高標(biāo)定精度是科研工作的重點(diǎn)所在。
標(biāo)定的目的主要為解決兩個(gè)問題：
a、確定世界坐標(biāo)系下三維空間點(diǎn)與像素平面像素點(diǎn)間的轉(zhuǎn)換關(guān)系（內(nèi)外參）；
b、確定相機(jī)成像過程中的畸變系，用于圖像矯正。
相機(jī)將三維世界中的坐標(biāo)點(diǎn)（單位：米）映射到二維圖像平面（單位：像素）的過程能夠用一個(gè)幾何模型來描述，其中最簡單的稱為針孔相機(jī)模型 (pinhole camera model)，其框架如下圖所示:
其中，涉及到相機(jī)標(biāo)定涉及到了四大坐標(biāo)系，分別為：
像素坐標(biāo)系
：為了描述物體成像后的像點(diǎn)在數(shù)字圖像上（相片）的坐標(biāo)而引入，是我們真正從相機(jī)內(nèi)讀取到的信息所在的坐標(biāo)系。單位為個(gè)（像素?cái)?shù)目）。
成像平面坐標(biāo)系
：為了描述成像過程中物體從相機(jī)坐標(biāo)系到圖像坐標(biāo)系的投影透射關(guān)系而引入，方便進(jìn)一步得到像素坐標(biāo)系下的坐標(biāo)。單位為m。
相機(jī)坐標(biāo)系
：在相機(jī)上建立的坐標(biāo)系，為了從相機(jī)的角度描述物體位置而定義，作為溝通世界坐標(biāo)系和圖像/像素坐標(biāo)系的中間一環(huán)。單位為m。
世界坐標(biāo)系
：用戶定義的三維世界的坐標(biāo)系，為了描述目標(biāo)物在真實(shí)世界里的位置而被引入。單位為m。
下面，我們來詳細(xì)推導(dǎo)從世界坐標(biāo)系到像素坐標(biāo)的過程。
從世界坐標(biāo)系到相機(jī)坐標(biāo)系， 這是一個(gè)剛體變換，只需對(duì)世界坐標(biāo)系的三維點(diǎn)作用一個(gè)旋轉(zhuǎn)R和平移t（R，t即為相機(jī)的外參），變換過程可以通過一下公式完成：
這一過程進(jìn)行了從三維坐標(biāo)到二維坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換，也即投影透視過程（用中心投影法將物體投射到投影面上，從而獲得的一種較為接近視覺效果的單面投影圖，也就是使我們?nèi)搜劭吹骄拔锝筮h(yuǎn)小的一種成像方式）。
成像過程如下圖所示：針孔面（相機(jī)坐標(biāo)系）在圖像平面（圖像坐標(biāo)系）和物點(diǎn)平面（棋盤平面）之間，所成圖像為倒立實(shí)像。
但是為了在數(shù)學(xué)上更方便描述，我們將相機(jī)坐標(biāo)系和圖像坐標(biāo)系位置對(duì)調(diào)，變成下圖所示的布置方式（沒有實(shí)際的物理意義，只是方便計(jì)算）：
此時(shí)，假設(shè)相機(jī)坐標(biāo)系中有一點(diǎn)M，則在理想圖像坐標(biāo)系下（無畸變）的成像點(diǎn)P的坐標(biāo)為（可由相似三角形原則得出）：
f為焦距，整理，得：
如上圖，成平面坐標(biāo)系和像素坐標(biāo)系之間存在一個(gè)縮放和平移
整理得：
以fx、fy的方式表示為：
其中
α、β的單位為像素/米;
fx、fy為x、y方向的焦距，單位為像素;
(cx,cy)為主點(diǎn)，圖像的中心，單位為像素。
那么，相機(jī)坐標(biāo)系到像素坐標(biāo)系的最終形式可寫成：
將 Zc移到左邊：
所以，在世界坐標(biāo)系中的三維點(diǎn)M=[X,Y,Z]T 和像素坐標(biāo)系中二維點(diǎn)m=[u,v]T的關(guān)系為：
即：
其中，s為縮放因子，A為相機(jī)的內(nèi)參矩陣，[R t]為相機(jī)的外參矩陣，
和
分別為m和M對(duì)應(yīng)的齊次坐標(biāo)。
我們?cè)跀z像機(jī)坐標(biāo)系到圖像坐標(biāo)系變換時(shí)談到透視投影。攝像機(jī)拍照時(shí)通過透鏡把實(shí)物投影到像平面上，但是透鏡由于制造精度以及組裝工藝的偏差會(huì)引入畸變，導(dǎo)致原始圖像的失真。因此我們需要考慮成像畸變的問題。
透鏡的畸變主要分為徑向畸變和切向畸變，還有薄透鏡畸變等等，但都沒有徑向和切向畸變影響顯著，所以我們?cè)谶@里只考慮徑向和切向畸變。
徑向畸變
顧名思義，徑向畸變就是沿著透鏡半徑方向分布的畸變，產(chǎn)生原因是光線在原理透鏡中心的地方比靠近中心的地方更加彎曲，這種畸變?cè)谄胀畠r(jià)的鏡頭中表現(xiàn)更加明顯，徑向畸變主要包括桶形畸變和枕形畸變兩種。以下分別是枕形和桶形畸變示意圖：
實(shí)際情況中我們常用r=0處的泰勒級(jí)數(shù)展開的前幾項(xiàng)來近似描述徑向畸變，矯正徑向畸變前后的坐標(biāo)關(guān)系為：
切向畸變
切向畸變是由于透鏡本身與相機(jī)傳感器平面（像平面）或圖像平面不平行而產(chǎn)生的，這種情況多是由于透鏡被粘貼到鏡頭模組上的安裝偏差導(dǎo)致。畸變模型可以用兩個(gè)額外的參數(shù)p1和p2來描述：
其中，
所以，我們一共需要5個(gè)畸變參數(shù)(k1,k2,k3,p1,p2)來描述透鏡畸變。
綜上所述，相機(jī)標(biāo)定實(shí)際上就是確定相機(jī)的內(nèi)外參數(shù)、畸變參數(shù)的過程。
以上是對(duì)于單個(gè)相機(jī)進(jìn)行標(biāo)定，那么對(duì)于多目相機(jī)系統(tǒng)或者RGBD 相機(jī)的標(biāo)定呢？
對(duì)于多目相機(jī)系統(tǒng)或者RGBD 相機(jī)除了要對(duì)別對(duì)每個(gè)相機(jī)進(jìn)行以上標(biāo)定以外，還需要求傳感器之間的變換T，以使同一時(shí)刻獲取的數(shù)據(jù)能夠“對(duì)齊”，以雙目為例，左右兩個(gè)相機(jī)的坐標(biāo)系如下圖：
計(jì)算出兩個(gè)攝像機(jī)之間的旋轉(zhuǎn)矩陣R和平移向量t，方法是分別計(jì)算出兩個(gè)攝像機(jī)的R和T，再由以下公式計(jì)算：
由于單相機(jī)獲取的圖像只能計(jì)算出二維坐標(biāo)，因?yàn)槲覀兪褂昧?套相機(jī)，且2套相機(jī)之間的關(guān)系也是已知的，那么如果我們能把三維空間中某點(diǎn)在左右相機(jī)成像的二維坐標(biāo)都計(jì)算出來，且能知道這是同一個(gè)點(diǎn)，這樣就可以計(jì)算出三維坐標(biāo)。這里面確認(rèn)同名點(diǎn)的技術(shù)就是立體匹配。立體匹配有很多種算法，其中局部匹配法是最常用的，但是就目前已有算法來說，沒有一種算法可以實(shí)現(xiàn)100%匹配。一般來說待匹配點(diǎn)越多，匹配準(zhǔn)確率越低。
相機(jī)標(biāo)定方法有：傳統(tǒng)相機(jī)標(biāo)定法、主動(dòng)視覺相機(jī)標(biāo)定法、相機(jī)自標(biāo)定法。
| 標(biāo)定方法 | 優(yōu)點(diǎn) | 缺點(diǎn) | 常用方法 |
|---|---|---|---|
| 傳統(tǒng)相機(jī)標(biāo)定法 | 可使用于任意的相機(jī)模型、 精度高 | 需要標(biāo)定物、算法復(fù)雜 | Tsai兩步法、張氏標(biāo)定法 |
| 主動(dòng)視覺相機(jī)標(biāo)定法 | 不需要標(biāo)定物、算法簡單、魯棒性高 | 成本高、設(shè)備昂貴 | 主動(dòng)系統(tǒng)控制相機(jī)做特定運(yùn)動(dòng) |
| 相機(jī)自標(biāo)定法 | 靈活性強(qiáng)、可在線標(biāo)定 | 精度低、魯棒性差 | 分層逐步標(biāo)定、基于Kruppa方程 |
（左右滑動(dòng)查看）
Tsai兩步法是先線性求得相機(jī)參數(shù)，之后考慮畸變因素，得到初始的參數(shù)值，通過非線性優(yōu)化得到最終的相機(jī)參數(shù)。Tsai兩步法速度較快，但僅考慮徑向畸變，當(dāng)相機(jī)畸變嚴(yán)重時(shí)，該方法不適用。
張氏標(biāo)定法使用二維方格組成的標(biāo)定板進(jìn)行標(biāo)定，采集標(biāo)定板不同位姿圖片，提取圖片中角點(diǎn)像素坐標(biāo)，通過單應(yīng)矩陣計(jì)算出相機(jī)的內(nèi)外參數(shù)初始值，利用非線性最小二乘法估計(jì)畸變系數(shù)，最后使用極大似然估計(jì)法優(yōu)化參數(shù)。該方法操作簡單，而且精度較高，可以滿足大部分場合。
基于主動(dòng)視覺的相機(jī)標(biāo)定法是通過主動(dòng)系統(tǒng)控制相機(jī)做特定運(yùn)動(dòng)，利用控制平臺(tái)控制相機(jī)發(fā)生特定的移動(dòng)拍攝多組圖像，依據(jù)圖像信息和已知位移變化來求解相機(jī)內(nèi)外參數(shù)。這種標(biāo)定方法需要配備精準(zhǔn)的控制平臺(tái)，因此成本較高。
分層逐步標(biāo)定法是先對(duì)圖像的序列做射影重建，在重建的基礎(chǔ)上進(jìn)行放射標(biāo)定和歐式標(biāo)定，通過非線性優(yōu)化算法求得相機(jī)內(nèi)外參數(shù)。由于初始參數(shù)是模糊值，優(yōu)化算法收斂性不確定。
基于Kruppa的自標(biāo)定法是通過二次曲線建立關(guān)于相機(jī)內(nèi)參矩陣的約束方程，至少使用3對(duì)圖像來標(biāo)定相機(jī)。圖像序列長度會(huì)影響標(biāo)定算法的穩(wěn)定性，無法保證射影空間中的無窮遠(yuǎn)平面。
以上為單個(gè)相機(jī)標(biāo)定的方法，而對(duì)于相機(jī)-相機(jī)、相機(jī)-距離傳感器之間進(jìn)行標(biāo)定，OpenCV、Matlab都有自帶的工具箱或函數(shù)庫可以用來標(biāo)定，但[1]提出了一個(gè)帶有Web界面的工具箱，用于全自動(dòng)相機(jī)到相機(jī)和相機(jī)到范圍的校準(zhǔn)。該系統(tǒng)可在一分鐘內(nèi)恢復(fù)內(nèi)外參數(shù)以及攝像機(jī)和距離傳感器之間的轉(zhuǎn)換。而且，該方法所提出的基于生長的棋盤格角點(diǎn)檢測方法明顯優(yōu)于OpenCV需要指定棋盤格角點(diǎn)大小的角點(diǎn)檢測方法。
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