【計算機基礎(chǔ)】原碼、反碼、補碼詳解

本篇文章講解了計算機的原碼, 反碼和補碼. 并且進行了深入探求了為何要使用反碼和補碼, 以及更進一步的論證了為何可以用反碼, 補碼的加法計算原碼的減法。論證部分如有不對的地方請各位牛人幫忙指正! 希望本文對大家學習計算機基礎(chǔ)有所幫助!

一、機器數(shù)和真值

在學習原碼, 反碼和補碼之前, 需要先了解機器數(shù)和真值的概念.

1、機器數(shù)

一個數(shù)在計算機中的二進制表示形式,  叫做這個數(shù)的機器數(shù)。機器數(shù)是帶符號的，在計算機用一個數(shù)的最高位存放符號, 正數(shù)為0, 負數(shù)為1。

比如，十進制中的數(shù) +3 ，計算機字長為8位，轉(zhuǎn)換成二進制就是00000011。如果是 -3 ，就是 10000011 。

那么，這里的 00000011 和 10000011 就是機器數(shù)。

2、真值

因為第一位是符號位，所以機器數(shù)的形式值就不等于真正的數(shù)值。例如上面的有符號數(shù) 10000011，其最高位1代表負，其真正數(shù)值是 -3 而不是形式值131（10000011轉(zhuǎn)換成十進制等于131）。所以，為區(qū)別起見，將帶符號位的機器數(shù)對應(yīng)的真正數(shù)值稱為機器數(shù)的真值。

例：0000 0001的真值 = +000 0001 = +1，1000 0001的真值 = –000 0001 = –1

二、原碼，反碼，補碼的基礎(chǔ)概念和計算方法

在探求為何機器要使用補碼之前, 讓我們先了解原碼, 反碼和補碼的概念。對于一個數(shù), 計算機要使用一定的編碼方式進行存儲。 原碼, 反碼, 補碼是機器存儲一個具體數(shù)字的編碼方式。

1、原碼

原碼就是符號位加上真值的絕對值, 即用第一位表示符號, 其余位表示值。比如如果是8位二進制:

[+1]原 = 0000 0001

[-1]原 = 1000 0001

第一位是符號位。因為第一位是符號位, 所以8位二進制數(shù)的取值范圍就是:

[1111 1111 , 0111 1111]

即

[-127 , 127]

原碼是人腦最容易理解和計算的表示方式。

2、反碼

反碼的表示方法是:

正數(shù)的反碼是其本身

負數(shù)的反碼是在其原碼的基礎(chǔ)上, 符號位不變，其余各個位取反。

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反

[-1] = [10000001]原 = [11111110]反

可見如果一個反碼表示的是負數(shù), 人腦無法直觀的看出來它的數(shù)值。通常要將其轉(zhuǎn)換成原碼再計算。

3、補碼

補碼的表示方法是:

正數(shù)的補碼就是其本身

負數(shù)的補碼是在其原碼的基礎(chǔ)上, 符號位不變, 其余各位取反, 最后+1。 (即在反碼的基礎(chǔ)上+1)

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]補

[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]補

對于負數(shù), 補碼表示方式也是人腦無法直觀看出其數(shù)值的。通常也需要轉(zhuǎn)換成原碼在計算其數(shù)值。

三、為何要使用原碼，反碼和補碼

在開始深入學習前, 我的學習建議是先"死記硬背"上面的原碼, 反碼和補碼的表示方式以及計算方法。

現(xiàn)在我們知道了計算機可以有三種編碼方式表示一個數(shù)。對于正數(shù)因為三種編碼方式的結(jié)果都相同:

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反 = [00000001]補

所以不需要過多解釋。但是對于負數(shù):

[-1] = [10000001]原 = [11111110]反 = [11111111]補

可見原碼, 反碼和補碼是完全不同的。既然原碼才是被人腦直接識別并用于計算表示方式, 為何還會有反碼和補碼呢?

首先, 因為人腦可以知道第一位是符號位, 在計算的時候我們會根據(jù)符號位, 選擇對真值區(qū)域的加減(真值的概念在本文最開頭)。但是對于計算機, 加減乘數(shù)已經(jīng)是最基礎(chǔ)的運算, 要設(shè)計的盡量簡單。計算機辨別"符號位"顯然會讓計算機的基礎(chǔ)電路設(shè)計變得十分復雜! 于是人們想出了將符號位也參與運算的方法。我們知道, 根據(jù)運算法則減去一個正數(shù)等于加上一個負數(shù), 即: 1-1 = 1 + (-1) = 0 , 所以機器可以只有加法而沒有減法, 這樣計算機運算的設(shè)計就更簡單了。

于是人們開始探索 將符號位參與運算, 并且只保留加法的方法。首先來看原碼:

計算十進制的表達式: 1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1) = [00000001]原 + [10000001]原 = [10000010]原 = -2

如果用原碼表示, 讓符號位也參與計算, 顯然對于減法來說, 結(jié)果是不正確的。這也就是為何計算機內(nèi)部不使用原碼表示一個數(shù)。

為了解決原碼做減法的問題, 出現(xiàn)了反碼:

計算十進制的表達式: 1-1=0

1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原= [0000 0001]反 + [1111 1110]反 = [1111 1111]反 = [1000 0000]原 = -0

發(fā)現(xiàn)用反碼計算減法, 結(jié)果的真值部分是正確的。而唯一的問題其實就出現(xiàn)在"0"這個特殊的數(shù)值上。雖然人們理解上+0和-0是一樣的, 但是0帶符號是沒有任何意義的。而且會有[0000 0000]原和[1000 0000]原兩個編碼表示0。

于是補碼的出現(xiàn), 解決了0的符號以及兩個編碼的問題:

1-1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [0000 0001]補 + [1111 1111]補 = [0000 0000]補=[0000 0000]原

這樣0用[0000 0000]表示, 而以前出現(xiàn)問題的-0則不存在了。而且可以用[1000 0000]表示-128:

(-1) + (-127) = [1000 0001]原 + [1111 1111]原 = [1111 1111]補 + [1000 0001]補 = [1000 0000]補

-1-127的結(jié)果應(yīng)該是-128, 在用補碼運算的結(jié)果中, [1000 0000]補 就是-128，但是注意因為實際上是使用以前的-0的補碼來表示-128, 所以-128并沒有原碼和反碼表示(對-128的補碼表示[1000 0000]補算出來的原碼是[0000 0000]原, 這是不正確的)

使用補碼, 不僅僅修復了0的符號以及存在兩個編碼的問題, 而且還能夠多表示一個最低數(shù)，這就是為什么8位二進制, 使用原碼或反碼表示的范圍為[-127, +127], 而使用補碼表示的范圍為[-128, 127]。

因為機器使用補碼, 所以對于編程中常用到的32位int類型, 可以表示范圍是: [-231, 231-1] 因為第一位表示的是符號位。而使用補碼表示時又可以多保存一個最小值。

四、原碼，反碼，補碼再深入

計算機巧妙地把符號位參與運算, 并且將減法變成了加法, 背后蘊含了怎樣的數(shù)學原理呢?

將鐘表想象成是一個1位的12進制數(shù)。如果當前時間是6點, 我希望將時間設(shè)置成4點, 需要怎么做呢?我們可以:

1. 往回撥2個小時: 6 - 2 = 4

2. 往前撥10個小時: (6 + 10) mod 12 = 4

3. 往前撥10+12=22個小時: (6+22) mod 12 =4

2,3方法中的mod是指取模操作, 16 mod 12 =4 即用16除以12后的余數(shù)是4。

所以鐘表往回撥(減法)的結(jié)果可以用往前撥(加法)替代!

現(xiàn)在的焦點就落在了如何用一個正數(shù), 來替代一個負數(shù)。上面的例子我們能感覺出來一些端倪, 發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律。但是數(shù)學是嚴謹?shù)?，不能靠感覺。

首先介紹一個數(shù)學中相關(guān)的概念: 同余

同余的概念

兩個整數(shù)a，b，若它們除以整數(shù)m所得的余數(shù)相等，則稱a，b對于模m同余

記作 a ≡ b (mod m)

讀作 a 與 b 關(guān)于模 m 同余。

舉例說明:

4 mod 12 = 4

16 mod 12 = 4

28 mod 12 = 4

所以4, 16, 28關(guān)于模 12 同余。

負數(shù)取模

正數(shù)進行mod運算是很簡單的，但是負數(shù)呢?

下面是關(guān)于mod運算的數(shù)學定義:

上面是截圖, "取下界"符號找不到如何輸入(word中粘貼過來后亂碼). 下面是使用"L"和"J"替換上圖的"取下界"符號:

x mod y = x - y L x / y J

上面公式的意思是:

x mod y等于 x 減去 y 乘上 x與y的商的下界。

以 -3 mod 2 舉例:

-3 mod 2

= -3 - 2xL -3/2 J

= -3 - 2xL-1.5J

= -3 - 2x(-2)

= -3 + 4 = 1

所以:

(-2) mod 12 = 12-2=10

(-4) mod 12 = 12-4 = 8

(-5) mod 12 = 12 - 5 = 7

開始證明

再回到時鐘的問題上:

回撥2小時 = 前撥10小時

回撥4小時 = 前撥8小時

回撥5小時= 前撥7小時

注意, 這里發(fā)現(xiàn)的規(guī)律!

結(jié)合上面學到的同余的概念，實際上:

(-2) mod 12 = 10

10 mod 12 = 10

-2與10是同余的.

(-4) mod 12 = 8

8 mod 12 = 8

-4與8是同余的

距離成功越來越近了，要實現(xiàn)用正數(shù)替代負數(shù), 只需要運用同余數(shù)的兩個定理:

反身性:

a ≡ a (mod m)

這個定理是很顯而易見的。

線性運算定理:

如果a ≡ b (mod m)，c ≡ d (mod m) 那么:

(1)a ± c ≡ b ± d (mod m)

(2)a * c ≡ b * d (mod m)

如果想看這個定理的證明, 請看:http://baike.baidu.com/view/79282.htm

所以:

7 ≡ 7 (mod 12)

(-2) ≡ 10 (mod 12)

7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12)

現(xiàn)在我們?yōu)橐粋€負數(shù), 找到了它的正數(shù)同余數(shù)，但是并不是7-2 = 7+10, 而是 7 -2 ≡ 7 + 10 (mod 12) , 即計算結(jié)果的余數(shù)相等。

接下來回到二進制的問題上, 看一下: 2-1=1的問題。

2-1=2+(-1) = [0000 0010]原 + [1000 0001]原= [0000 0010]反 + [1111 1110]反

先到這一步, -1的反碼表示是1111 1110. 如果這里將[1111 1110]認為是原碼, 則[1111 1110]原 = -126, 這里將符號位除去, 即認為是126。

發(fā)現(xiàn)有如下規(guī)律:

(-1) mod 127 = 126

126 mod 127 = 126

即:

(-1) ≡ 126 (mod 127)

2-1 ≡ 2+126 (mod 127)

2-1 與 2+126的余數(shù)結(jié)果是相同的! 而這個余數(shù), 正式我們的期望的計算結(jié)果: 2-1=1

所以說一個數(shù)的反碼, 實際上是這個數(shù)對于一個膜的同余數(shù)，而這個膜并不是我們的二進制, 而是所能表示的最大值! 這就和鐘表一樣, 轉(zhuǎn)了一圈后總能找到在可表示范圍內(nèi)的一個正確的數(shù)值!

而2+126很顯然相當于鐘表轉(zhuǎn)過了一輪, 而因為符號位是參與計算的, 正好和溢出的最高位形成正確的運算結(jié)果。

既然反碼可以將減法變成加法, 那么現(xiàn)在計算機使用的補碼呢? 為什么在反碼的基礎(chǔ)上加1, 還能得到正確的結(jié)果?

2-1=2+(-1) = [0000 0010]原 + [1000 0001]原 = [0000 0010]補 + [1111 1111]補

如果把[1111 1111]當成原碼, 去除符號位, 則:

[0111 1111]原 = 127

其實, 在反碼的基礎(chǔ)上+1, 只是相當于增加了膜的值:

(-1) mod 128 = 127

127 mod 128 = 127

2-1 ≡ 2+127 (mod 128)

此時, 表盤相當于每128個刻度轉(zhuǎn)一輪，所以用補碼表示的運算結(jié)果最小值和最大值應(yīng)該是[-128, 128]。

但是由于0的特殊情況, 沒有辦法表示128, 所以補碼的取值范圍是[-128, 127]

本文轉(zhuǎn)自 https://www.cnblogs.com/zhangziqiu/archive/2011/03/30/ComputerCode.html