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數(shù)學(xué)算法俱樂(lè)部

日期?：?2021年02月14日?? ? ??

正文共?：5866字

來(lái)源?：?伯樂(lè)在線

實(shí)例詳解貝葉斯推理的原理

貝葉斯推理是一種精確的數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)方式。在數(shù)據(jù)沒(méi)有期望的那么多，但卻想毫無(wú)遺漏地，全面地獲取預(yù)測(cè)信息時(shí)非常有用。

提及貝葉斯推理時(shí)，人們時(shí)常會(huì)帶著一種敬仰的心情。其實(shí)并非想象中那么富有魔力，或是神秘。盡管貝葉斯推理背后的數(shù)學(xué)越來(lái)越縝密和復(fù)雜，但其背后概念還是非常容易理解。簡(jiǎn)言之，貝葉斯推理有助于大家得到更有力的結(jié)論，將其置于已知的答案中。

貝葉斯推理理念源自托馬斯貝葉斯。三百年前，他是一位從不循規(guī)蹈矩的教會(huì)長(zhǎng)老院牧師。貝葉斯寫過(guò)兩本書，一本關(guān)于神學(xué)，一本關(guān)于概率。他的工作就包括今天著名的貝葉斯定理雛形，自此以后應(yīng)用于推理問(wèn)題，以及有根據(jù)猜測(cè)（educated guessing）術(shù)語(yǔ)中。貝葉斯理念如此流行，得益于一位名叫理查·布萊斯牧師的大力推崇。此人意識(shí)到這份定理的重要性后，將其優(yōu)化完善并發(fā)表。因此，此定理變得更加準(zhǔn)確。也因此，歷史上將貝葉斯定理稱之為 Bayes-Price法則。

譯者注：educated guessing 基于(或根據(jù))經(jīng)驗(yàn)(或?qū)I(yè)知識(shí)、手頭資料、事實(shí)等)所作的估計(jì)(或預(yù)測(cè)、猜測(cè)、意見(jiàn)等)

影院中的貝葉斯推理

試想一下，你前往影院觀影，前面觀影的小伙伴門票掉了，此時(shí)你想引起他們的注意。此圖是他們的背影圖。你無(wú)法分辨他們的性別，僅僅知道他們留了長(zhǎng)頭發(fā)。那你是說(shuō)，女士打擾一下，還是說(shuō)，先生打擾一下。考慮到你對(duì)男人和女人發(fā)型的認(rèn)知，或許你會(huì)認(rèn)為這位是位女士。（本例很簡(jiǎn)單，只存在兩種發(fā)長(zhǎng)和性別）

現(xiàn)在將上面的情形稍加變化，此人正在排隊(duì)準(zhǔn)備進(jìn)入男士休息室。依靠這個(gè)額外的信息，或許你會(huì)認(rèn)為這位是位男士。此例采用常識(shí)和背景知識(shí)即可完成判斷，無(wú)需思考。而貝葉斯推理是此方式的數(shù)學(xué)實(shí)現(xiàn)形式，得益于此，我們可以做出更加精確的預(yù)測(cè)。

我們?yōu)殡娪霸河龅降睦Ь臣由蠑?shù)字。首先假定影院中男女各占一半，100個(gè)人中，50個(gè)男人，50個(gè)女人。女人中，一半為長(zhǎng)發(fā)，余下的25人為短發(fā)。而男人中，48位為短發(fā)，兩位為長(zhǎng)發(fā)。存在25個(gè)長(zhǎng)發(fā)女人和2位長(zhǎng)發(fā)男人，由此推斷，門票持有者為女士的可能性很大。

100個(gè)在男士休息室外排隊(duì)，其中98名男士，2位女士為陪同。長(zhǎng)發(fā)女人和短發(fā)女人依舊對(duì)半分，但此處僅僅各占一種。而男士長(zhǎng)發(fā)和短發(fā)的比例依舊保持不變，按照98位男士算，此刻短發(fā)男士有94人，長(zhǎng)發(fā)為4人?？紤]到有一位長(zhǎng)發(fā)女士和四位長(zhǎng)發(fā)男士，此刻最有可能的是持票者為男士。這是貝葉斯推理原理的具體案例。事先知曉一個(gè)重要的信息線索，門票持有者在男士休息室外排隊(duì)，可以幫助我們做出更好的預(yù)測(cè)。

為了清晰地闡述貝葉斯推理，需要花些時(shí)間清晰地定義我們的理念。不幸的是，這需要用到數(shù)學(xué)知識(shí)。除非不得已，我盡量避免此過(guò)程太過(guò)深?yuàn)W，緊隨我查看更多的小節(jié)，必定會(huì)從中受益。為了大家能夠建立一個(gè)基礎(chǔ)，我們需要快速地提及四個(gè)概念：概率、條件概率、聯(lián)合概率以及邊際概率。

概率

一件事發(fā)生的概率，等于該事件發(fā)生的數(shù)目除以所有事件發(fā)生的數(shù)目。觀影者為一個(gè)女士的概率為50位女士除以100位觀影者，即0.5 或50%。換作男士亦如此。

而在男士休息室排列此種情形下，女士概率降至0.02，男士的概率為0.98。

條件概率

條件概率回答了這樣的問(wèn)題，倘若我知道此人是位女士，其為長(zhǎng)發(fā)的概率是多少？條件概率的計(jì)算方式和直接得到的概率一樣，但它們更像所有例子中滿足某個(gè)特定條件的子集。本例中，此人為女士，擁有長(zhǎng)發(fā)的人士的條件概率，P(long hair | woman)為擁有長(zhǎng)發(fā)的女士數(shù)目，除以女士的總數(shù)，其結(jié)果為0.5。無(wú)論我們是否考慮男士休息室外排隊(duì)，或整個(gè)影院。

同樣的道理，此人為男士，擁有長(zhǎng)發(fā)的條件概率，P(long hair | man)為0.4，不管其是否在隊(duì)列中。

很重要的一點(diǎn)，條件概率P(A | B)并不等同于P(B | A)。比如P(cute | puppy)不同于P(puppy | cute)。倘若我抱著的是小狗，可愛(ài)的概率是很高的。倘若我抱著一個(gè)可愛(ài)的東西，成為小狗的概率中等偏下。它有可能是小貓、小兔子、刺猬，甚至一個(gè)小人。

聯(lián)合概率

聯(lián)合概率適合回答這樣的問(wèn)題，此人為一個(gè)短發(fā)女人的概率為多少？找出答案需要兩步。首先，我們先看概率是女人的概率，P(woman)。接著，我們給出頭發(fā)短人士的概率，考慮到此人為女士，P(short hair | woman)。通過(guò)乘法，進(jìn)行聯(lián)合，給出聯(lián)合概率，P(woman with short hair) = P(woman) * P(short hair | woman)。利用此方法，我們便可計(jì)算出我們已知的概率，所有觀影中P(woman with long hair)為0.25，而在男士休息室隊(duì)列中的P(woman with long hair)為0.1。不同是因?yàn)閮蓚€(gè)案例中的P(woman)不同。

相似的，觀影者中P(man with long hair) 為0.02，而在男士休息室隊(duì)列中概率為0.04。

和條件概率不同，聯(lián)合概率和順序無(wú)關(guān)，P(A and B)等同于P(B and A)。比如，同時(shí)擁有牛奶和油炸圈餅的概率，等同于擁有油炸圈餅和牛奶的概率。

邊際概率

我們最后一個(gè)基礎(chǔ)之旅為邊際概率。特別適合回答這樣的問(wèn)題，擁有長(zhǎng)發(fā)人士的概率？為計(jì)算出結(jié)果，我們須累加此事發(fā)生的所有概率——即男士留長(zhǎng)發(fā)的概率加女士留長(zhǎng)發(fā)的概率。加上這兩個(gè)概率，即給出所有觀影者P(long hair)的值0.27，而男休息室隊(duì)列中的P(long hair)為0.05。

貝葉斯定理

現(xiàn)在到了我們真正關(guān)心的部分。我們想回答這樣的問(wèn)題，倘若我們知道擁有長(zhǎng)發(fā)的人士，那他們是位女士或男士的概率為？這是一個(gè)條件概率，P(man | long hair)，為我們已知曉的P(long hair | man)逆方式。因?yàn)闂l件概率不可逆，因此，我們對(duì)這個(gè)新條件概率知之甚少。

幸運(yùn)的是托馬斯觀察到一些很酷炫的知識(shí)可以幫到我們。

根據(jù)聯(lián)合概率計(jì)算規(guī)則，我們給出方程P(man with long hair)和P(long hair and man)。因?yàn)槁?lián)合概率可逆，因此這兩個(gè)方程等價(jià)。

借助一點(diǎn)代數(shù)知識(shí)，我們就能解出P(man | long hair)。

表達(dá)式采用A和B，替換“man”和“l(fā)ong hair”，于是我們得到貝葉斯定理。

我們回到最初，借助貝葉斯定理，解決電影院門票困境。

首先，需要計(jì)算邊際概率P(long hair)。

接著代入數(shù)據(jù)，計(jì)算出長(zhǎng)發(fā)中是男士的概率。對(duì)于男士休息室隊(duì)列中的觀影者而言，P(man | long hair)微微0.8。這讓我們更加確信一直覺(jué)，掉門票的可能是一男士。貝葉斯定理抓住了在此情形下的直覺(jué)。更重要的是，更重要的是吸納了先驗(yàn)知識(shí)，男士休息室外隊(duì)列中男士遠(yuǎn)多于女士。借用此先驗(yàn)知識(shí)，更新我們對(duì)一這情形的認(rèn)識(shí)。

概率分布

諸如影院困境這樣的例子，很好地解釋了貝葉斯推理的由來(lái)，以及作用機(jī)制。然而，在數(shù)據(jù)科學(xué)應(yīng)用領(lǐng)域，此推理常常用于數(shù)據(jù)解釋。有了我們測(cè)出來(lái)的先驗(yàn)知識(shí)，借助小數(shù)據(jù)集便可得出更好的結(jié)論。在開(kāi)始細(xì)說(shuō)之前，請(qǐng)先允許我先介紹點(diǎn)別的。就是我們需要清楚一個(gè)概率分布。

此處可以這樣考慮概率，一壺咖啡正好裝滿一個(gè)杯子。倘若用一個(gè)杯子來(lái)裝沒(méi)有問(wèn)題，那不止一個(gè)杯子呢，你需考慮如何將這些咖啡分這些杯子中。當(dāng)然你可以按照自己的意愿，只要將所有咖啡放入某個(gè)杯子中。而在電影院，一個(gè)杯子或許代表女士或者男士。

或者我們用四個(gè)杯子代表性別和發(fā)長(zhǎng)的所有組合分布。這兩個(gè)案例中，總咖啡數(shù)量累加起來(lái)為一杯。

通常，我們將杯子挨個(gè)擺放，看其中的咖啡量就像一個(gè)柱狀圖?？Х染拖褚环N信仰，此概率分布用于顯示我們相信某件事情的強(qiáng)烈程度。

假設(shè)我投了一塊硬幣，然后蓋住它，你會(huì)認(rèn)為正面和反面朝上的幾率是一樣的。

假設(shè)我投了一個(gè)骰子，然后蓋住它，你會(huì)認(rèn)為六個(gè)面中的每一個(gè)面朝上的幾率是一樣的。

假設(shè)我買了一期強(qiáng)力球彩票，你會(huì)認(rèn)為中獎(jiǎng)的可能性微乎其微。投硬幣、投骰子、強(qiáng)力球彩票的結(jié)果，都可以視為收集、測(cè)量數(shù)據(jù)的例子。

毫無(wú)意外，你也可以對(duì)其它數(shù)據(jù)持有某種看法。這里我們考慮美國(guó)成年人的身高，倘若我告訴你，我見(jiàn)過(guò)，并測(cè)量了某些人的身高，那你對(duì)他們身高的看法，或許如上圖所示。此觀點(diǎn)認(rèn)為一個(gè)人的身高可能介于150和200cm之間，最有可能的是介于180和190cm之間。

此分布可以分成更多的方格，視作將有限的咖啡放入更多的杯子，以期獲得一組更加細(xì)顆粒度的觀點(diǎn)。

最終虛擬的杯子數(shù)量將非常大，以至于這樣的比喻變得不恰當(dāng)。這樣，分布變得連續(xù)。運(yùn)用的數(shù)學(xué)方法可能有點(diǎn)變化，但底層的理念還是很有用。此圖表明了你對(duì)某一事物認(rèn)知的概率分布。

感謝你們這么有耐心?。∮辛藢?duì)概率分布的介紹，我們便可采用貝葉斯定理進(jìn)行數(shù)據(jù)解析了。為了說(shuō)明這個(gè)，我以我家小狗稱重為例。

獸醫(yī)領(lǐng)域的貝葉斯推理

它叫雅各賓當(dāng)政，每次我們?nèi)カF醫(yī)診所，它在秤上總是各種晃動(dòng)，因此很難讀取一個(gè)準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)。得到一個(gè)準(zhǔn)確的體重?cái)?shù)據(jù)很重要，這是因?yàn)?，倘若它的體重有所上升，那么我們就得減少其食物的攝入量。它喜歡食物勝過(guò)它自己，所以說(shuō)風(fēng)險(xiǎn)蠻大的。

最近一次，在它喪失耐心前，我們測(cè)了三次：13.9鎊,17.5鎊以及14.1鎊。這是針對(duì)其所做的標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)計(jì)分析。計(jì)算這一組數(shù)字的均值，標(biāo)準(zhǔn)偏差，標(biāo)準(zhǔn)差，便可得到小狗當(dāng)政的準(zhǔn)確體重分布。

分布展示了我們認(rèn)為的小狗體重，這是一個(gè)均值15.2鎊，標(biāo)準(zhǔn)差1.2鎊的正態(tài)分布。真實(shí)得測(cè)量如白線所示。不幸的是，這個(gè)曲線并非理想的寬度。盡管這個(gè)峰值為15.2鎊，但概率分布顯示，在13鎊很容易就到達(dá)一個(gè)低值，在17鎊到達(dá)一個(gè)高值。太過(guò)寬泛以致無(wú)法做出一個(gè)確信的決策。面對(duì)如此情形，通常的策略是返回并收集更多的數(shù)據(jù)，但在一些案例中此法操作性不強(qiáng)，或成本高昂。本例中，小狗當(dāng)政的（Reign ）耐心已經(jīng)耗盡，這是我們僅有的測(cè)量數(shù)據(jù)。

此時(shí)我們需要貝葉斯定理，幫助我們處理小規(guī)模數(shù)據(jù)集。在使用定理前，我們有必要重新回顧一下這個(gè)方程，查看每個(gè)術(shù)語(yǔ)。

我們用“w” (weight)和 “m” (measurements)替換“A” and “B” ，以便更清晰地表示我們?nèi)绾斡么硕ɡ?。四個(gè)術(shù)語(yǔ)分別代表此過(guò)程的不同部分。

先驗(yàn)概率，P(w)，表示已有的事物認(rèn)知。本例中，表示未稱量時(shí)，我們認(rèn)為的當(dāng)政體重w。

似然值，P(m | w)，表示針對(duì)某個(gè)具體體重w所測(cè)的值m。又叫似然數(shù)據(jù)。

后驗(yàn)概率，P(w | m)，表示稱量后，當(dāng)政為某個(gè)體重w的概率。當(dāng)然這是我們最感興趣的。

譯者注：后驗(yàn)概率，通常情況下，等于似然值乘以先驗(yàn)值。是我們對(duì)于世界的內(nèi)在認(rèn)知。

概率數(shù)據(jù)，P(m)，表示某個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)被測(cè)到的概率。本例中，我們假定它為一個(gè)常量，且測(cè)量本身沒(méi)有偏向。

對(duì)于完美的不可知論者來(lái)說(shuō)，也不是什么特別糟糕的事情，而且無(wú)需對(duì)結(jié)果做出什么假設(shè)。例如本例中，即便假定當(dāng)Reign的體重為13鎊、或1鎊，或1000000 鎊，讓數(shù)據(jù)說(shuō)話。我們先假定一個(gè)均一的先驗(yàn)概率，即對(duì)所有值而言，概率分布就一常量值。貝葉斯定理便可簡(jiǎn)化為P(w | m) = P(m | w)。

此刻，借助Reign的每個(gè)可能體重，我們計(jì)算出三個(gè)測(cè)量的似然值。比如，倘若當(dāng)政的體重為1000鎊，極端的測(cè)量值是不太可能的。然而，倘若當(dāng)政的體重為14鎊或16鎊。我們可以遍歷所有，利用Reign的每一個(gè)假設(shè)體重值，計(jì)算出測(cè)量的似然值。這便是P(m | w)。得益于這個(gè)均一的先驗(yàn)概率，它等同于后驗(yàn)概率分布 P(w | m)。

這并非偶然。通過(guò)均值、標(biāo)準(zhǔn)偏差、標(biāo)準(zhǔn)差得來(lái)的，很像答案。實(shí)際上，它們是一樣的，采用一個(gè)均一的先驗(yàn)概率給出傳統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)估測(cè)結(jié)果。峰值所在的曲線位置，均值，15.2鎊也叫體重的極大似然估計(jì)（MLE）。

即使采用了貝葉斯定理，但依舊離有用的估計(jì)很遠(yuǎn)。為此，我們需要非均一先驗(yàn)概率。先驗(yàn)分布表示未測(cè)量情形下對(duì)某事物的認(rèn)知。均一的先驗(yàn)概率認(rèn)為每個(gè)可能的結(jié)果都是均等的，通常都很罕見(jiàn)。在測(cè)量時(shí)，對(duì)某些量已有些認(rèn)識(shí)。年齡總是大于零，溫度總是大于-276攝氏度。成年人身高罕有超過(guò)8英尺的。某些時(shí)候，我們擁有額外的領(lǐng)域知識(shí)，一些值很有可能出現(xiàn)在其它值中。

在Reign的案例中，我確實(shí)擁有其它的信息。我知道上次它在獸醫(yī)診所稱到的體重是14.2鎊。我還知道它并不是特別顯胖或顯瘦，即便我的胳膊對(duì)重量不是特別敏感。有鑒于此，它大概重14.2鎊，相差一兩鎊上下。為此，我選用峰值為14.2鎊。標(biāo)準(zhǔn)偏差為0.5鎊的正態(tài)分布。

先驗(yàn)概率已經(jīng)就緒，我們重復(fù)計(jì)算后驗(yàn)概率。為此，我們考慮某一概率，此時(shí)Reign體重為某一特定值，比如17鎊。接著，17鎊這一似然值乘以測(cè)量值為17這一條件概率。接著，對(duì)于其它可能的體重，我們重復(fù)這一過(guò)程。先驗(yàn)概率的作用是降低某些概率，擴(kuò)大另一些概率。本例中，在區(qū)間13-15鎊增加更多的測(cè)量值，以外的區(qū)間則減少更多的測(cè)量值。這與均一先驗(yàn)概率不同，給出一個(gè)恰當(dāng)?shù)母怕剩?dāng)政的真實(shí)體重為17鎊。借助非均勻的先驗(yàn)概率，17鎊掉入分布式的尾部。乘以此概率值使得體重為17鎊的似然值變低。

通過(guò)計(jì)算當(dāng)政每一個(gè)可能的體重概率，我們得到一個(gè)新的后驗(yàn)概率。后驗(yàn)概率分布的峰值也叫最大后驗(yàn)概率（MAP），本例為14.1鎊。這和均一先驗(yàn)概率有明顯的不同。此峰值更窄，有助于我們做出一個(gè)更可信的估測(cè)。現(xiàn)在來(lái)看，小狗當(dāng)政的體重變化不大，它的體型依舊如前。

通過(guò)吸收已有的測(cè)量認(rèn)知，我們可以做出一個(gè)更加準(zhǔn)確的估測(cè)，其可信度高于其他方法。這有助于我們更好地使用小量數(shù)據(jù)集。先驗(yàn)概率賦予17.5鎊的測(cè)量值是一個(gè)比較低的概率。這幾乎等同于反對(duì)此偏離正常值的測(cè)量值。不同于直覺(jué)和常識(shí)的異常檢測(cè)方式，貝葉斯定理有助于我們采用數(shù)學(xué)的方式進(jìn)行異常檢測(cè)。

另外，假定術(shù)語(yǔ)P(m)是均一的，但恰巧我們知道稱量存在某種程度的偏好，這將反映在P(m)中。若稱量?jī)H輸出某些數(shù)字，或返回讀數(shù)2.0，占整個(gè)時(shí)間的百分之10，或第三次嘗試產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)測(cè)量值，均需要手動(dòng)修改P(m)以反映這一現(xiàn)象，以便后驗(yàn)概率更加準(zhǔn)確。

規(guī)避貝葉斯陷阱

探究Reign的真實(shí)體重體現(xiàn)了貝葉斯的優(yōu)勢(shì)。但這也存在某些陷阱。通過(guò)一些假設(shè)我們改進(jìn)了估測(cè)，而測(cè)量某些事物的目的就是為了了解它。倘若我們假定對(duì)某一答案有所了解，我們可能會(huì)刪改此數(shù)據(jù)。馬克·吐溫對(duì)強(qiáng)先驗(yàn)的危害做了簡(jiǎn)明地闡述，“將你陷入困境的不是你所不知道的，而是你知道的那些看似正確的東西。”

假如采取強(qiáng)先驗(yàn)假設(shè)，當(dāng)Reign的體重在13與15鎊之間，再假如其真實(shí)體重為12.5鎊，我們將無(wú)法探測(cè)到。先驗(yàn)認(rèn)知認(rèn)為此結(jié)果的概率為零，不論做多少次測(cè)量，低于13鎊的測(cè)量值都認(rèn)為無(wú)效。

幸運(yùn)的是，有一種兩面下注的辦法，可以規(guī)避這種盲目地刪除。針對(duì)對(duì)于每一個(gè)結(jié)果至少賦予一個(gè)小的概率，倘若借助物理領(lǐng)域的一些奇思妙想，當(dāng)政確實(shí)能稱到1000鎊，那我們收集的測(cè)量值也能反映在后驗(yàn)概率中。這也是正態(tài)分布作為先驗(yàn)概率的原因之一。此分布集中了我們對(duì)一小撮結(jié)果的大多數(shù)認(rèn)識(shí)，不管怎么延展，其尾部再長(zhǎng)都不會(huì)為零。

在此，紅桃皇后是一個(gè)很好的榜樣：

愛(ài)麗絲笑道：“試了也沒(méi)用，沒(méi)人會(huì)相信那些不存在的事情?！?/span>

“我敢說(shuō)你沒(méi)有太多的練習(xí)”，女王回應(yīng)道，“我年輕的時(shí)候，一天中的一個(gè)半小時(shí)都在閉上眼睛，深呼吸。為何，那是因?yàn)橛袝r(shí)在早飯前，我已經(jīng)意識(shí)到存在六種不可能了?！眮?lái)自劉易斯·卡羅爾的《愛(ài)麗絲漫游奇境》

—?THE END —

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